形如1/a+1/b=1/c的几何题证明

例题如图1,已知直线AB同侧有平行线AC、BD,连结AD、BC交于E,又EF∥AC交AB于F,求证:A1C+B1D=E1F.分析:这是形如1a+b1=1c的证题,通常先化为ca+bc=1,再用等比代换证ac=ef,bc=eg且f+g=e,即化成同分母分式相加的形式。证明∵EF∥AC∥BD图1∴AECF=AFBBBEDF=AABF∴AECF+BEDF=BFA+BFA=1∴A1C+B1D=E1F.由此例可得:过梯形对角线交点向一腰所引平行于底的线段长的倒数等于两底长的倒数之和。把图1作为“基本图形”,在证形如1a+1b=1c的证题时,只要寻找或构出“基本图形”便可找到解决问题的突破口。一、直接应用“基本图形”…     

巧用三角代换解一类问题

三角代换是中学数学解题中的常用技巧.若能恰当地运用三角代换,可使问题简单化,提高解题效率和能力,达到事半功倍的效果.本文给出有关三角代换的几种常见的途径和方法. 1 根据题中变量的范围,应用正、余弦函数的有界性进行代换 例1 已知:,xyR且||1,||1xy＃,求证: 22|(1)(1)|1xyxy--? 证明 由||1,||1xy＃,可设sin,xya== cosb. 左边22|sincos(1sin)(1cos)|abab=-- |sincoscossin|abab=?|sin()|1ab=保,故不等式得证. 例2 求函数21yxx=--的值域. 解 函数的定义域是[-1,1],于是可设 cos(0)xqqp=＃. ∴2cos1cosyqq=-- cossin2cos(/4)qqqp=-= . …     

利用“和差代换”简证一类不等式

对于任意实数a与b,都有2aba = ,2ab-.22ababb -=-令,.22ababst -==则有ast= ,bst=-.这就是“和差代换”,本文利用“和差代换”给出几个难度较大的不等式的简捷证明. 例1 已知a、b是任意的正实数,求证: 11()12nnnnnaababbabn-- L. (湖南省中学生数学夏令营试题) 证明 当ab=时,显然等号成立.当ab时,则只须证: 11()(1)()2nnnababnab - -. 设,ast= bst=-,其中0.2abs =>故有 1111()()(1)()(1)2nnnnabststnabnt - --= - ?13225441111nnnnnnCsCstCstn-- = L 11().12nnnnCsabsn == 例2 对任意实数a、b,求证 223366.2222ababab…     

借平行四边形解题

一、证明两条线段相等例１如图１，AD∥BC，若以梯形ABCD的边AB和对角线AC为边作ABEC，连结DE交BC于F．求证：DF＝EF．略证：过点D作DG∥AB交BC于G，连结GE，则四边形ABGD为，∴ABDG．∵四边形ABEC是，∴ABCE，∴DGCE，∴四边形DGEC为，∴DF＝EF．二、证不等量关系例２如图２，AD∥BC，BE＝CF，AB＝DC．求证：EF＞BC．略证：过点B、F分别作CF和BC的平行线交于G，连结GE交BC于H，则BE＝CF＝BG，∠１＝∠２＝∠３．∴△BEG为等腰三角形，∴BH⊥GE，∴GF⊥EG，故在Rt△GEF中，EF＞GF，即EF＞B…     

巧用分子有理化证一类不等式

高中代数下册(必修)第12页例3:求证 课本上给出的分析法是用平方再平方的方法,在教学中我发现用分子有理化法证更简明,解答如下: 要证,只需证 分子有理化得即 即证,而此式显然成立。 ∴成立。     

巧用代换快速解题

代换是数学解题中经常运用的一种手段,而如何代换,是要讲究方法的。本文结合例子,说明怎样利用代换技巧,实现快速解题。例1:已知ab=1,求11+a2+11+b2的值。解:∵ab=1∴1=ab∴11+a2+11+b2=abab+a2+abab+b2=bb+a+aa+b=1。例2:实数a、b满足ab=1,设M=1a+1+1b+1,N=aa+1+bb+1,则M、N的关系为()。A.M>NB.M=NC.M相似文献   

怎样证明等边三角形

在有关三角形的证明题中，经常出现求证一个三角形为等边三角形的问题．等边三角形是一类极特殊的三角形，具有许多特殊的性质，而课本对其判定方法未详细讲述，所以许多同学证明这类问题时不得其法．本文举例总结一些常见的证明方法．一、证三边都相等（运用定义证明）例1如图1，在等边三角形ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD＝BE＝CF求证：△DEF是等边三角形．证明∵△ABC是等边三角形．∴AB＝　BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°∴AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE∴DE＝EF＝FD，即△DEF是多边三角形．二、证三个角都相等例2△A…     

