对一道征解题及其姊妹不等式的推广

1征解题的提出 《数学通报》09年第9期问题1814：x,y,z∈R＋,λ〉0,μ≥0,υ≥0,且λ≥2μ-υ,λ≥2υ-μ,0〈α≤1.证明：（x/λx＋μy＋υz）^α＋（y/υx＋λy＋μz）^α＋（z/μx＋υy＋λz）^α≤3/（λ＋μυ）^α.     

利用排序原理简证征解题173

《数学通报》1997年第7期的征解问题是：设xi〉0（i=1,2,…,n,n≥3）,证明或否定（记S=x1＋x2＋…＋xn）（aij=xi/xj）;     

一道“征解题”的解法及其启示

笔者近期阅读文“数学问题”1561题及其解答，对其中的解答有不同的认识。本文对此做一些分析．     

也谈一道美国数学月刊征解题的解法

征解题给出以后,引起广泛关注．文给出了“简解”,但方法不易想到;由于难免出现高次函数,不用包括导数在内的纯初等方法尤为引发兴趣．本文给出包括纯初等解法在内的两种不同解法．     

对一个整除问题的推广

推广《数学通报》2003第12期数学问题1466号，得到几个更一般化的性质，形成了一系列优美的结论．     

一道数学奥林匹克征解题的解答

题目设n是正整数，{A，B，C}是集合{1，2，3，…，3n}的一个分割，且满足｜A｜=｜B｜=｜c｜=n，其中｜S｜表示集合S中元素的个数．证明：存在x∈A，y∈B，z∈C，使得x、y、z中的一个数是另外两个数的和．     

一道征解题的解题策略与视角

经典的数学问题往往背景新颖,呈现独特,内容丰富,内涵深刻,耐人寻味,给人启迪,有较强的启发性、代表性、拓展性,是理解巩固基本概念、深刻领会基本思想、培养掌握基本技能、启迪应用基本方法的好素材．若能经常对这样的问题进行多角度、全方位、深层次地思考,从中开发出解题的智慧,则可以大大提高分析问题、解决问题的能力,提高对数学问题本质的认识．下面的题目就是这样一道看似平淡无奇实则内涵丰富,深刻而不深奥,简约而不简单的数学问题,笔者对其进行了深入的思考,整理成文,以飨读者．     

一个不等式的推广

命题 已知a，b〉0，且a＋b=1,求证：a/a^3＋b^4＋b/a^4＋b^3≤16/3. 这是《数学通报》2007年第10期刊登的数学问题第1696题，本文将之推广为一般的形式．     

怎样使解题简单自然

数学家庞加莱说：数学的优美感不过是问题的解答合乎我们心灵需要产生的一种满足．简单、自然、直接、明快地解决问题正是我们追求问题解决的最佳途径,给予心灵满足的一种真实体现．下面以《数学通报》中的数学问题为例,就解题简单自然的途径谈一些个人浅见．     

例谈线性规划问题的解题策略

全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）第60页给出了如下一个问题。     

一道征解题的简证与推广

文 [1 ]给出了如下一道征解题 :设 a,b,c均为正实数 ,证明 :ab(a b) bc(b c) ca(c a)≤ 32 (a b) (b c) (c a) . (1 )它的证明方法主要是借助于几何背景 ,其证明过程也不够简单 .本文给出一种代数证明 ,其过程简捷 ,并且利用这种证法可以将(1 )推广 .证　在 (1 )的不等式两端同除以(a b) (b c) (c a)便可得 :ac a· bb c ba b· cc a　　 cb c· aa b≤ 32 . (2 )因此 ,我们只需证明 (2 )成立即可 ,而对于 (2 ) ,我们又可以利用基本不等式 :算术平均≥几何平均 ,故有ac a· bb c ba b· cc a　　 cb c· aa …     

对一个整除问题的推广

推广《数学通报》2003第12期数学问题1466号,得到几个更一般化的性质,形成了一系列优美的结论.     

一道相遇问题的解题思路

题目甲、乙两人自A、B两地,骑自行车相向而行,相遇在距离A地8 km处,相遇后两人各自继续按原方向前进,分别到达A地和B地,立即返回,在离B地10 km处第二次相遇.求A、B两地的距离.     

《数学通报》数学问题1558的推广

把《数学通报》（见数学通报2005年第6期）的数学问题1558推广到更一般的情况是： 在给定的2×n（n∈N＋）的方格表中,第一行的行个方格表内,依次写着1,2,3,…,n（表1）．如果再把1,2,3,…,n按适当次序分别填人第二行的n个方格内,使每列两数之差的绝对值两两不同,是否可能？     

谈数学解题过程中的反思

为什么有些学生花了很多时间，做了大量的题目，就是不得解题要领呢？缺少对解题过程的反思是其中一个非常重要的原因．美国著名数学家波利亚在其著作《怎样解题》中指出：解题是数学学习最基本的活动形式，通过解题可以获取、巩固和深化数学知识，形成基本技能，提高数学能力．数学解题过程分以下几个步骤：审题一探索一表达一反思．但是有些学生认为解题过程就是前面三步：理解题意，找到解题途径，写出解答，解题就算完成了．这样的认识是不完整的．如果解题到此为止，那么它的全部功能没有得到充分发挥，其价值也未得到充分的挖掘，     

一个数学问题的再推广

《数学通报》2004年7月号问题1504： 已知x,y,z∈（0,＋∞）,x＋y＋z=1, 求1/x2＋1/y2＋8/z2的最小值．     

巧用一道课本习题的结论解题

在高二《数学》第二册（下B）第81页有这样一道习题： 已知△ABC的面积为S，平面ABC与平面α所成的锐角为θ，△ABC在平面α内的正射影为△A′B′C′，其面积为S′，求证S′=Scosθ。     

一个整除问题的简证及推广

《数学通报》2004年第1期刊登了1466号问题“设M=5^2001＋7^2002＋9^2000＋11^2004,求证：M能被8整除．”的证明,文[1]中对这个整除问题进行了推广,推广结论如下     

一个不等式的推广

题目若a_1,a_2,a_3,a_4∈R~ ,a_1 a_2 a_3 a_4=S,求证:(a_1~3)/(S-a_1) (a_2~3)/(S-a_2) (a_3~3)/(S-a_3) (a_4~3)/(S-a_4)≥(S~2)/12．①(《数学通报》2007年第3期数学问题解答1660)原作者运用算术一几何平均值不等式给出了一种简捷明快的证法,笔者读后颇受启发．本文将不等武①从变量的个数和指数上进行推