高考中导数的应用问题分类解析

高中课本引入导数后 ,导数的应用在新课程高考卷中成为主要考查的知识点之一 .2 0 0 4年将在全国大范围内实施新课程卷高考 ,对第一年实施的省、市 ,无疑迫切需要了解新课程卷的特点及其知识考查特点 .笔者认为对过去的几年在部分省、市实施的新课程卷进行研究 ,对我们高考复习的把握不无裨益 .今就过去几年部分省、市在高考中对导数的应用的考查作一归纳 ,旨在探讨导数的应用考查特点 ,供高考复习参考 .1　求曲线的切线若函数 y=f(x)在x=x0 处可导 ,则曲线 y =f(x)在点 (x0 ,f(x0 ) )处有切线 :y - f(x0 ) =f′(x0 ) (x -x0 ) .利用这个结…     

f'(-x)究竟表示什么

1.引例f(x)和g(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的可导奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'x)>0,且g(-3)=0,解不等式.f(x)g(x)<0.分析:f'(x)g(x)+f(x)g'(x)是函数h(x)=f(x)g(x)的导数,据此可知h(x)在(-∞,0)上单调递增.由题意,h(x)为奇函数.又g(-3)=0,     

导数问题的高考题型及解法解读

在近几年的高考中,对导数问题的考查力度正在逐年增加,不仅题型在变化,而且设置问题的难度、深度与广度也在不断加大,将导数与其它数学知识的结合已成为高考题的一道靓丽的风景线. 一、对导数定义和求导法则的考查 例1.设函数f(x)=2/x+1nx,则() Ax=1/2为f(x)的极大值点B.x=1/2为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点 解:∵f(x)=2/x+1nx(x＞0),∴f'(x)=-2/x2+1/x,由f'(x)=0解得x=2. 当x∈(0,2)时,f'(x)＜0,f(x)为减函数;x∈(0,+∞)时,f(x)＞0,f(x)为增函数,∴x=2为f(x)的极小值点,所以选D. 点评:本题考查了利用导数确定极值点问题,但首先要利用求导公式对函数顺利求导,才能快速作答.     

利用导数研究函数

一、导数的概念及其几何意义【例1】(Ⅰ)若函数f(x)在x=x_0处的导数为A,求lim(?)(f(x_0—3h)—f(x_0))/h;(Ⅱ)求函数f(x)=2xlnx在x=3处的切线方程。     

利用导数求参数范围

利用导数求参数范围的问题,既有函数的抽象性、灵活性,又有导数运算及分析的工具性,是考查数学素质的好题,也是近几年高考的一个新亮点.例1(2005年山东高考题)已知函数f(x)=mx3-3(m 1)x2 3(m 2)x 1,其中m<0.当x∈[-1,1]时,f(x)是单调函数,且函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜     

解导数题常见的八种错误

导数是一个很好的工具 ,应用十分广泛 .在导数教学中 ,如果注意以下常见的八种错误 ,并让学生理解产生错误的原因 ,能够帮助他们迅速把握这部分内容 ,提高学习效率 ,为日后导数的综合应用铺平道路 .1　对导数的定义把握不准致错例 1　若 f(x)在x0 处可导 ,则limΔx→ 0f(x0 -Δx) -f(x0 )Δx =(　　 )(A) -f′(x0 )　　 (B) f′(x0 )(C)f′( -x0 )　　 (D) 2f′(x0 )错解　选B评析　这里函数值的增量f(x0 -Δx)-f(x0 )与自变量的增量Δx =x0 -(x0 -Δx)顺序不一致 ,不符合导数的定义 ,因此答案B是错误的 .应为 :原式 =-limΔx→ 0f(x0 -…     

导数综合题例析

导数是新课程中增加的一个重要内容,从2000年至今全国新课程高考卷的导数考查力度逐年增大,考点涉及了导数的所有知识点,并呈现出一种趋势,即导数由最初的一种辅助地位上升为分析、解决问题时必不可少的工具,且与其他内容如解几相结合,加强了综合性.一导数几何意义的应用例1过三次函数f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0)上异于对称中心(-3a/b,f(-3a/b))的任一点P1(x1,y1)作f(x)图像的切线,切于另一点P_2(x_2,y_2),再过P2(x_2,y_2)作f(x)图像的切     

一道高考题的拓展学习

1问题导出例1(2012年高考福建卷·文22)已知函数f(x)=ax sin x-3/2(a∈R),且在[0,π/2]上的最大值为π-3/2(Ⅰ)求函数.f(x)的解析式;(Ⅱ)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.本题通过基本素材x,sinx搭建考查平台,考点涉及零点,最值,单调性,解析式等基础知识,考查了导数在研究函数中的应用,考查函数与方程思     

2022年高考北京卷导数题的溯源、求解与推广

<正>1 题目呈现题目 (2022年高考北京卷第20题)已知函数f(x)=exln(x+1).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程;(2)设g(x)=f′(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性;(3)证明：对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及不等式的证明.     

点击05年导数考题

1.试题贴近基础,注重理解能力和推理运算能力的考查例1 函数f(x)=x2-3x2 1是减函数的区间为( ) (A)(2 ∞)． (B)(-∞,2)． (C)(-∞,0)． (D)(0,2). 分析本题考查了导数的简单应用,只要根据连续可导函数在某区间上单调递减,则导数小于零,便可得到答案(D).     

