整除问题——初一数学竞赛系列讲座（5）

对整数a和b（b不为0），如果存在一个整数q，使a=b&;#215;q，则称a被b整除，也称b整除a，否则就称a不能被b整除．例如35=5&;#215;7，于是35被5（或7）整除．     

质数、合数、公约数、公倍数问题选讲——初一数学竞赛系列讲座(4)

上小学的时候,我们就知道所有的非零自然数可以分为自然数单位1、质数(素数)和合数三类,注意1既不是质数,也不是合数.100以内的质数,从小到大依次是:2,3,5,7,11,13,17,19,…,83,89,97.质数的个数是不是有限多的呢?在解决这个问题之前,先来看看另一个问题:怎样判断一个已知自然数是不是质数.比如,221是不是质数?你一定会按照下面这个步骤去判断:先用最小的质数2去除221,不能整除;再用3去试试,还是不行;再依次用5,7,11试试,还是不行;13呢?行!221=13×17,所以221不是质数,而是合数.所以,判断一个数是不是质数,只需用比这个数小的所有质数,依次…     

一次方程（组）——初一数学竞赛系列讲座（2）

法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想：首先，把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为方程。由此可见，方程在数学学习中的重要性，而一元一次方程是方程学习的基础。     

面积与面积解题——初一数学竞赛系列讲座（3）

在一条河的两边有甲、乙两个乡村，他们希望把河道改直，但又不能使各自的总面积受影响，且A，B两点仍必须在河两岸（图1）．你能帮他们完成这个任务吗？     

抽屉原理——初一数学竞赛系列讲座（9）

“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的．这个原理可以简单地说成“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”．这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果．抽屉原理是各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用．     

不定方程初步一初一数学竞赛系列讲座（8）

我国古代数学书《张丘建算经》里，有一道“百钱买百鸡”问题： 今有鸡翁一直钱五，鸡母一直钱三，鸡雏三直钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？     

平面基本图形浅说——初一数学竞赛系列讲座（7）

在平面内任意画出5条直线，最多可以把平面分成多少部分？这5条直线最多有几个交点？     

填数——初一数学竞赛系列讲座（10）

我国古代很早就有关于填数的研究．《系辞上传》曰：“河出图，洛出书，圣人则之”．其中“河出图”是指伏羲氏统治天下时，黄河中出现一条龙马载着一张“河图”送给伏羲；“洛出书”则是指大禹治水时，洛水中跃出一头神龟，背上刻着一张“洛书”献给大禹，帮助他统治天下．其中，“洛书”如图1所示：     

“质数和合数”教学设计（一）

本期同时发表“质数和合数”两篇不同的教学设计 ,欢迎大家参与评课活动。来稿请在６月底前寄给申建春同志 ,本刊在第１６期择优发表大家的评课文章教学目的 :学生理解并掌握质数和合数的概念 ,能正确地判断一个数是质数还是合数 ;培养学生分析比较、抽象概括及判断的能力。教学重点 :理解和掌握质数、合数的概念。教学难点 :质数、合数、奇数、偶数的区别与联系。教学过程如下。一、复习铺垫 ,引入新课教师提出问题 :谁能举例说说约数和倍数的意义 ?７、１２、１５的约数各有哪些 ?学生回答后 ,教师说 ,大家已经学会了求约数的方法 ,那么每…     

代数式与代数式的值——初一数学竞赛系列讲座（6）

小学数学完成了数的基本运算，初步尝试了用代数方法解决有关问题的优越性．由算术到代数的跨越是数学的一次飞跃，用字母表示数把人们领进了色彩斑斓、充满神奇的数学王国，有人说“算术是智者的游戏，代数是懒人的算术”，这并不是说代数不用脑子，而是说，解决同样难度的问题，代数方法常常比算术方法容易：例如：     

数字问题——数学竞赛系列讲座（1）

[基本知识] 本讲中的“数字问题”是研究有关整数的一些问题，它是初中数学竞赛中常见的问题，命题多样，解题灵活，推理性强。解这类问题常用到如下有关整数的一些基本知识。     

