一道竞赛题的另解及推广

题目将各位数码不大于3的全体正整数m按自小到大的顺序排成一个数列{an}．则a2 007= （2007，全国高中数学联赛江西省预赛）原解请见《中等数学》2008年第6期．     

一道几何题的另解及变形

作者对一道几何题的解答进行了分析,指出了该解答的欠妥之处,给出了两种更简洁明了的解法,并给出了这道题的种种变形。     

一道几何题的另解及变形

作对一道几何题的解答进行了分析，指出了该解答的欠妥之处，给出了两种更简洁明了的解法，并给出了这道题的种种变形。     

一道省质检题的另解及探究

《矩阵与变换》作为一个选修专题已经进入中学课堂,而矩阵与变换的广泛应用使得一些几何问题的解决更加容易,特别地,借助伸缩变换能使有关直线与椭圆问题及面积求解问题获得直观、简捷的解决.现从09年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学第19题(Ⅱ)的另解谈起.     

一道赛题的另解

安徽省高中数学竞赛初赛的第15题是:已知数列{an}(n≥0)满足a0=0,对于所有非负整数n,有an+1=230an(an+1)+11an+5.求an的通项公式.参考答案是通过移项两边平方变形化简,最后求3次方程的特征根得到通项.下面给出两种较为简便的解法.解法1显然an+1>an≥0,n∈N,an+1=230an(an+1)+11an+5=5(an+1)+230an(an+1)+6an=(5(an+1)+6an)2,∴an+1=5(an+1)+6an,即an+1-6an=5(an+1),两边平方,化简得:an+1+an-26an+1an=5,n以n+1代替得:an+2+an+1-26an+2an+1=5,以上两式相减得:an+2-an-26an+1(an+2-an)=0;∵an+2>an+1>an,∴an+2+an-26an+1=0.令bn=an,则bn+2-2…     

一道赛题的另证

题目对于任意一个△ABC,记其面积为S,周长为l,P、Q、T依次为△ABC内切圆在边BC、CA、AB上的切点.证明:(第23届韩国数学奥林匹克)证明如图1.设△ABC的外接圆、内切圆半径分别为R、r.易知,BC=2Rsin A,TQ=AOsin A     

一道赛题的推广

题 如图,ABCD为正方形,∠EAF=45°。求证S_(△AEF)=2S_(△APQ)。(1990,四川赛题) 推广1 如图,ABCD为正方形。如设∠EAF=α,∠DAF=θ,则     

一道赛题的推广

1978年安徽中学数学竞赛第二试的第3题是:过三角形的重心任作一直线,把三角形分成两部分,证明这两部分面积之差不大于整个三角形面积的1/9.本文先给出更有一般性的结论,然后再将其推广到四面体中.     

一道赛题的推广

引理 已知A0是平面α的斜线,A为斜足,OBα⊥,B为垂足,AC是平面α内的任一直线,∠0AB=θ,∠OAC=θ1,∠BAC=θ2,则cosθ1=cosθcosθ2． 根据角的放置形式,可形象地称引理为“斜（斜角）立（立角）平（平角）余弦定理”．     

一道国际赛题的另解

求所有的有序三元数组（x,y,z）,满足x,y、z∈Q＋,且x＋1/y、y＋1/z、z＋1/x都是整数。     

一道几何赛题的另证

本刊2013年第4期“一道几何赛题的多种证法”一文运用几何构造给出了第（2）问的四种证法．这里再给出另外两种不同证法,供读者参考．     

一道菲律宾赛题的推广

题目:试求两组大于7的三个连续整数,分别被7,8和9整除. 事实土,可将该题推广为: 命题若三个连线自然数:一2,x一」,x分别能被自然数a一2,a一1,a(x>a>2)整除,则x=a ka(a一」)(a一2)(k任N). 证明显然司x, (a一1)lx一1=(a一1)(1 ka(a一2)), (a一2)一x一2.故命题成立. 另外,命题可推     

一道极值赛题的推广

笔者为2005年全国初中数学联赛提供了一道几何极值题,即下面的例1.例1已知锐角△ABC的三个内角满足A>B>C.用α表示A-B、B-C以及90°-A中的最小者.则α的最大值是.从下面的解法中可以看到,虽然题目以几何形式出现,并用到了“三角形内角和定理”,但更实质性的运算是不等式的放缩(     

一道初中赛题的推广

题目:当p_1p_2=2(q_1+q_2)时.试证方程x~2+p_1x+q_1=0与x~2+p_2x+q_2=0中,至少一个有实根.(1984,吉林省初中竞赛) 推广当时,方程x~2+p_1x+q_1=0中至少     

一道俄罗斯赛题的推广

第21届俄罗斯中学数学奥林匹克第三阶段八年级第6题是: 证明 对于任何实数x,y,有2x~4 2y~4≥xy(x y)~2 。 文[1]、[2]介绍了它的证法,本文从指数方面给出其推广并加以证明。 推广 证明:对于任何实数x,y,0≤n∈N,有 (1) 证 当xy≤0时不等式显然成立。 当x,y同为正(同为负时可转化为同为正)时,(1)两边同除以2(2n-1)xy得 令,则     

对一道赛题的推广

赛题 如图1,有一束光线,从中心为O的圆环的A点射入,在圆环内经过两次反射后从A点射出;如图2,从A点射入的光线经过三次反射后从A点射出．