构造概率分布列解非概率题

正关于概率的题型一直是高考和数学竞赛的重点内容.本文尝试构造离散型随机变量ξ的概率分布列体现概率在非概率题,如求最值、求值域、证明不等式等方面的应用.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)=∑i=1n(ξi-E(ξ))2?pi=Eξ~2-(Eξ)~2≥0,当且仅当ξ服从退化分布时等号成立,即ξ_1=ξ_2=?=ξ_n时,Eξ~2=(Eξ)~2成立.1求最值例1(2013年高考湖南卷(理)第10题)已知a,b,c∈R,     

利用E(ξ~2)≥(E(ξ))~2巧解多元变量最值问题

根据方差的定义可以推导如下公式:D(ξ)=E(ξ-E(ξ))2=E(ξ2-2ξE(ξ)+(E(ξ))2)=E(ξ2)-2(E(ξ))2+(E(ξ))2=E(ξ2)-(E(ξ))2.因为D(ξ)≥0,所以E(ξ2)≥(E(ξ))2.在求含多元变量最值的题目中,可以根据题目结构特征,巧妙的构造离散型随机变量的概率分布列,利用E(ξ2)≥(E(ξ))2解决问题.例1已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为.     

不妨换个角度求数学期望

求随机变量ξ的数学期望,是对概率考查的一个基本问题,看上去简单,做起来有时觉得深感麻烦,需要先列出随机变量ξ的概率分布列,再利用公式     

“离散型随机变量性质”在解题中的两种运用

<正>离散型随机变量的分布列完整地刻画了随机变量。我们不但要能通过分布列清楚看到随机变量在随机试验中取值的分布情况,还要能灵活运用分布列的两个性质。现对"性质"的两种运用例析如下,供同学们借鉴。一、直接运用性质解题例1已知随机变量ξ只能取三个值ξ1、ξ2、ξ3,其概率依次成等差数列,试求数列公差d的取值范围。解:不妨设ξ的三个取值的概率分别为     

一类正值分式之和的最小值的求解策略——构造分布列

<正>Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差.由Dξ=E(ξ-Eξ)2=Eξ2-(Eξ)2≥0,知Eξ2≥(Eξ)2(*),当且仅当ξ可能取的值都相等时取等号.构造随机变量ξ的分布列,利用(*)式可以巧求一类题型的最小值.例1已知x,y,z∈R+,且2x+4y+7z=5,求2x+y4+7z的最小值.解构造ξ的分布列为     

利用期望值的性质求期望值

求数学期望值，我们一般都是先求随机变量的分布列，再利用数学期望的定义求值．但对某些问题，如相互独立事件同时发生时有关期望值的计算，可利用期望值的线性性质：（1）E（a￡＋b）=n￡＋b（a、b为常数）；（2）E（￡1＋￡2）=E￡1＋E￡2．     

对一道课本习题的思考

全日制普通高级中学教科书《数学》第三册(选修Ⅱ)第9页习题1.1第9题:在独立重复试验中,每次试验中事件发生的概率是0.8,求第3次事件发生所需的试验次数ξ的分布列.在《教师教学用书》中给出的分布列如下:那么,如果要求该习题中的随机变量ξ的期望,又该如何计算?为了解决这个问题,我们先来证明下面的问题:如果随机变量ξ服从几何分布,且 P(ξ=k)     

关于一维随机变量分布函数的讨论

通过求分布函数和利用分布函数求随机变量的概率两个方面讨论分布函数的两种定义的异同,并对离散型和连续型随机变量都给出了结论.最后简单介绍连续型随机变量的几个特殊性质.     

利用概率统计知识 解决非概率统计问题

设随机变量ξ的概率分布为:则有如下性质:(1)0≤A≤1(i=1,2,…,n,…)(2)p1+p2+…+pn+…=1(3)方差Dξ=P1(x1-Eξ)2+p2(x2-Eξ)2+…+pn(xn-Eξ)2+…=Eξ2-(Eξ)2≥0(4)若Pi>0,(i=1,2,…,n),则方差Dξ=0的充要条件是x1=x2=…=xn=…利用上述性质可以解决非概率统计中的一些问题.1证明恒等式     

构造分布列,巧解竞赛题

Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差.由Dξ=E(-Eξ)2=Eξ2-(Eξ)2≥0,知Eξ2≥(Eξ)2(*),当且仅当ξ可能取的值都相等时取等号.构造随机变量ξ的分布列,利用(*)式解题,方法新颖,运算简便.下面举例说明.一、求最值例1(2005年高中联赛)使关于x的不等式x-槡3+6槡-x≥k有解的实数k的最大值是()     

数学期望的一个性质的应用

求某随机变量的数学期望,通常是先求出分布列,再用定义求解.但对某些问题,运用数学期望的如下性质:设ξi(i =1,2,…,n)为n个随机变量,则E(ξ1 ξ2 … ξn) = Eξ1 Eξ2 … Eξn进行求解,能够避免繁琐的计算,达到化繁为简、化难为易的目的.图1【例 1】　某先生居住在城镇的 A 处,准备开车到单位 B 处上班,若该地各路段发生堵车事件都是独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图1.(例如:A→C→D算作两个路程,路段AC发生堵车事件的概率为110,路段CD发生堵车事件的概率为115)若记路线A→C→F→B中遇…     

