巧用三角换元

用三角换元法证明不等式是基本方法,根据题意恰当地进行换元,则可使问题快速获解,达到事半功倍的效果.例1设点P(x,y)是圆x~2+(y-1)~2= 1上任意一点,若总有x+y+c≥0,试求c的取值范围.解因为点P(x,y)在圆x~2+(y-1)~2= 1上,故可设x=cosθ,y=1+sinθ,则x+y+c=cosθ+sinθ+1+c≥0恒成立,     

用构造法解三角题

一、构造函数例1设α、m为常数,θ是任意实数,求证:眼cos(θ+α)+mcosθ演2≤1+2mcosα+m2.证明构造函数y=f(θ)=1+2mcosα+m2-眼cos(θ+α)+mcosθ演2,则只需证明y≥0即可.f(θ)=sin2(θ+α)+2m眼cosα-cosθcos(θ+α)演+m2sin2θ.令sin(θ+α)=x,则得二次函数y=x2+2msinθ·x+m2sin2θ.由于Δ=4m2sin2θ-4m2sin2θ=0,且二次项系数为1,故y≥0,即原不等式成立.二、构造数列例2已知:sinφcosφ=60169,π4<φ<π2,求sinφ、cosφ的值.解由题意可知,sinφcosφ=(215姨13)2且sinφ>cosφ,构造等比数列cosφ,215姨13,sinφ.设sinφ=215姨13·q,c…     

江苏卷客观题选解

(6 )函数 y=lnx+1x- 1,x∈ (1,+∞ )的反函数为 (　 ) .(A) y=ex- 1ex+1,x∈ (0 ,+∞ )(B) y=ex +1ex - 1,x∈ (0 ,+∞ )(C) y=ex - 1ex +1,x∈ (-∞ ,0 )(D) y=ex+1ex- 1,x∈ (-∞ ,0 )解法 1　由 y=lnx+1x- 1得 x=ey+1ey- 1,又x∈ (1,+∞ ) ,得 ey+1ey- 1>1,解得 y>1.故反函数为 y=ex+1ex- 1,x∈ (0 ,+∞ ) ,选 B.解法 2　 y=lnx+1x- 1,x∈ (1,+∞ )的图象过点 (2 ,ln3) ,故其反函数的图象过点(ln3,2 ) ,A,C,D错误 ,选 B.(梁长法　供稿 )(8)设 a>0 ,f(x) =ax2 +bx+c,曲线 y= f (x)在点 P(x0 ,f(x0 ) )处切线的倾斜角的取值范围为 [0 ,…     

新加坡数学试题选(2)

Question 1(a) If f(x+x-1 ) =x3 +x-3 ,determine the function f(x) .(b) Solve the equation2 3 log1 0 x 5 log1 0 x =16 0 0 .(c) L etf(x) =(m2 - 1) x2 +(m- 1) x+n+2 ,(m≠ 1) ,be an odd function and m and n areconstants.Determine whether g(x) =xm +xn is an even or an odd function,or neither.Question 2(a) Express 5 sinθ+12 cosθ in the form Rsin(θ+α) ,where R is positive andα is acute.(b) If sinα+cosα=13,andα∈ (0 ,π) ,determine sin3 α- cos3 α.(c) Ues the relationship eiθ=cosθ+isinθ …     

对一道西班牙赛题的再研究

第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )= 1 ,那么 x+ y=0 .文 [1 ]给出了此题的一种证法 ,本文再给出此题的两种换元证法 ,然后给出一个新命题 .证法 1　设 x=tanα,y=tanβ,其中 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,则由条件知 ,( tanα+ secα) ( tanβ+ secβ) =1 ( sinα+ 1 ) ( sinβ+ 1 ) =cosαcosβ sinα+sinβ+ 1 =cos(α+β) 2 sinα+β2 cosα-β2 +1 =1 - 2 sin2 α+β2 sin α+β2 ( sin α+β2 +sinπ-α+β2 ) =0 sin α+β2 sin 2β+π4 ·cos2α-π4 =0 .又由 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,知…     

