对一道切线问题的再思考

问题 直线l是过抛物线y^2=2px（p〉0）上一点P的切线．过该抛物线焦点F的直线FN⊥l,与直线l交于点N,与抛物线的准线交于点M．求证：直线MP平行于x轴．     

三解还是五解?

题:过点M(一2,0)的直线Z依次与抛物线,乞=一4二及圆(.x+9/2)2+,:== 16相交于A、B、C、D,已知】AB】=】CD】,求直线l的方程。解设直线l的方程为夕=k(二+2)(k今。),恤 气g=k(戈+2)夕2==一4戈得k’戈’+(4k’+4)x+4k2==0…①rJIL如 去 由消则l与抛物线的两个交点连线的中点横坐标为·。=一世沪由{澎;忿卿,2=16圆被l所截得的弦的中点重合。上述解法即是这种情况。 (2)当直线l与两曲线相交顺序为抛物线、圆、抛物线、圆时(图中的l‘、l。),这时圆与抛物线被i所截得的弦的中点不爪合,但可由}A川二}CD!知两弦长相等。 设l与抛物线两个交点的…     

一个常用结论的证明

中学数学课本《解析几何》总复习第8题“求抛物线y=x2上到直线2x－y=4距离最小的点的坐标，并求出这个距离。”对此题的解法，很多书上都直接采用了结论：“当直线不与抛物线相交时，抛物线上到已知直线距离最短的点是与已知直线平行的抛物线切线的切点。”对此，不少学生提出疑问。本文加以证明并推广到其它二次曲线。Ⅰ.首先对抛物线进行证明。设抛物线方程为y2=2px(p>0)，直线l:y=kx＋b，直线与抛物线不相交。求证：抛物线上到已知直线l距离最短的点是与l平行的抛物线的切点。证明：设M(x0,y0)是抛物线上任一点的坐标，它到直线l的距离…     

大前题、小前题的规范使用

北京市丰台区2013~2014学年度第一学期期末练习高二数学（理科）第19题是：已知抛物线C：y2=2px（P〉0），过抛物线C的焦点F的直线2交抛物线于A、B两点．（1）若抛物线的准线为x=-1，直线l的斜率为1，求线段AB的长；     

一道模考题的逆问题及推广

<正>某校的高三模拟试卷中,解析几何题目如下：已知点P(4,4)在抛物线C:y²=2px(p>0)上,直线l:y=kx+2与抛物线C有两个不同的交点．(1)求k的取值范围;(2)设直线l与抛物线C的交点分别为A,B,过点A作与C的准线平行的直线,分别与直线OP,OB交于点M,N(O为坐标原点),求证：|AM|=|MN|.     

一道月考题引出的圆锥曲线的统一结论

<正>一、试题与解答最近,云南师大附中高三年级月考出现了这样一个试题:题目过抛物线外一点M作抛物线的两条切线,两切点的连线段为点M对应的切点弦.已知抛物线为x²=4y,点P、Q在直线l:y=-1上,过P、Q两点对应的切点弦分别为AB、CD.(1) 当点P的横坐标等于2时,求切点弦AB所在的直线方程;(2) 当点P在直线l上移动时,直线AB是否经过一定点?若有,请求出该定点的坐标,如果没有,请说明理由.解 (1)略.(     

由一个例题到圆锥曲线“相交弦定理”的探索

例已知抛物线y2=4x外一点P(5/2,1)．(1)过点P的直线l与抛物线交于A、B两点,若点P刚好为弦AB的中点．(Ⅰ)求直线l的方程; (Ⅱ)若过线段AB上任一点P1(不含端点A、B)作倾斜角为π-arctan2的直线l1交于A1、B1两点,求证:|P1A|·|P1B|=|P1A1|·|P1B1|．分析:(Ⅰ)y=2x-4;     

一叶知秋话移形

在函数部分的学习中，有时会遇到涉及移形和图象的其他变换问题，如“把抛物线y=2x^2 3向左平移3个单位得一新的抛物线，试求这个新抛物线的解析式”、“已知直线l：y=2x 1关于x轴的对称图形为直线l’，试求l’的解析式”等．这样的问题本来不难解决，如关于图形的平移已有特别适用的口诀：“左、上(移)加；右、下(移)减”，但对部分学生来讲，由于他们的抽象思维能力还不完善，     