构造分布列巧解分式不等式竞赛题

离散型随机变量的分布是现行新教材高三概率部分非常重要的内容,以分布列为基础的随机变量ξ的期望与ξ2的期望具有不等的关系Eξ2≥（Eξ）2,就是这个矩不等式,把随机数学的概率与确定性数学的不等式有机的结合起来,这充分显示出数学的统一性,体现了数学的和谐美.分式的最值求解以及分式不等式的证明是国内外各级数学竞赛的重点考查内容.灵活构造分布列,运用矩不等式Eξ2≥（Eξ）2,可巧妙求解一类分式不等式竞赛题.     

构造分布列求一类最小值的一般方法

Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差.由Dξ=E(ξ-Eξ)2=Eξ2-(Eξ)2≥0,知Eξ2≥(Eξ)2(*),当且仅当ξ可能取的值都相等时取等号. 构造随机变量ξ的分布列,利用(*)式可以巧求下面一类题型的最小值.     

“巧构”随机变量分布列“妙解”赛题

对于一些求最值和证明不等式问题,尤其在一些竞赛题中,如果我们根据给出的条件及分式的结构,巧妙的构造随机变量的分布列,然后利用期望的性质Eξ2≥（Eξ）2,可以非常迅速地使问题得以解决．     

一类最值问题的概率视角

概率是新课程中的热点内容,在概率教学中,适当说明构造概率模型在解题中的运用,体现概率与其它数学内容之间的紧密联系,对增强学生的学习兴趣,加深学生对概率知识的理解,都是很有裨益的.最值问题是中学数学常见问题,文[1]利用向量简捷巧妙的解决了一类最值问题,本文将另辟蹊径,利用一个概率定理求此类最值,以此展示解决此类问题的概率视角,希望对读者有所启发.定理设离散型随机变量ξ的分布列为P(ξ=xk)=Pk,k=1,2,…,n,则Eξ2≥(Eξ)2,当且仅当x1=x2=…=xk=Eξ时等式成立.证明Eξ2-(Eξ)2=∑k=n1x2k·Pk-(Eξ)2=∑k=n1(xk-Eξ)2·Pk≥0…     

对随机变量ξ服从几何分布问题的探讨

笔者在教学中发现很多学生对随机变量ξ服从几何分布的概念缺乏深入理解,教科书和相关参考资料对此问题也未深入全面阐述,多数学生处理这类问题容易出错.下面就让我们一起来探讨一下随机变量ξ何时服从几何分布,随机变量ξ服从几何分布需要具备什么样的条件.笔者认为,这个问题值得我们一线数学教师共同探讨.     

例析构造离散型随机变量解决不等式问题

离散型随机变量ξ、分布列、期望Eξ及方差Dξ本属概率统计知识,然而根据Dξ=Eξ~2-(Eξ)~2≥0却可广泛应用于求解不等式问题之中.不等式中经常与"1"密切联系,而离散型随机变量的概率之和也为1,这为我们解相关问题创造了构建分布列的条件,从而能得出绝妙的求解方法.其解题模式为构造随机变量ξ分布列     

用分层解析法解数学应用题

例1智力测验试卷中共有10个判断题,评分规则是:底分50分,每答对一题加5分,答错一题减3分.某人答对任一题的概率是34,求此人得分的期望与方差.解析10个判断题可看成10次独立的重复试验,其得分(η)由答对题数(ξ)决定,其关系为:η=50+5ξ-3(10-ξ)=20+8ξ,可将原题分解为两层.第一层:先求此人答对题数的期望与方差.第二层:再求此人得分的期望与方差,且Eη=8Eξ+20,Dη=64Dξ.ξ～B(10,34),η=8ξ+20,Eξ=np=10×34=7.5,Dξ=npq=10×34×(1-34)=158.∴Eη=8Eξ+20=80,Dη=64Dξ=120.例2某工厂三年的生产计划规定:从第二年起,每年比上一年…     

构造特征函数求导——求期望与方差的新视角

求随机变量的期望与方差是高考考查概率统计知识的主要题型,教材主要介绍了三种常见离散型随机变量（即服从等可能分布的随机变量、服从几何分布的随机变量、服从二项分布的随机变量）的期望与方差,并直接给出在解题时可直接运用的计算公式,但公式的推导过程复杂,能力要求高,笔者在教学之余一直在思考：能否找到一种更简洁,有效的方法计算期望与方差？     

一道2014年上海高考题的探究

<正>2014年上海高考理科第13题:某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若E(ξ)=4.2,则小白得5分的概率至少为.1解法探究解设小白得i分的概率为pi(i=1,2,3,4,5),因为E(ξ)=4.2,所以p1+2p2+3p3+4p4+5p5=4.2,又p1+p2+p3+p4+p5=1,代人得p2+2p3+3p4+4p5=