三角代换的功能

“三角代换”是利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题,使题目得以突破的解题方法,实质是换元思想,体现了“三角”是数学中的工具的特征,恰当地利用三角代换有助于培养学生联想和类比的能力。下面通过举例,阐述三角代换的功能。 1 证明不等式 三角代换是证明不等式的一种常用方法,它可以起到化繁为简的效果。 例1 (1)已知x~2 y~2=1,求证:-1~(1/2) a~2≤y-ax≤-1~(1/2) a~2(a∈R)。     

帮你拨开证明中的“迷雾”

几何证明不象代数计算那样有程式可循,五花八门、精彩纷呈的证法使得有人爱不释手.而另一部分人则退避三舍,其实只要掌握正确的证明思路的探求方法,则不难拨开证明中的“迷雾”,使几何证明从此不再神秘.下面以相似三角形为例加以说明.例1如图1,△ABC∽△ADE,求证:DE∥BC图1证明∵△ABC∽△DEF(已知)———“∵”后面通常只能是已知、从图“看”出来的显然结论、已证.∴∠ADE=∠B(相似三角形的对应角相等)———这里的“∵、∴”组成了一个逻辑链.∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行)———其条件是省略了的已证的“∠ADE=∠B”,它…     

例谈应用复变量代换解题

复数的应用相当广泛,有些平面几何、代数、三角、解析几何的一些问题如果采用复变量代换方法往往比常规方法简捷。下面通过一些具体问题作一例说。 一、应用复变量代换解某些平面几何问题 例1 已知,正三角形ABC边长为a,且BD=AE=1/3a,AD、CE交于F点,求证BF⊥CE. 分析:设CE的对应复数z_1,BF的对应复数z_2,只要证明z_1,z_2,满足即得证.     

用增量代换法解题

利用增量代换来解答和处理问题的方法叫做增量代换法。增量代换法是中学教学中的一种重要方法,在解决众多的数学问题中表现出奇妙的作用。一、解方程例1 解方程 (2x~2-3x+7)~(1/2)-(2x~2-3x+2)~(1/2)=1。解;由此方程的特征,可设 (2x~2-3x+7)~(1/2)=1+a, (1)则(2x~2-3x+2)~(1/2)=a(a≥0)。 (2)(1)~2-(2)~2得a=2。∴ (2x~2-3x+2)~(1/2)=2。解得 x_1=2,x_2=-1/2。经检验知,均为原方程的根。二、证不等式例2 设a,b,m∈P~+,且aa/b。证明:由已知不妨设b=a+a(a>0),则     

同一直线上四条线段成比例的证法

在证明四条线段成比例时 ,经常会碰到要证的四条线段在同一直线上的情形 .此时 ,不能直接用平行线分线段成比例定理或相似三角形对应边成比例的性质定理去解决 ,而应利用下面三种代换将共直线的线段成比例转化为不共直线的线段比例问题去解决 .1　等比代换把结论中某些线段的比用与其相等的比来代换 .等比代换是证成比例线段的常用代换 .图 1例 1　如图 1,平行四边形ABCD中 ,G为BC延长线上一点 ,AG与BD交于点E ,与CD交于点F .求证 :AE2 =EF·EG .(陕西省 2 0 0 1)分析　将等积式AE2 =EF·EG化成比例式 EFAE =AEEG .利用平行四…     

梯形与三角形、梯形的中位线

[知识要点]1 等腰梯形的性质有: (1) 　　　　　;(2) 　　　　　;(3) 　　　　　 等腰梯形的判定方法有: (1) 　　　　　;(2) 　　　　　 2 三角形的中位线定理: 　　　　　;梯形的中位线定理:　　　　　 四边形典型考题解析图1例1　(2003 年江苏省徐州市)如图1,在梯形ABCD 中,AB=CD, AD∥BC,点E在AD 上,且EB=EC 求证: AE=DE 略证　在梯形ABCD中,∵AB=CD,∴∠ABC=∠DCB 在△EBC中,∵EB=EC,∴∠EBC=∠ECB ∴∠ABE=∠DCE 又∵ AB=CD, BE=CE, ∴△ABE≌△DCE ∴AE=DE 例2　(2003年杭州市)如图 2,EF为梯形AB…     