例说构造曲线求“分式三角函数”的最值——一道课本习题的联想

现行全日制普通中学数学教科书 (试验修订本·必修 )第二册 (上 )第七章“直线和圆的方程”中有这样一道习题 :求函数 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 的最大值和最小值 .编者把此题放在这里 ,意图十分明显 ,就是可把 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 看成是定点 ( 2 ,1 )与单位圆 x2 + y2= 1上的动点 ( cosθ,sinθ)连线的斜率 ,从而问题转化为求斜率的最大值和最小值 .笔者由此得到启发 ,对动点在常见曲线上的“分式三角函数”的最值问题作如下探讨 ,供教与学中参考 .1　构造直线例 1　求 y=3sin x- 1sin x+ 2 的最值 .分析　因为 y=3sin x- 1sin x- …     

三角函数最值的求解方法

一、利用三角函数的性质求最值1.若函数形如y=asinx+b(或y=acosx+b),可直接利用函数的下列性质来求解:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1.例1求函数y=sin(x-π6)cosx的最值.解析y=sin(x-π6)cosx=12[sin(2x-π6)-sinπ6]=12sin(2x-π6)-41.当sin(2x-π6)=1时,ymax=21-14=41;当sin(2x-π6)=-1时,ymin=-21-41=-43.2.若函数形如y=acssiinnxx++db(或y=acccoossxx++db),先逆向解得sinx(或cosx)的表达式,再结合性质｜sinx｜≤1(或｜cosx｜≤1)来求解.例2求函数y=8cos2x+83cos2x+1的最值.解析由原式逆向解得cos2x=38y--y8,由0≤cos2x≤1,得0≤8-y3y-8≤1,解…     

例析《正弦函数》高考题型

正弦函数y=Asin(ωx φ)是三角函数的重要内容,历年来都是高考命题的热点.现结合去年全国各地高考试题,根据考查正弦函数的不同内容,进行分类,并探讨其各自不同解法.1.确定函数最小正周期正弦函数y=Asin(ωx φ)的最小正周期为T=2π｜ω｜.【例1】已知函数y=12sinx πA(A>0)的最小正周期为3π,则A=.解:∵y=12sinx πA=12sin(1Ax πA)(A>0)∴其最小正周期为T=2π1A=2Aπ.则2Aπ=3π故A=32.【例2】函数f(x)=cos2x-23sinxcosx的最小正周期是.解:∵f(x)=cos2x-23sinxcosx=cos2x-3sin2x=-2sin(2x-π6)∴其最小正周期为T=2π2=π.2.求函数…     

三角函数的最值的求法

1 .利用配方法化成只含有一个的三角函数【例 1】　求函数y =sin6 x +cos6 x的最值 .解 :y =sin6 x +cos6 x=(sin2 x +cos2 x) (sin4 x -sin2 xcos2 x +cos4 x)=(sin2 x+cos2 x) 2 -3sin2 xcos2 x=1-3sin2 xcos2 x =1-34 sin2 2x=58+ 38cos4x∴当x=kπ2 (k∈z)时 ,y取最大值为 1.当x=kπ2 + π4(k∈z)时 ,y取最小值 14∴ymax =1,ymin =142 .利用函数y =x+ ax(a >0 )的单调性【例 2】　求函数y =sin2 x + 3sin2 x(x≠kπ ,k∈z)的值域 .解 :设sin2 x =t(0 相似文献   