导数应用 高瞻远瞩

导数是新课标下的新增内容.导数的工具性拓展了导数的学习与研究空间,除了应用导数解决函数的单调性、最值外,在求函数的值域、证明不等式、距离等方面都有广泛的应用,在高考复习时要重视.一、应用导数的定义求函数的极限【例1】已知f(x)=lnx,求极限limx→1f(x)-f(1)x-1的值.解:∵f(x)=lnx,f′(x)=1x,∴limx→1f(x)-1x-1=f′(1)=1.点评:导数定义的等价形式为f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.二、应用导数的工具性求函数的单调区间、最值及值域【例2】求函数f(x)=xcosx-sinx(x≥0)的单调递增区间.解:f′(x)=-xsi…     

复习导数时应注意的问题

由于导数为解决一些实际问题和初等数学的传统问题,提供了有效且一般性的方法,故导数将是数学高考的重要内容之一(近几年来,高考中导数知识的试题分值一般为12～19分).题型会涉及选择题、填空题和解答题.复习时应注意以下几个重点、热点问题.一、与导数的定义有关的问题例1设函数f(x)在点x0处可导,则f(x0+2Δx)-f(x0-Δx)Δx=()A.f'(x0)B.2f'(x0)C.3f'(x0)D.0解析f(x0+2Δx)-f(x0-Δx)Δx=2f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx+f眼x0+(-Δx)演-f(x0)-Δx=2f'(x0)+f'(x0)=3f'(x0).选C.点评导数定义中的增量Δx有多种形式,可以是正也可以是负.例如,f'(x0)=…     

也谈高考压轴题——以2015年高考新课标卷Ⅰ理科21题为例

原题 已知函数 f(x)=x3 +ax+1/4, g(x)=-ln x. (Ⅰ)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线; (Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x) =min{f(x),g(x)}(x＞0),讨论h(x)零点的个数. 1 试题评价 试题的呈现方式,简洁、平和,用含参数的三次函数为背景,考查导数定义及导数的几何意义,属于常规题,基本方法.第2问用一种并不陌生的方式定义新函数,其实质是分段函数,来考查函数零点问题.对于函数零点问题的考查,平常复习备考都很重视,但作为压轴考查,还是有些意外.在求解过程中,过分强化了分类讨论、数形结合的思想,而淡化了严格的逻辑推理证明.     

一类导数题型解法初探——一道高考题的多种证法及推广

<正>以下是2011年辽宁的一道高考题.已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.(1)(2)略;(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:f'(x0)<0.本题考察了形如f(x)=plnx+mx2+nx+c(p,m,n,c∈R)的导数题型.对导数问题,高考重点考查两方面内容:(1)函数的单调     

理解导数概念需注意的几个问题

微分学是微积分学的重要的组成部分,而导数是微分学的基本概念之一,因此学生在学习微积分的内容时要时刻抓住导数概念这个关键。通过教学实践及对学生练习中错题的错因分析,笔者认为在理解导数概念时学生需注意以下问题:(一)充分理解导数定义的形式已知函数y=f(x)在点x=x0处可导,那么导数的定义式可取不同的形式,常见的有以下三种:f'(x0)=△lix→m0f(x0 △△xx)-f(x0);f'(x0)=lhi→m0f(x0 hh)-f(x0);f'(x0)=lxi→mx0f(x)-f(x0)x-x0。在这三种常见的形式中要注意1、弄清在怎样的变化过程中求极限,如△x→0,h→0或是x→x0,变化过程不同则分式…     

拉格朗日中值定理中参数θ的估计

拉格朗日中值定理告诉我们 ,若函数f(x)在x =x0 的某δ邻域Uδ(x0 )内有连续的导数 ,那么当h满足x0 ±h∈Uδ(x0 )时 ,有f(x0 h) =f(x0 ) f′(x0 θh)·h,其中 0 <θ<1 本文就f(x)在x0 附近的特点 ,得到当h→ 0时θ的极限值     

导数应用中的四个误区

导数作为一种工具,在解决数学问题时应用极为方便,尤其是利用导数可以求函数的单调性、极值、最值以及曲线的切线.在学习的过程中,概念不清导致导数应用错误的情形时常发生.本文拟对导数应用中常见的误区进行简单剖析.一、对极值的条件理解不清例1函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,求a,b.误解由题意知f'(x)=3x2+2ax+b,且f'(1)=0,f(1)=10,即2a+b+3=0,a2+a+b+1=10.解得ab==4-,11,或ab==-33,.剖析本题误把f(x0)为极值的必要条件当成充分条件.要保证f(x0)为极值,还需验证f'(x)在x0两侧附近符号是否相异.当a=4,b=-11时,f'(x)=(3x+11)(x-1)在…     

例谈高考中切线问题的七大类型

我们知道,f′(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程可以表示为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)．近几年来,随着高考对导数知识考查力度的不断加大,关于高次曲线、分式曲线、根式曲线、指数曲线、对数曲线、三角曲线、     

一道高考试题的多解探究及加强推广

<正>一、试题呈现已知函数f(x)=e^xln(1+x).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设g(x)=f’(x)，讨论函数g(x)在x≥0上的单调性;(3)证明:对任意s,t>0，都有f(s+t)>f(s)+f(t).本题是2022年高考数学北京卷第20题，试题将指数对数函数以乘积的形式联系在一起，构思新颖、巧妙，主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，以及函数背景下的不等式证明等知识，对数学抽象、数学运算等核心素养具有较高要求．     

一道2019年高考导数解答题的探究

<正>1 试题(2019年高考全国卷Ⅰ,文20)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.试题以三角函数为背景,考查了正(余)弦函数的性质、函数零点、含参数不等式恒成立以及导数在解决函数问题中的应用,考查了学生分析问题与解决问题的能力以及数形结合、设而不求等数学思想方法.试题与函数、