判定直线是圆的切线例谈

判定直线是圆的切线,是圆这一章学习的一个重点,如何迅速、快捷地确定切线的判定方法,是正确判定切线的关键.下面以中考题为例说明.例1(四川眉山)已知:如图1,⊙O的半径为6cm,O D⊥A B于D,∠A O D=∠B,A D=12cm,D B=3cm.求证:A B是⊙O的切线.分析:欲证A B是⊙O的切线,因为O D⊥A B,故只需证O D是⊙O的半径.证明:∵O D⊥A B,∴∠A D O=∠O D B.∵∠A O D=∠B,∴△A O D∽△O D B.∴O D2=A D·D B,即O D2=12×3.∴O D=6(cm),即O D为⊙O的半径.∵O D⊥A B于D,∴A B是⊙O的切线.例2(北京朝阳)已知:如图2,A C是⊙O的…     

巧用面积法解(证)平面几何题

有些平面几何 ,本身虽然与面积无关 .若从面积的角度来考虑 ,往往具有思路明快 ,过程简捷 ,现举例如下 .一、用面积证明线段相等例 1　如图 1,在△ A BC中 ,BE⊥ AC于 E,CF⊥AB于 F,且 BE =CF,求证 :AB =A C.证明 :在△ A BC中 ,由三角形面积公式 ,得S△ ABC=12 A B .CF =12 A C .BE∵ BE =CF,∴ AB =AC.图 1图 2二、用面积法证明线段不等例 2　如图 2 ,在△ A BC中 ,BC >A C,AD⊥ BC于D,BE⊥ AC于 E,求证 :BE >A D.证明 :∵ S△ ABC =12 BE .A C =12 AD .BC,∴ BEA O=BCA C,又∵ BC >AC,∴ BE >AD .…     

数学问题与解答

271.△ABC的内切圆⊙O切BC、CA、AB于A′、B′、C′,过O点分别作△A′B′C′各边的平行线,它们在BC、CA、AB上截得的线段分别为EF、MN、PQ,试证: EF/BC+MN/CA+PQ/AB=1。证:如图1,连OC、QE、MF。由EN∥A′B′和OC⊥A′B′得OC⊥EN。但OC平分∠ECN,故ON=OE。同理,OM=OQ,所以,△OMN≌OQE,EQ(?)MN。同理得到FM(?)PQ。于是有△QBE∽△ABC∽△MFC。于是 MN/CA=QE/CA=BE/BC,     

两圆外切的若干性质及其应用

人教版九年义务教育初中几何第三册p .14 4页有这样一道例题 :已知 :如图 1,⊙O1 和⊙O2 外切于点A ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 .求证 :AB⊥AC .图 1解题过程不难理解 ,关键在于作出两圆的内公切线 ,下面简证如下 :证明 :过点A作⊙O1 和⊙O2 的内公切线交BC于点O ,因为OB、OA是⊙O1 的切线 ,所以OB =OA .同理OC =OA ,所以OB =OC =OA .即OA =12 BC ,所以AB⊥AC .这个例题的基本特点是△ABC构成了直角三角形 ,我们不妨称△ABC为切点三角形 ,容易证明切点三角形具有如下性质 :( 1)切点三角形是以两圆的公共点…     

九年级第一学期期末几何质量检测题

一、选择题(每小题3分,共30分)1.正△ABC的边长为1,以点A为圆心、32为半径的圆与边BC所在直线的位置关系是().(A)相交(B)相离(C)相切(D)不能确定图12.如图1,PA切⊙O于点A,OP⊥弦AB.如果PA=15,⊙O的半径为8,则AB的弦心距等于().(A)6017(B)6417(C)15(D)不能求得3.在△ABC中,∠A=90°,⊙O分别与AB、AC切于点D、E,点O在BC上.设AB=a,AC=b.则⊙O的半径等于().(A)aba+b(B)a+bab(C)a+b2(D)ab4.如图2,PQ、PR、AB是⊙O的切线,切点分别是Q、R、S.若∠APB=40°,则∠AOB等于().(A)50°(B)60°(C)70°(D)80°图2图35.如图3,A…     

试题我来编

正1编创原题呈现如图1,⊙O的直径AB=12,AM和BN是它的两条切线,D,C分别是射线AM和BC上的动点(不与A,B重合),设AD=x,BC=y,且满足关系式y=36/x,试判定直线DC与⊙O的位置关系,并说明理由.解DC是⊙O的切线.理由如下:如图2,作DF⊥BC于F,作OE⊥CD于E,连结OD,OC.∵AM和BN是⊙O的两条切线,AB是⊙O的直径,     