一道几何题的引申

题一 已知：在锐角△ ABC的外面作等边 △ ABD,△ BCE,△ ACF, O1, O2, O3分别为这三个等边三角形的中心 .求证：△ O1O2O3为等边三角形 . 许多学生看到本题后,都觉得无从下手,其实这道题只是下面这道题的延伸 . 题二 在锐角△ ABC的外面作等边△ ABD, △ BCE,△ ACF.求证： DC=BF=AE. 证明：先证题二 .如图 (1), ∵△ ABD和△ ACF都是等边三角形, ∴ AD=AB,AC=AF,∠ DAB=∠ CAF=60° . 又∵∠ DAC=∠ BAF=60°＋∠ BAC, ∴△ DAC≌△ BAF, ∴ DC=BF. 同理可证△ DBC≌△ ABE, ∴ DC…     

证明“至少”型问题举偶

所谓“至少”型问题就是命题的条件或结论用“…至少…”语句叙述的问题,这类问题由于富于思考性,学生解决起来通常感到难以下手,下面举例说明它的一些常见证法,供读者参考。一顺证顺证就是由条件直接推出结论。 [例1] 设p_1p_2=2(q_1 q_2),求证:x~2 p_1x q_1=0,经~2 p_2x q_2=0中至少有一个方程有实根。证明:∵方程x~2 p_1x q_1=0,x~2 p_2x q_2=0的判别式分别为△_1=p_1~2-4q_1,△_2=p_2~2-4q_2。∴△_1 △-2=p_1~2 p_2~2-4(q_1 q_2)=p_1~2 p_2~2-2p_1p_2=(p_1-p_2)~2≥0 ∴△_1,△_2中至少有一个非负数,即至少有一个方程有实根。     

每期一题

题:已知α、β为锐角,sin(α+β)=2sinα, 求证:α<β。证法一要证α<β,而由于α、β是锐角,所以立足于推证sinα相似文献   

妙用“1”巧证题

不等式的证明题中,常常会在给定条件或待证的不等式中含有“1”或与“1”有关的项.因此,熟知“1”的应用技巧并灵活运用,对学生拓宽解题思路、提高解题能力是十分有益的.下面就证明不等式时“1”的几个常用技巧做一总结.※“1”的等量代换法※当给定条件中有含“1”的等量关系式时,常常将“1”用式子等量代换到要证明的不等式中,对原不等式变形.[例1]已知x+y+z=1,证明x2+y2+z2≥13.证明:原不等式可变形为3(x2+y2+z2)≥1.∵x+y+z=1,∴3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,左-右=3x2+3y2+3z2-(x+y+z)2=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx=(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0∴原…     

证明不等式的八种代换法

“数学解题,贵在一设”,即代换。下面介绍不等式证明中八种代换法。例1.设x_1,x_2,x_3,x_4∈R~ ,且1/(1 x_1) 1/(1 x_2) 1/(1 x_3) 1/(1 x_4)=1.求证明 x_1x_2x_3x_4≥81。(86年合肥赛题)     

证明共线线段等积式的若干方法

证明共线的四条线段的等积式，一般都要进行代换．本文列举用不同形式代换的五种方法．一、利用相等的线段代换例１如图１，过圆心O的直线l垂直于弦AB，交⊙O于D、M两点，作⊙O的另一条弦AE，并延长交l于点C，连结BE交DM于点F．求证：OD２＝OC·OF．分析：OD是⊙O的半径，可用半径OE代换OD，证OE２＝OC·OF，即证△OEF∽△OCE．证明：作直径EN，连结BN，则∠EBN＝９０°，故∠N＋∠BEN＝９０°；又∠A＋∠C＝９０°，∠A＝∠N，所以∠C＝∠BEN；又∠EOF是公共角，所以△OEF∽△OCE，OE∶OC＝OF∶OE．∴OE２…     

比和比例在三角中的应用

三角中的一类题目,若巧用比和比例将显得较为简捷,请看下面几例: [例1] 已知(cosx)/a=(cos3x)/b(cosx≠0,) 求证:(a-b)/(3a b)=tg~2x 证:设(cosx)/a=(cos3x)/b=1/k 则a=kcosx,b=kcos3x ∴(a-b)/(3a b)=(kcosx-kcos3x)/(3kcosx kcos3x) =(2sin2x·sinx)/(4cos~3x)=(4sin~2x·cosx)/(4cos~2x)=tg~2x [例2] △ABC中,求证:cosA cosB cosC>1 证:由射影定理得, a=bcosC cdosB,b=ccosA acosC 两式相加得:a b=(a b)cosC c(cosA cosB)。∴ (a b)(1-cosC)=c(cosA cosB)