三角代换的解题功能

三角代换在解题过程中显示着特殊作用 ,本文结合实例介绍几种常见的功能 .1　简化功能有些具有多种解法的题目 ,用三角代换可以去掉根号、减少变元、简化结构、缩小计算量、简化或避免复杂的讨论等等 ,从而化繁为简、化难为易 ,使问题简捷获解 .例 1　求函数 y=x- 1 + 5- x的最值 .析与解　由于 y与 y2同时取得最值 ,故将原式两边平方 ,利用二次函数可求得结论 ,但此法繁琐 .用三角代换可得下面优解 .由 x- 1≥ 0 ,5- x≥ 0 ,得 1≤x≤ 5,0≤x- 1≤ 4 .设 x- 1 =4 sin2 θ( 0≤θ≤ π2 ) ,则y=x- 1 + 5- x=4 sin2 θ+ 5- ( 1 + 4 sin2 θ)=…     

一个新发现的三角不等式

苏张延卫、陕西苟春鹏两位老师分别证明 3以下三角不等式 :在△ ABC中 ,有sin A 2 sin B2 3sin C3≤ 3,(1)cos A 2 cos B2 3cos C3≤ 3 3 . (2 )受文 [1]的启发 ,本文作者证得一个类似的新结果 :cot A 2 cot B2 3cot C3≥ 6 3. (3)其实 ,我们有下述定理　在△ABC中 ,对 k≥ 1有cot Ak 2 cot B2 k 3cot C3k≥ 6 cotπ6 k,(4 )等号成立当且仅当 A=π6 ,B=π3.证明　若 x>0 ,y>,且 x y<π,则cotx coty=sin(x y)sinxsiny=2 sin(x y)cos(x- y) - cos(x y)≥ 2 sin(x y)1- cos(x y) =2 cotx y2 .∴cot AR 2 cot B2 …     

用“待定常数法”求最值几例

[例1]:求函数y=sinθ(1+2cosθ)的最大值。解:不妨限制0≤θ≤π/2,于是: y=sinθ(1+2cosθ)A为待定正常数1/A (Asinθ)(1+2cosθ)     

一道全国竞赛题的多种解法

20 0 1年全国高中数学竞赛第一试第 11题为 :函数 y =x + x2 - 3 x+ 2的值域为.下面提供五种解法 ,以飨读者 .解法 1　移项得 y- x=x2 - 3 x+ 2 ,上式等价于 (y- x) 2 =x2 - 3 x+ 2 ,y- x≥ 0 .12由 1得 x=y2 - 22 y- 3 ,代入 2得 y- y2 - 22 y- 3≥ 0 ,即 (y- 1) (y- 2 )2 y- 3 ≥ 0 ,解得 1≤ y<32 或y≥ 2 .故原函数的值域为 [1,32 )∪ [2 ,+∞ ) .解法 2　原函数式可变形为 y=x+(x- 32 ) 2 - 14,∵ x2 - 3 x+ 2≥ 0 ,∴ x≤ 1或 x≥ 2 .令 t=x- 32 ,则 t≤ - 12 或 t≥ 12 ,y=t+ 32 + t2 - 14.当 t≥ 12 时 ,y是 t的增函数 ,当 t=12时 ,…     

“恒成立”问题求解对策

一、利用函数思想例1 (1999年全国高中数学联赛题)当x∈[0,1]时,不等式x2cosθ x(x-1) (1- x)2·sinθ>0恒成立,求θ的取值范围. 分析:因为x2(1 cosθ sinθ)-(1 2sinθ)x sinθ>0在x∈[0,1]时恒成立,令F (x)=x2(1 cosθ sinθ)-(1 2sinθ)x sinθ. 则只须当x∈[0,1]时,[F(x)]min>0. 解:由F(0)>0,得sin0>0,     

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文、理科)

参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α+ β) +sin(α -β) ]cosαsinβ=12 [sin(α+ β) -sin(α-β) ]cosαcosβ =12 [cos(α + β) +cos(α-β) ]sinαsinβ =-12 [cos(α + β) -cos(α -β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′+c)l,其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长 .球的体积公式V球 =43 πR3,其中R表示球的半径一、选择题 (本大题共 12小题 ,每题 5分 ,共 60分 ,在每小题给出的 4个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.(文 )直线 y=2x关于x轴对称的直线方程为 (　　 )　　 (A) y=-1…     