第39届IMO预选题8的简证

题目:在△ABC中,∠A=90°,∠B<∠C。过点A作△ABC的外接⊙O的切线,交直线BC于D,设点A关于BC的对称点为E,作AX⊥BE于X,Y为AX的中点,BY与⊙O交于Z。证明:BD为△ADZ的外接圆的切线。 证明:如图1,连AE交BC于F,连FY、FZ、EZ、ED。 ∵点A与点E关于BC对称, ∴AF=EF且AF⊥BD。     

数学奥林匹克问题

本期问题图1初167如图1,过⊙O外一点P引⊙O的两条割线PAB、PCD,分别交⊙O于点A、B、C、D,弦AD、BC相交于点Q,割线PEF经过点Q交⊙O于点E、F,过点D作DM∥PF交⊙O于点M.求证:MB平分EF.(吕建恒陕西省兴平市教研室,713100)初168如图2,在等腰Rt△ABC中,D1为直角边AC上任意一点,D1G⊥B     

一道课本习题的引申和证明

[题目 ]如图 (1),⊙ O1和⊙ O2外切于点 A, BO是⊙ O1和⊙ O2的公切线, B, C为切点,求证 AB⊥ AC.(初中《几何》第三册 144页例 4) 适当改变题目的条件、结论,通过猜想、归纳,引申为以下几题 . 1改变两圆的位置关系,由外切变为相交 . [题 1]如图 (2),⊙ O1和 O2相交于 A1, A2两点, BC是⊙ O1和⊙ 2的公切线, B, C为切点 .求证∠ BA1C＋∠ BA2C=180° . 证明：连结 A1A2, ∵ BC与⊙ O1相切于点 B, ∴∠ A2BC=∠ BA1A2. 同理,∠ A2CB=∠ CA1A2. ∴∠ A2BC＋∠ A2CB=∠ BA1A2＋∠ CA1A2=∠ BA1C. …     

“圆”的综合测试题

一、填空题(本大题含10个小题,每小题3分,共30分)1.见图1,已知⊙O的半径OA=5,弦AB的弦心距O C=3,则AB=.2.见图2,⊙O为△ABC的外接圆,AB为直径,AC=BC,则∠A的度数是.3.见图3,已知⊙O1与⊙O2外切于切点P,⊙O1的半径为3,且O1O2=8,则⊙O2的半径R=.4.一个圆锥的底面半径为2,母线长为4,则圆锥的侧面积是.5.见图4,⊙O的半径O D为5cm,直线l⊥O D,则直线l沿射线O D方向平移cm时与⊙O相切.6.见图5,⊙O的半径为1,PA切⊙O于点A,且PA=2,则tan∠APO的值为.7.见图6,AB是⊙O的直径,AB=4,∠CD B=30°,则弦BC的长为.8.⊙O的直径为50cm,…     

单元测试题B卷

一、精心选一选(每题3分,计24分)1.如图1,已知AB=AC,D,E分别为AB,AC的中点,G,H分别为AD,AE的中点,则图中全等三角形共有().(A)3对(B)4对(C)5对(D)6对2.△ABC中,AB=7cm,AC=5cm,第三边BC上的中线AD的取值范围是().(A)2cm相似文献   

有心圆锥曲线一个性质的新发现

<正>1背景介绍近日,笔者发现圆中有以下结论:如图1,AB是⊙O的直径,C、D是圆上异于A、B的两点,设直线AC、BD相交于点M,直线AD、BC相交于点N,则MN⊥AB.证明因为AB是⊙O的直径,所以AD⊥BM,BC⊥AM,于是点N是△ABM的垂心,从而有MN⊥AB.     

第18届江苏省初中数学竞赛(初三)

一、选择题 (每小题 7分 ,共 4 2分 )1.在直角坐标系中 ,纵、横坐标都是整数的点 ,称为整点 .设k为整数 ,当直线y =x - 2与y =kx k的交点为整点时 ,k的值可以取 (　　 )个 .(A) 4　　 ”(B) 5　　 ”(C) 6　　 ”(D) 7图 12 .如图 1,AB是⊙O的直径 ,C为AB上的一个动点(点C不与A、B重合 ) ,CD⊥AB ,AD、CD分别交⊙O于E、F .则与AB·AC相等的一定是 (　　 ) .(A)AE·AD　　 (B)AE·ED(C)CF·CD　　 (D)CF·FD3.在△ABC与△A′B′C′中 ,已知AB 相似文献   

