一道好题的作用

苏州大学《中学数学》编辑部编写的《高一高二数学教学与测试同步训练》(下册)第15页有这样一题:若a>b>0,求证:(asinx b)/(asinx-b)不能介于(a-b)/(a b)与(a b)/(a-b)之间,粗看本题只不过是一道不等式证明题,然而仔细分析会发现这是一道很好的综合复习题,但是原解答中采用讨论asinx-b的符号来证明显得较为繁难,本文结合有关的概念复习,给出巧妙的证明以及该题在综合复习中的作用。     

利用定比分点巧证题

《中学数学月刊》在1997年第6期刊登了沈红梅的《一道好题的作用》,又在第10期刊登了田正平的《一道好题的简证》,给出了下面这道题:“若a>b>0,求证:(asinx b)/(asinx-b)不能介于(a-b)/(a b)与(a b)/(a-b)之间”的四种解法,这道题如果利用定比分点公式来证将更巧妙。     

怎样证明条件等式

有关证明条件等式的代数题,是一类综合性比较强的题目,如果能让学生掌握其各种不同的证明方法,对于培养他们的逻辑思维能力和熟练的技能技巧都是大有益处的。下面介绍几种证明条件等式的常用方法。一、将已知条件直接代入欲证等式例1 已知:x=(a-b)/(a b),y=(b-c)/(b c), z=(c-a)/(c a) 求证:(1 x)(1 y)(1 z) =(1-x)(1-y)(1-z) 证明:∵(1 x)(1 y)(1 z) =(1 (a-b)/(a b))(1 (b-c)/(b c))(1 (c-a)/(c a)) =2a/(a b)·2b/(b c)·2c/(c a) (1-x)(1-y)(1-z) =(1-(a-b)/(a b))(1-(b-c)/(b c))(1-(c-a)/(c a)) =2b/(a b)·2c/(b c)·2a/(c a) ∴ (1 x)(1 y)(1 z)=(1-x)(1-y)(1-z) 二、通过已知条件之间的相互变换,得出求证式。例2.设x=by cz,y=cz ax,z=ax by 试证:(a 1)x=(b 1)y=(c 1)z     

方程思想与函数思想的相互渗透

函数y=f(x)与方程y-f(x)=0的一个显著区别在于:变量y与x在两者中所处的地位不同——在前者中是主从关系,在后者中是平等关系,主从关系体现了函数思想,平等关系反映的是方程思想,两种思想可以相互渗透,使各自的优越性在对方所属的领域得到相应体现。一、运用方程思想求解函数问题例1 求函数y=asinx+b/asinx-b的值域(其中a>b>0)。解:将题设函数视为关于sinx的方程,由y=asinx+b/asinx-b可得     

一个最大数命题的多种证法

命题试证对任意a、b∈R,有max{|a b|,|a-b|,|1-b|}≥(1)/(2). 分析 (1)题目含义:在题设条件下,要证明|a b|,|a-b|,|1-b|三者之中的最大数不小于(1)/(2),由于a、b取值的任意性,即是要证明三者之中至少有一个不小于(1)/(2).因此可以得到.     

“a+b≠0”有何用?

在初中《代数》第三册第126页上有一道解方程题(即第3(2)题)如下:解方程 ((a-x)/(b+x))=5-((4(b+x))/(a-x)),(a+b≠0)对此题,不少同学求解如下:解设((a-x)/(b+x))=y,则原方程化为     

巧用三角命题证明代数等式

在三角中有这样一个命题,若α β γ=kπ,k∈Z,则tgα tgβ tgγ=tgαtgβtgγ。现利用这一命题证明一个代数等式。 题 求证:(a-b)/(1 ab) (b-c)/(1 bc) (c-a)/(1 ca)=(a-b)/(1 ab)·(b-c)/(1 bc)·(c-a)/(1 ca)(a、b、c∈R) ①。     

圆锥曲线“中点弦”的斜率公式

设A(x1,y1),B(x2,y2)是圆锥曲线上不同的两点,G(xA,yB)是线段AB的中点,kAB是AB弦所在直线的斜率.则有:(1)椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1,kAB=-(b2xA)/(a2yB)(2)双曲线三(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1,kAB=-(b2xA)/(a2yB);(3)抛物线y2=2px(p>0),kAB=P/(yA).证明:(1)因A、B两点在椭圆(x2)/(a2)+(y2/b2)=1上,所以有     