2005年江西高考卷压轴题的别解与拓广

2005年江西高考卷压轴题的第二问如下：如图1，设抛物线C：y=x^2的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．证明：∠PFA=∠PFB．     

从一道试题谈圆锥曲线中有关字母取值范围的问题

2004年全国高考试题：给定抛物线C：y^2=4x，F是C的焦点，经过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，设商→FB=λ→AF，若λ∈[4，9]，求l在y轴上的截距的变化范围．[第一段]     

圆锥曲线弦中点轨迹的探讨

<正>1引入例1:直线l过抛物线y²=4x的顶点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例2=4x的顶点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例²:直线l过抛物线y2:直线l过抛物线y²=16x的焦点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例3:直线l过(0,4)点,与抛物线x2=16x的焦点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例3:直线l过(0,4)点,与抛物线x²=8y相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。分析上述三个例题的轨迹方程,得到如下结论:过抛物线内对称轴上一定点(包括顶点)的直线截抛物线所得弦中点的轨迹是一条以该定点为顶点,通径为原抛物线的一半的抛物线,且所得抛物线开口方向和对称轴与原抛物线相同。     

看图像别看走了眼——压轴题错解辨析

广州市各区教研交流试题：如图1，平行于X轴的直线AB与直线OB：y1=kx相交于点B，点C为OB的中点，以点C为顶点的抛物线y2=x^2＋bx＋1/2去经过点A、B，直线CD⊥x轴于点D．     

对圆锥曲线一个向量性质的再探究

本刊文[1]由2007年全国高考福建卷的一道解析几何试题引出了如下圆锥曲线的向量性质： 性质1 设抛物线y^2=2px（p〉0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A、B两点，交直线l于点M，     

拉萨——从这里窥望天国

如右图，在平面直角坐标系．xOy中，过y轴正方向上一点C（O，C）任作一直线，与抛物线Y=X^2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：Y=-c交于P，Q．     

圆锥曲线一组“对偶元素”的新性质

文献[1]给出了如下的定义：在抛物线中，点D在抛物线对称轴上且与焦点同侧，直线l’与对称轴垂直且与焦点异侧，若点D与直线l’到抛物线的顶点等距离，则称点D与直线l’为“对偶元素”；在椭圆（双曲线）中，点D在长轴（实轴）所在的对称轴上，直线l’与对称轴垂直且与曲线无交点，若点D与直线l’在椭圆（双曲线）中线的同侧，     

从显眼处着眼,从熟悉处入手——由今年的一道解几高考题谈平几性质的应用

题:设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明直线AC经过原点O.证明:如图1,记x轴与抛物线准线l的交点为E,过A作AD⊥l,D是垂足,则     

一道奥数训练题的溯源和探究

1．原题与溯源《中等数学》08年第6期数学奥林匹克高中训练题（13）一试第5题：设抛物线的顶点为A,焦点为F．过点F作直线l与抛物线交于点P、Q,直线AP、AQ分别与抛物线的准线交于点M、N,问：直线l满足什么条件时,三直线PN、QM、FA恒交于一点？     

高考试题课本寻踪

题目过抛物线y^2=2px（p〉0）的对称轴上一点A（a,0）（a〉o）的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线l：x=—a作垂线,垂足分别为M1、N1．     

学生为什么会这样频繁出错

正北京市丰台区2013~2014学年度第一学期期末练习高二数学(理科)第19题(满分13分)即倒数第二题是:统考题已知抛物线C:y2=2px(p0),过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点.(1)若抛物线的准线为x=-1,直线l的斜率为1,求线段AB的长;(2)过B作x轴的平行线交抛物线的准线于点D,求证:     

对一道解析几何联考题解法的探究与拓展

一、题目呈现 试题:(2018年安徽省江南十校联考题第20题)A、B、C、D是抛物线E:x^2=2py(p>0)上的四点,A、C关于抛物线的对称轴对称且在直线BD的异侧,直线l:x-y-1=0是抛物线在点C处的切线方程,且BD//l。(1)求抛物线E的方程。(2)求证:AC平分∠BAD。