一道"希望杯"题的多解·类比·推广(高二、高三)

题 当x,y∈R时,函数f(x,y)= (x y)2 (1/x-y)2的最小值是. (第十五届(04年)"希望杯"高二1试第18题) 解法1 由a2 b2≥1/2(a b)2,得 易知当x y=1/x-y,且x2=1/x2,即 x=±1,y=0时,f[(x,y)]min=2. 解法2 由a2 b2≥2ab,得     

导数,给您全新的感受——2004年全国高考上海卷第20题的导数解法

20 0 4年全国高考上海卷第 2 0题是一个有关函数与方程的综合性问题 ,命题组分别给出了用函数思想 (数形结合 )和方程方法解答的两种参考答案 .本文给出导数解法 ,并将该问题推广 .试题　已知二次函数 y =f1 (x)的图象以原点为顶点且过点 ( 1,1) ,反比例函数y= f2 (x)的图象与直线 y=x的两个交点间的距离为 8,f(x) =f1 (x) f2 (x) .( 1)求函数y=f(x)的表达式 ;( 2 )证明 :当a >3时 ,关于x的方程f(x) =f(a)有三个实数解 .由于本题的第 ( 1)小题是常规问题 ,不作讨论 ,本文只探索第 ( 2 )小题 .1　与函数思想相结合的导数解法解法 1　由 ( 1)…     

一道全国竞赛题的多种解法

20 0 1年全国高中数学竞赛第一试第 11题为 :函数 y =x + x2 - 3 x+ 2的值域为.下面提供五种解法 ,以飨读者 .解法 1　移项得 y- x=x2 - 3 x+ 2 ,上式等价于 (y- x) 2 =x2 - 3 x+ 2 ,y- x≥ 0 .12由 1得 x=y2 - 22 y- 3 ,代入 2得 y- y2 - 22 y- 3≥ 0 ,即 (y- 1) (y- 2 )2 y- 3 ≥ 0 ,解得 1≤ y<32 或y≥ 2 .故原函数的值域为 [1,32 )∪ [2 ,+∞ ) .解法 2　原函数式可变形为 y=x+(x- 32 ) 2 - 14,∵ x2 - 3 x+ 2≥ 0 ,∴ x≤ 1或 x≥ 2 .令 t=x- 32 ,则 t≤ - 12 或 t≥ 12 ,y=t+ 32 + t2 - 14.当 t≥ 12 时 ,y是 t的增函数 ,当 t=12时 ,…     

评析一道高考题的三种解法

高三教学要重视多题一解和一题多解,研究知识与方法的内在联系,并从中获得解题的思路与技能.2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标Ⅱ卷)文科第21题:已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(Ⅰ)求a;(Ⅱ)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.这是一道高考压轴题,问题(Ⅰ)解法简单,在此不赘述.问题(Ⅱ),对于文科学生还是有一定难度的.现提供三种解法,并分析各自优劣,让同学们从中去品味不同解法间的差异与联系.     

一道高考题的解法及推广

2005年重庆卷(理工农医类)第5题:若x,y是正数,则(x 21y)2 (y 21x)2的最小值是()A.3B.27C.4D.29解法1(x 21y)2 (y 21x)2≥2(x 21y)(y 12x)=2(xy 41xy 1)≥2(2xy41xy 1)=4,当且仅当x 21y=y 21xxy=41xy时,即x=y=22时取等号.所以所求最小值为4,故选C.解法2(x 21y)2 (y 21x)2≥21(x     

两道三角函数题的错解剖析

题目1:已知函数f(x)=sin2x+cos2x/tanx+cotx,求f(x)的值域. 该题是某教育出版社2002年12月出版的<高中数学课课练>(一年级下学期)中P67第9题第2小题,该书P183给出了如下解法:     

一道数学联赛题的再探讨

2001年全国高中数学联赛第一试第11题：求函数f(x)=x √x^2-3x 2的值域．命题组提供的解答方法是先移项两边平方，再对y值进行回代检验．本文提供以下五种较为简捷明快的解法．     

一道高考题的多种解法及简评

2002年全国高考数学试题(理)第(19)题: 设点P到点M(-1,0),N(1,0)距离之差为2m,到x轴,y轴距离之比为2,求m的取值范围. 1 多种解法解法1 (标准答案)设点P的坐标为(x,y),依     

掌握基市解法的同时应兼顾巧解

人教版全日制普通高级中学教科书(必修)<数学>第二册(上)第6.4不等式的解法举例一节中P18例2解不等式x2--3x+2/x2-2x-3＜0.该题的解法是:根据等价转化的思想方法,原不等式等价为两个不等式组(Ⅰ){x2-3x+2＞0 或(Ⅱ){x2-3x+2＜0x2-2x-3＜0 x2-2x-3＞0.     

这样的解法自相矛盾吗?

在初中《数学>第二册第136页例6.“已知4x+1(x一2)(x一5) A .B、、~~J。二、二二一,丁一一下一十二~一二不城佣正点、力阴但。‘’ 工一O弄一‘先向您介绍一种解法:解:4x+1A(x一2)+B(x一5) (x一2)(x一5)(l)当x今2(x一2)(x一5) x钾5时,可得4x+1一A(x一2)+B(x一5).(2)设x一2,得9~一3B,B-一3设x一5,得21一3A,A一了. 您看了这种解法,一定会感到此解法比课本上的解法简捷得多可是,有些教师对此解法有怀疑.理由如下: 从式(1)变形到式(幻需要条件:x今2,x钾5.然而,在求A、B之值时,偏又用了这些被“排除”的值x一2、x一5代入式(2).这岂不“自相…     

教育叙事:正确与错误共存的逻辑矛盾现象(续)