一道IMO试题的推广

设a,b,c为三角形的三边长,证明: ∑a~2b(a-b)≡a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0 (1) 这是第24届IMO的一道试题. 经探讨,我们得到了与(1)类似的如下不等式: ∑a~3b(a-b)≥0 (2) ∑a~4b(a-b)≥0 (3) 证令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并记σ_1=x+y+z,σ_2=xy+yz+zx,σ_3=xyz(x,y,z>0),则∑a~3b(a-b)=∑(σ_1-x)~3(z+x)(y-x)=∑(σ_1-x)~3(σ_2-x~2-2xz)=σ_2∑(σ_1~3-3σ_1~2x+3σ_1x~2-x~3)-∑(x+2z)(σ_1~3x-3σ_1~2x~2+3σ_1x~3-x~4)     

辅助角公式在高考三角题中的应用

对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下:y=asinx+bcosx=a2+b2(sinx·a22+cosx·b a2+b2).由于上式中的aa2+b2与ba2+b2的平方和为1,故可记aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ,则y=a2+b2(sinxcosθ+cosxsinθ)=a2+b2sin(x+θ).由此我们得到结论:asinx+bcosx=a2+b2sin(x+θ),()其中θ由aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ来确定.通常称式子()为辅助角公式.它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式.下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析.一、求周期例1(2006年上海卷选)求函数y=2cos(x+π4)cos(x-π4)+3sin2x的最小…     

一道课本题与一道俄罗斯MO题(高一、高二、高三)

第21届俄罗斯M()题中有如下一道题:对于任何实数x,y,求证: 2.x4+2y4≥xy(x+y)2我对此题有一个巧妙证法.证明由高中《代数》课本知道当a,b是任意实数时,有 (a2+b2)/2≥((a+b)/2)2 ① a2代换a,b2代换b,得(a1-b1)/2≥((a2+b2)/2)2 ②     

用平均值代换法证一不等式

题　设实数 a,b满足 ab>0 ,证明 :3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 10 ab b212 ,并求等号成立条件 .一般地 ,证明 :对任意实数 a,b均有3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 ab b23,并求等号成立的条件 .这是《数学通讯》2 0 0 1年第 2 1期上刊登的第 14届爱尔兰数学奥林匹克第 1试第 5题 .参考解答在证这道题的后一部分时用了分类讨论法 (分 ab>0 ,ab≤ 0 ) ,这里用平均值代换法 ,可以一气呵成 .证明　设 x=a b2 ,y=a- b2 ,则 a=x y,b=x - y,不等式3 a2 b2 (a b) 24≤a2 ab b23等价于3 (x2 - y2 ) x2 ≤ 3x2 y23,等价于 2 7(x2 - y2 ) x2≤ (3x2 y2 ) 3 ,即 2…     

例说和差代换求值

对于任意两个实数x和y,总有:x=x+y2+x-y2,y=x+y2-x-y2.若令a=x+y2,b=x-y2.则有x=a+b,y=a-b.这种代换称之为和差代换.下面谈谈这种代换在求值中的应用.一、求分式值例1已知a2+b2=6ab且a>b>0,则a+ba-b=.(2001年北京市初二数学竞赛复赛题)解设a=x+y,b=x-y,同时代入a2+b2=6ab中,得(x+y)2+(x-y)2=6(x+y)(x-y),化简整理,得x2=2y2,而a>b>0,所以x>y>0,故x2y2=2,xy=2.又知a+b=2x,a-b=2y,∴a+ba-b=2x2y=xy=2.二、求根式值例2计算14+65-14-65的值是()(A)1(B)5(C)25(D)5(2000年全国数学联赛题)解设14+65=a+b,①14-65=a-b.②①×②,得a2-b2=4.③①2+②2…     

例谈和差变换的三种作用

令x=a+b,y=a-b的变换通常称为和差变换。本文通过举例谈谈和差变换在数学中的三种作用。 一、改善式子的结构 例1已知x、y为实数。 求证:x~2+y~2+4>3(x+y)-xy。 证明 设 x=a+b,y=a-b,则     

