数学创新月月练

题１已知两点A（－１，１）和B（２，－５），试写出两个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点．题２如图１，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点E，请你根据上述条件，写出一个正确的结论（所写的结论不能再添加新的线段及标注其他字母），并给出证明（证明时允许添加辅助线）．题３如图２，已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C，请你根据已知条件，写出图中五个成立的结论（半径相等除外）．数学创新月月练!广东@孙罗超     

对一道赛题的推广

赛题 如图1,有一束光线,从中心为O的圆环的A点射入,在圆环内经过两次反射后从A点射出;如图2,从A点射入的光线经过三次反射后从A点射出．     

多星问题

例（2001年全国春招）两个星球组成双星,它们在相互之间的引力作用下,绕连线上某点作周期相同的匀速圆周运动,现测得两星中心距离为R,其运动周期为T,求两星的总质量．     

换个角度，精益求精——以2008年高考数学全国卷Ⅰ第21题第（Ⅰ）问为例

原题：如图,双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1、l2经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A、B两点．已知｜OA^→｜、｜AB^→｜、｜OB^→｜成等差数列,BF^→与FA^→同向．     

一道物理题的六种解法

原题 已知O、A、B、C为同一直线上的四点,AB间的距离为l1,BC间的距离为l2一个物体自O点由静止出发,沿此直线做匀加速运动,依次经过A、B、C三点．已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等,求O与A的距离．     

一题一议

[题目一】图1中的圆表示某种地理事物和现象的等值线,O点为极值点,据此回答1-3题。1．若图中圆为等压线,PK、QH表示大气的水平运动方向：A．图示区域中心地区以下沉气流为主B．该天气系统在夏秋出现称为副高c受该天气系统控制一定寒冷干燥D．图示区域中心地区以上升气流为主     

一道选择题的发散探究

题如图1所示,匀强电场中有一圆,其平面与电场线平行,O为圆心,A、B为圆周上的两点．现将某带电粒子从A点以相同的初动能向各个不同方向发射,到达圆周上各点,其中过B点的粒子动能最大,不计重力和空气阻力,则该电场的电场线与（ ）     

2006年高考(天津卷)理综物理压轴题的反证法解析

考题(第25题):神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时,发现了LMCX-3双星系统,它由可见星A和不可见的暗星B构成.两星视为质点,不考虑其他天体的影响,A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运     

谈谈07年广东物理卷计算题的“思维瓶颈”

17题：如图14所示,在同一竖直平面上,质量为2m的小球A静止在光滑斜面的底部,斜面高度为H=2L．小球受到弹簧的弹性力作用后,沿斜面向上运动．离开斜面后,达到最高点时与静止悬挂在此处的小球B发生弹性碰撞,碰撞后球B刚好能摆到与悬点O同一高度,球A沿水平方向抛射落在水平面C上的P点,O点的投影O’与P的距离为L／2．已知球B质量为m,悬绳长L,视两球为质点,重力加速度为g,不计空气阻力,求：     

从一道常见几何题到一道IMO竞赛题

问题1.过⊙O直径AB的两端点作⊙O的切线AD,BC.在⊙O上任取一点E,过E作⊙O的另一条切线交AD于D,交BC于C. 求证:(1)以CD为直径的圆与AB相切; (2)AD·BC为定值. 这是一道常见题. 在问题1中,让A,B两点发生变化,可得: 问题2.A,B为⊙O的一条直径所在直线上的两点,且AO=OB.过A,B两点     

知微见著 析辩思行 识变应变——2021年北京市中考压轴题解法赏析与教学思考

<正>1试题呈现(2021年北京市中考第28题)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1.对于点A和线段BC,给出如下定义:若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B'C'(B',C'分别是B,C的对应点),则称线段BC是⊙O的以点A为中心的"关联线段".     

一道平几赛题的新证及推广

2009年全国高中数学联赛陕西赛区初赛的一道平面几何题是： 如图1,PA,PB为圆O的两条切线,切点分别为A,B,过点P的直线交圆O于C,D两点,交弦AB于点Q,点Q,求证：PQ2=PC·PD—QC·QD．（1）     

2011年四川卷理科第21题的推广

2011年四川省高考理科卷第21题：椭圆有两点A（-1,0）,B（1,O）,过其焦点F（O,1）的直线l与椭圆交于C,D两点,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q．     

06年高考（天津卷）理综物理压轴题的反证法解析

考题25．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.     

椭圆中一个三角形最大面积问题

问题设椭圆E：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的中心为O,A、B是椭圆上的两点（A、B、O不共线）,求△AOB面积的最大值．     

赏析2004年高考立几题(江苏卷)

2004年高考立几题(江苏卷): 题在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正 方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP.     

一道课本习题的引申和证明

[题目 ]如图 (1),⊙ O1和⊙ O2外切于点 A, BO是⊙ O1和⊙ O2的公切线, B, C为切点,求证 AB⊥ AC.(初中《几何》第三册 144页例 4) 适当改变题目的条件、结论,通过猜想、归纳,引申为以下几题 . 1改变两圆的位置关系,由外切变为相交 . [题 1]如图 (2),⊙ O1和 O2相交于 A1, A2两点, BC是⊙ O1和⊙ 2的公切线, B, C为切点 .求证∠ BA1C＋∠ BA2C=180° . 证明：连结 A1A2, ∵ BC与⊙ O1相切于点 B, ∴∠ A2BC=∠ BA1A2. 同理,∠ A2CB=∠ CA1A2. ∴∠ A2BC＋∠ A2CB=∠ BA1A2＋∠ CA1A2=∠ BA1C. …     

2006年高考天津理综物理压轴题的反证法

考题25．（22分）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统。它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动。它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率钉和运行周期T．     

一道数学竞赛题的几种证法

题目如图1,⊙O是以AB（A、B为平面内两定点）为直径的圆,M、N是⊙O上（异于A、B）的两个定点,P是线段AB上（不包括A、B两点）的动点．求证：tan∠PMA·tan∠PNB为定值．     

一道高考题的六面观(高二、高三)

题设动点P在直线x=1上,O为坐标原点.以OP为直角边,点O为直角顶点作等腰直角△OPQ,则动点Q的轨迹是( ) (A)圆. (B)两条平行直线.