利用函数单调性解一类三角函数式取值范围问题

文 1、文 2分别利用图象法和均值代换法解决了一类在给定条件下三角函数取值范围问题 .本文利用函数的单调性来解决这类问题 (下面的例子都是文 1、2中的例题 ,以后不再说明 ) .例 1　已知 sin x+ 2 cos y=2 ,求 2 sin x+ cos y的取值范围 .解　由条件得 sin x=2 ( 1 - cos y) ,1∴ 2 sin x+ cos y=4 - 3cos y,2由 1 ,有 2 | ( 1 - cos y) | =| sin x|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 32 .又 | cos y|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 1 . 3令 t=cos y,则由 2 ,3有2 sin x+ cos y=4 - 3t,其中 t∈ [12 ,1 ].令 f( t) =4 - 3t ( 12 ≤ t≤ 1 ) .易知 f( t)在 [12…     

出乎意料的缺陷 超乎想象的完美

【例1】　求函数 y=lg(8sinx+14x-1π-6cosx+14x-1π)的 值域. 错解:令x+14x-1π=θ,则 y=lg(8sinθ-6cosθ)=lg10sin(θ-φ) ≤lg10=1(其中φ=arctan34),于是函数值 域为(-∞,1]. 辨析:上述解答没有考虑函数 θ=x+14x-1π的反函数存在条件, 故上述解答有误. 正解:上述解法中,因为方程 …     

利用数形结合思想解数学题

一、利用距离公式例1已知x+y+1=0,则u=(x-1)2+(y-12姨)的最小值为.解如图1所示,如果将u=(x-1)2+(y-1)2看姨成是P(x,y)与B(1,1)两点间的距离,由于点P(x,y)的坐标满足x+y+1=0,所以u的最小值也就是点B(1,1)到直线x+y+1=0的距离,所以um=1+1+13姨2in=.姨22二、利用直线斜率公式例2实数x,y满足(x-2)2+y2=3,求y的最大值.x解如图2所示,设点P(x,y)为圆(x-2)2+y2=3上任一点,则y为直线O P的x斜率k.易求得km=3,ax姨即y的最大值为姨3.x三、利用单位圆例3已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是A.tancosθθ2222C.…     

一道三角题的多种解法

题目已知sinθ+cosθ=51,θ∈(0,π),则cotθ=·这是1994年的一道高考题·该题解法颇多,除了通常的平方法,求sinθ、cosθ值外,本文再给出其它几种转化法·解法1:(定义法)设sinθ=5y,cosθ=5x,则有y5+5x=51,(5y)2+(5x)2=1·化为y2-y-12=0·由θ∈(0,π),知y>0,x<0,可解得y=4,x=-3·从而cotθ=yx=-43·解法2:(辅助式)设sinθ-cosθ=m,与sinθ+cosθ=51联立,两式平方后相加,可得m2=4259·由题设可知θ∈(2π,34π),则sinθ>cosθ,故m=57·再将sinθ-cosθ=75与sinθ+cosθ=51相加减,得sinθ=54,cosθ=-53,从而cotθ=-43·解法3:(巧设等差数列)…     

方程asinx+bcosx=c有解的充要条件在解题中的应用

大家知道,三角式asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+ψ),其中tanψ=b/a,而|sin(x+ψ)|≤1,由此可知三角方程asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2,对于这个充要条件中等号何时成立,我们可做如下推导: ∵ a2+b2-c2=a2+b2-(asinx+bcosx)2=a2+b2-a2sin2x-2ab·sinxcosx-b2cos2x=a2(1-sin2x)-2absinxcosx+b2(1-cos2x)=b2sin2x-2absinxcosx+a2cos2x=(acosx-bsinx)2.∴当且仅当bsinx=acosx时a2+b2=c2成立.