《证明(三)》单元测试卷

一、填空题1.在ABC D中,若∠A+∠C=140°,则∠C=°,∠B=°.2.对角线相等且互相平分的四边形是,对角线相等且互相垂直的平行四边形是.3.若菱形的两条对角线长分别为6cm,8cm,则这个菱形的周长为,面积为.4.如图1,矩形ABCD的两条对角线交于O点,∠AOB=60°,AB=2cm,则矩形的对角线长是,矩形的周长是.图1图25.如图2,四边形AB C D是正方形,延长BC至点E,使CE=AC.连结AE,A E交CD于F,那么∠A FC度数是.6.如图3,直线l是四边形A BC D的对称轴,且AB=C D.今给出下面四个结论:①AB∥CD;②CA⊥B D;③AO=O C;④AB⊥BC.其中正确的结…     

有关圆问题的典型题目

1.核心知识重点考查,注重落实双基例1如图1,已知AB为⊙O的弦,OC⊥AB,垂足为C,若OA=10,AB=16,则弦心距OC的长为( )．A．12 B．10 C．6 D．8分析:该题为圆的基础题,可利用垂径定理和勾股定理求解,解:易知选择C．点评:垂径定理是圆的重要内容,在历年的考试中是必考点．例2如图2,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°, BC=43~(1/2),D是线段BC的中点．     

圆

A组一、选择题1. (北京市 )如图 ,CA为⊙ O的切线 ,切点为 A,点B在⊙ O上 ,如果∠ CAB =5 5°,那么∠ AOB等于(　　 )(A) 5 5°.　 (B) 90°.　 (C) 110°.　 (D) 12 0°.(第 1题 ) (第 2题 )2 . (北京海淀区 )如图 ,四边形 ABCD内接于⊙ O,E在 BC延长线上 ,若∠ A =5 0°,则∠ DCE等于 (　　 )(A) 4 0°.　 (B) 5 0°.　 (C) 70°.　 (D) 130°.3. (安徽省 )如图 ACB的半径为 5 ,弦 AB =8,则弓形的高 CD为 (　　 )(A) 2 .　 (B) 52 .　 (C) 3.　 (D) 163.(第 3题 ) (第 4题 )4 . (江西省 )如图 ,AB是 AB所对的弦 ,AB的…     

数学奥林匹克问题

本期问题初341在Rt△ABC中,已知∠A=20°,∠B=90°,AD是∠BAC的平分线,点E在边AB上,联结CE、DE.若∠DCE=30°,求∠ADE的度数.初342如图1,⊙O是△ABC的外接圆,⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃分别与△ABC的边BC、CA、AB切于中点D、E、F,分别与⊙O切于点G、H、I,记⊙O、⊙O₁、     

一道中考综合题的解法探究

题目 （2005年哈尔滨市）如图，点⊙2是⊙O1上一点，⊙O2与⊙O1相交于A、D两点，BC⊥AD，垂足为D，分别交⊙O1、⊙O2于B、C两点．延长DO2交⊙O2于E，交BA的延长线于F，BO2交AD于G，连结AC。     

2006年全国中考数学新题集锦

有关圆选择题1.(临沂)如图,在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,⊙O分别与边AB、AC相切,切点分别为E、C,则⊙O的半径是()。A.10/3B.16/3C.20/3D.23/32.(鄂州)如图,A是半径为1的⊙O外的一点,OA=2,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC//OA,连结AC。则图中阴影部分面积等于()。A.π/6B.π/3c.π/2D.(π/3)-3～(1/2)π/3c.π/2D.(π/3)-3～(1/2)A.π/6B.π/3c.π/2D.(π/3)-3～(1/2)B.π/3c.π/2D.(π/3)-3～(1/2)连结AC。则图中阴影部分面积等于()。A.π/6B.π/3c.π/2D.(π/3)-3～(1/2)2006年全国中考数学新题集锦~~…     

数学奥林匹克问题

本期问题初177在以AB为直径的半圆⊙O上取一点C,过C引CD⊥AB于D,CD将半圆⊙O分为两个图形,这两个图形的内切圆分别切AB于E、F.求证:AAFE··FEBB=DDFE.初178如图1,⊙O1与⊙O2外切于D,等腰Rt△ACB内接于⊙O1,切点D在半图1圆AB上.过点A、B、C分别作⊙O2的切线AM、BN、CP,M、N、P分别为切点.求证:AM+BN=2CP.高177如图2,半圆⊙O1的直径为图2AB,D为O1B上一点,且不与O1、B重合,过点D且垂直于AB的直线交半圆⊙O1于点C,⊙O2与半圆⊙O1内切于F,与CD切于点N,与BD切于点M.联结CM、AC、CB,过A作∠BAE=∠ACM,边AE…