余数与同余——数学竞赛系列讲座（2）

[基本知识]如果整数a除以正整数m，商为q，余数为r，则a=qm＋r，其中q与r都是自然数，而且0≤r〈m，关于余数问题，我国古代就有研究，南北朝时期的数学著作《孙子算经》就记载着著名数学问题“物不知数”：今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问物几何？答曰：二十三，这就是“中国剩余定理”。     

有理数——初一数学竞赛系列讲座（11）

问题I 小明家有10袋小麦要到市场出售，爸爸让小明算一下10袋小麦的总重量，现称得10袋小麦的重量分别为97kg，95kg，86kg，96kg，94kg，93kg，87kg，88k，98k，91岖爸爸刚把每袋小麦的重量报完，小明口算立即报出了结果为925kg，你能知道小明为什么算得这么快？     

数的整除（三）——质数、合数、分解质因数

这一节不像前两节那样，它很少涉及知识，而主要侧重于方法。在这一节内容中，常常会遇到“判断一个数是否是质数”的问题。判断一个数是不是质数，有三种方法，即查表法、分拆法和试除法。     

激活思维的节点——《质数和合数》教学案例解读

片断一师:前面我们学习了约数和倍数的有关知识,你能有序地写出一个数的所有的约数吗?我把所有的三个字的字音加重,目的是为了强调,不漏写约数.很快,大家都写好了1～12这12个数的所有的约数,我把其中一名同学写的展示出来了:     

非常规问题探讨——数学竞赛系列讲座（7）

阿华只吃形状是锐角三角形的馅饼，但这一天厨师却给他端来一块形状是钝角三角形的馅饼．阿华坚决不吃这块馅饼，问姐姐阿芳有没有办法把馅饼切成若干块锐角三角形，让阿华吃完所有的馅饼？     

数学概念教学中的探究学习——“质数、合数”教学实录（片断）及反思

读了潘小明老师这篇文章,编者有颇多感受。在课程改革逐步深化的今天,我们的教师应如何理解课程标准,进而在自己的教学实践中应用课程标准的理念引导学生进行有效的学习,是值得广大数学教育工作者深入思考的问题。概念教学令广大数学教师感到头疼,为了让学生正确理解、接受数学概念,教师往往是设计一环套一环的习题,让学生跟着习题走,逐步揭示概念的本质属性。这祥的教学看似水到渠成,但没有发挥学生的主动性,没有让学生经历认知的冲突过程,学生对概念理解得往往比较肤浅。在课程改革的大背景下,有些老师已经注意到了传统教学中重教轻学的弊端,在自己的教学中进行了一些尝试。但我们看到,许多老师的做法只是停留在表面上,不能从根本上改变学生被动的学习方式。而潘老师则创造性地将课程标准的新理念融入概念教学中,在教学进程的各个阶段,创设了富有挑战性的问题情境,让学生充分感受认知冲突。在自主解决问题的过程中,学生思维活跃,在争论、交流与合作中,逐步建构出数学概念的特征。在整个教学过程中,老师真正成为了学生学习的引导者与合作者。值得一提的是,潘老师善于对以前的教学进行反思,根据反思改进和完善今后的教学。这节课对于我们研究如何创造性地应用教材资源,把课程标准的新理念渗透到教学的每个环节中有很好的借鉴作用。下面,就让我们来感受潘老师这节精彩的课例吧!     

勾股定理及其应用——数学竞赛系列讲座（3）

[基础知识] 1．勾股定理 直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和．     

特殊四边形——数学竞赛系列讲座（9）

“矩形”是不是平行四边形？有同学这样问．矩形是一种特殊的平行四边形，它有一个内角（因而其他三个内角）是直角．     

认识概率与统计——数学竞赛系列讲座（8）

[基本知识] 初中阶段概率与统计的内容，主要涉及对事件发生可能性的认识．学会用简单的计算及实验得出事件可能发生的概率，并利用统计数据来分析事件发生的变化状态．通过这些内容的学习，努力使学习者具有良好的概率（可能性）思维的意识．