巧用代入法 妙求分式值

一、化简代入技巧例1先化简,再求值。ba-b·a3+ab2-2a2bb3÷b2-a2ab+b2,其中a=23,b=-3。解:待求式=ba-b·a(a-b)2b3·b(b-a)=-ab=-23÷(-3)=29。二、求值代入技巧例2已知a(a-2)-(a2-2b)=-4,则a2+b22-ab=。解:∵a(a-2)-(a2-2b)=-4,∴a2-2a-a2+2b=-4,∴-2(a-b)=-4,a-b=2,故a2+b22-ab=(a-b)22=222=2。三、换元代入技巧例3如果x:y:z=1:3:5,那么x+3y-zx-3y+z=。23,则。解:设x=k,y=3k,z=5k,则x+3y-zx-3y+z=k+9k-5kk-9k+5k=5k-3k=-53。四、和积代入技巧例4已知x=樤3+樤2,y=樤3-樤2,试求2xyx2-y2+xx+y-yy-x的值。解:由题设得,x+y=2樤3,x-y=2樤2,xy=1…     

圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程及其应用

圆锥曲线是解析几何中的重要内容,与圆锥曲线有关的轨迹问题也是教学的一个难点.本文给出圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程的几个通式,并说明它的应用.命题1设斜率为k的直线与椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>0,b>0)相交于A、B两点,动点M满足AM=λMB(λ为常数),则点M的轨迹方程是2(22)2(1)(2222b x+a ky+λ4?λb x+a y?a2b2)(b2+a2k2)=0.证明设点M(x,y),直线AB的参数方程为x0=x+t,y0=y+kt(t为参数),代入椭圆方程并整理得:(b2+a2k2)t2+2(b2x+a2ky)t+b2x2+a2y2?a2b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2)对应的参数分别为t1,t2,则:22222t1+t2=?2(b x+a ky)/(b+a…     

巧代换证明W.Janous不等式

设 x,y,z∈R~ ,求证:(y~2-x~2)/(z x) (z~2-y~2)/(x y) (x~2-z~2)/(y z)≥0这个不等式就是 W.Janous 的猜测不等式,很多数学刊物上介绍了这一猜测的多种证明方法,这里笔者再给出一种更为简捷的证明方法.证明:设 x y=a,y z=b,z x=     

错在哪里

题设点(a,b)在区域x≥0y≥0x+y≤2内,则点P(a+b,a-b)所在区域的面积为(A)1(B)2(C)4(D)8解根据线性规划的知识,可以求得0≤a+b≤2,-2≤a-b≤2,所以点P在一个长为2、宽为4的长方形区域内,故所在区域的面积为8,选(D).解答错了!错在哪里?错在在解题过程中,只考虑了a+b和a-b的范围,而忽视了a+b与a-b之间的内在联系.事实上,在a+b=t(t≥0)时,-t≤a-b≤t,所以点P在一个如右图所示的等腰三角形区域内,易知其面积为4,故应选(C).题设a∈[-1,1],求不等式x+(a-4)x+4-2a>0的解集.解法一本题为x的一元二次不等式,a为已知数,左边二次三项式二根为4-a±|a…     

比和比例在三角中的应用

三角中的一类题目,若巧用比和比例将显得较为简捷,请看下面几例: [例1] 已知(cosx)/a=(cos3x)/b(cosx≠0,) 求证:(a-b)/(3a b)=tg~2x 证:设(cosx)/a=(cos3x)/b=1/k 则a=kcosx,b=kcos3x ∴(a-b)/(3a b)=(kcosx-kcos3x)/(3kcosx kcos3x) =(2sin2x·sinx)/(4cos~3x)=(4sin~2x·cosx)/(4cos~2x)=tg~2x [例2] △ABC中,求证:cosA cosB cosC>1 证:由射影定理得, a=bcosC cdosB,b=ccosA acosC 两式相加得:a b=(a b)cosC c(cosA cosB)。∴ (a b)(1-cosC)=c(cosA cosB)     

再谈分式不等式证明中的代换法

笔者在文[1] 中介绍了用分母代换法证明分式不等式的方法 ,作为其续篇 ,这里再介绍用分子代换 ,分式代换以及整体代换来证明分式不等式的思想方法 ,以便我们对证明分式不等式有一个较完整的思想方法体系 .1　分子代换如果所证不等式的分子比分母复杂 ,那么应考虑将分子代换 .例 1　 (《数学教学》问题栏第 5 48题 )已知三角形的三边为a、b、c ,求证 :　 b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc >22 .证明　设b+c -a=x ,c +a-b=y ,a +b-c=z ,则x、y、z>0 ,且a =y +z2 ,b =z +x2 ,c =x+ y2 ,于是b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc=2xy+z+ 2 yz+x+ 2zx+ y=2 xx…