2 案例2:两种解法中的逻辑矛盾现象2.1 案例的呈现2001年 TI 杯全国初中数学竞赛第15题是:题目已知关于 x 的方程(a~2-1)(x/(x-1))~2-(2a 7)(x/(x-1)) 1=0 ①有实数根.(1)求 a 的取值范围;(2)略(本文只讨论第(1)问).2.1.1 解法文[16]P.24所提供的标准答案如下,记为解     

对两道例题解法的商榷

贵刊2007年第4期文《高考复习中不等式题型分析及解法》一文的例1、例3两题的解法值得商榷.文中例1:“已知:p:1-x-13≤2,q:x2-2x 1-m2≤0(m>0);p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.文中解法得出p即x<-2或x>10,q即x<1-m或x>1 m(m>0).设A={x x<-2或x>10},B={x x<1-m或x>1 m}     

到底那种解法对?——剖析一道题目的两种解法

(数学通报》第1052号题提供了如下一道题目:求一了(零一3), ‘,一2,, V‘,=长5士厕)时‘达到最小值. 兮的最小值.该刊1997年第2期给出了如下解答(下称解法①):t= 1、十万沪艺2 一一1一2 之2 了谬哥}护_}.尹.1~}万一J}’万十百‘ 同一个题目,两种不同的解法,得出了不同的答案,到底哪一种解法是正确的?这引起了我的兴趣,经过分析,我发现解法②是不正确的,下面予以分析. 解法②正确与否,关键是看不等式!z:} }z:}》}z: z2}的等号能否取到.首先应该明确复数不等式}z,} }z:})}z,十z:}取等号的条件,设二;==x: 夕;i,z:=xZ yZi,x:、y:、x2、y2都…     

2013年湖北高考数学试题理科13题

题目 设x,y,z∈R,且满足x2+y2+z2=1,x+2y+3z=√14,则x+y+z=____. 本题言简意赅,内涵朴实、解法多样,思想鲜活,是一道难得一见的好题,下面提供6种解法,供同行参考. 解法1 (柯西不等式法)由柯西不等式得:     

对教材中的一道例题解法的建议

在高中三年级教学和复习中 ,师生都较注重解题的简单和快捷 ,然而现行教材不等式一章 ,2 0页的例题 4 ,解不等式 x2 - 3x+ 2x2 - 2 x- 3<0中虽然给出了两种解法 ,但在实际解题中这两种方法并不实用。因为在解不等式的问题中经常遇到二次及二次以上的高次不等式 ,本文主要给出第三种解法 :“数轴标根法”。同时对三种解法进行比较来说明第三种解法的优点。现给出教材中的两种解法 :解法 1:这个不等式 x2 - 3x+ 2x2 - 2 x- 3<0的解集是下面的不等式组 ( )及不等式组 ( )的解集的并集 :( ) x2 - 3x+ 2 >0 (1)x2 - 2 x- 3<0 (2 )( ) x2 - 3x+ 2 …     

由一道高三质检题看两类数学题解法的探究

2016年云南省某市高中毕业生第一次教学质量检测理科数学第21题为: 题目 已知函数f(x) =2ln x-ax+a(a∈R). (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)若(V)x∈(0,+∞),f(x)≤0,证明:当0＜x1 ＜x2时, f(x2)-f(x1)/x2-x1＜2(1/x1-1). 这是一道构思精巧的函数与不等式的综合题,着重考察导数在研究函数的性质以及证明函数不等式中的综合运用,试题呈现起点低、落点高,知识综合性强,对考生能力要求高的特点.考后分析知试题的第(Ⅱ)问得分率非常低,可见该题实属不易.由此引发笔者对该问题解法分析和背景溯源以及由此引出的两类高考题解法探究的一些思考.     

一道祖杯赛题的简解

第九届初中《祖冲之杯）数学邀请赛第三题是: 解方程:(13x-x~2)/(x 1)(x (13-x)/(x 1))=42. 原参考解答是通过换元,构造辅助方程求解的,运算较繁.现给出一个简捷解法. 解 原方程即为(13x-x~2)/(x 1)×(x~2 13)/(x 1)=42.     

一道似是而非的题解

《中学数学方法的综合运用》,(湖南人民出版社出版,1981年8月第1版)书中第154页例3:求函数y=x 4 (5-x~2)~(1/2)的极值。书上的解法照抄如下: [解法一]: 令z=x (5-x~2)~(1/2),则z-x=(5-x~2)~(1/2),从而有 x~2-2zx x~2=5-x~2或2x~2-2zx (z~2-5)=0. 要x取实数值,必须其判别式Δ=4z~2-8(z~2-5)≥0. 即 z~≤10,-10~(1/2)≤z≤10~(1/2) ∴ 4-10~(1/2)≤y≤4 10~(1/2) [解法二] 利用三角代换解法如下:     

一道题的错误解法及更正

上海辞书出版社出版的《数学题解辞典》(平面解析几何)中第455题的解法是一种错误解法.原题解法如下:445.作出点集D:{(x,y)||x|≤|y|≤|x|+3~(1/2)-1,x~2+y~2≤4},求其面积.[分析]将集合中元素应满足的不等式改为相应的等式,即可得点集D所表示的区域的边界.     

一道教材习题的解法探究与引申变型

高中新教材数学第二册(上)第132页第6题是:在椭圆4x52 2y02=1上求一点,使它与两焦点的连线互相垂直.笔者对此题的解法与题型的引申变化进行了如下探究,供读者参考1试题解法探究解法1(交轨法):设点P(x,y),因为PF1⊥PF2,所以P点在以F1F2为直径的圆上,即x2 y2=25,又点P在椭圆上,所