“三角变换”与“解斜三角形”复习指导

一、试题特点及变换策略从近年高考解答题可以看出 ,三角试题均以中低档题出现 ,复习中应熟练掌握三角变换的方法及技巧 ,能根据问题的特征合理选择使用三角变换公式 ,并结合使用代数手段进行化简、求值等 .下面是对近年全国高考三角解答题分析后归纳得到的几种变换策略及方法 .1 化切为弦在同一三角关系式中含切与弦 ,常考虑化切为弦 .例 1　求ｔｇ2 0°+ 4ｓｉｎ2 0°的值 .分析与略解 :ｔｇ2 0° + 4ｓｉｎ2 0°=ｓｉｎ2 0° + 2ｓｉｎ4 0°ｃｏｓ2 0°=ｓｉｎ2 0° + 2ｓｉｎ(6 0°- 2 0°)ｃｏｓ2 0°=3ｃｏｓ2 0°ｃｏｓ2 0° =3.本例…     

构造对偶式解题举例

在某种意义下成对出现的两个式子 ,称为对偶式 .比如正与负、和与差、积与商、奇函数与偶函数、互为有理化因式、正弦与余弦等 .在解题中对于某个对象 ,有意识地构造与其对偶的式子 ,往往能为解题开辟新途径 ,获得巧妙的方法 .现举例说明 .一、求三角函数的值例 1　求ｃｏｓ2 1 0° ｃｏｓ2 50° -ｓｉｎ4 0°ｓｉｎ80°的值 .解 :令Ｍ =ｃｏｓ2 1 0° ｃｏｓ2 50°-ｓｉｎ4 0°·ｓｉｎ80°在Ｍ中有余弦与正弦 ,构造对偶式 :Ｎ =ｓｉｎ2 1 0° ｓｉｎ2 50°-ｃｏｓ4 0°·ｃｏｓ80°两式相加得　Ｍ Ｎ =2 -ｃｏｓ4 0°　　①两式相减得Ｍ…     

三角的几种转化策略评注

本文介绍对三角命题进行等价转化的一些常用策略 ,供读者参考 .一、和与积的相互转化例 1　求ｓｉｎ7° ｃｏｓ1 5°ｓｉｎ8°ｃｏｓ7°-ｓｉｎ1 5°ｓｉｎ8°的值 .解 :原式 =ｓｉｎ7° 12 (ｓｉｎ2 3° -ｓｉｎ7°)ｃｏｓ7° 12 (ｃｏｓ2 3° -ｃｏｓ7°)=ｓｉｎ2 3° ｓｉｎ7°ｃｏｓ2 3° ｃｏｓ7°=ｓｉｎ1 5°ｃｏｓ8°ｃｏｓ1 5°ｃｏｓ8°=ｔｇ1 5°=2 -3.例 2　已知△ＡＢＣ的三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ满足 :Ａ Ｃ =2Ｂ ,1ｃｏｓＡ 1ｃｏｓＣ =-2ｃｏｓＢ,求ｃｏｓＡ-Ｃ2 的值 .解 :由题设条件 ,得Ｂ =60° ,Ａ Ｃ =1 2 0°.　∴ 1…     

(sinα)~2 (cosα)~2=1的应用

公式ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1反映了同一个锐角α的正弦和余弦之间的关系 .应用这一关系 ,许多较复杂的问题可获得简捷的解答 .例 1　ｓｉｎ53°ｃｏｓ37° ｃｏｓ53°ｓｉｎ37° =.( 1 998年山西省中考题 )解　∵　 53° 37°=90° ,∴　ｃｏｓ37°=ｓｉｎ53° ,ｓｉｎ37°=ｃｏｓ53°.∴　原式 =ｓｉｎ2 53° ｃｏｓ2 53°=1 .例 2　已知ｓｉｎα ｃｏｓα=ｍ ,ｓｉｎα·ｃｏｓα =ｎ ,则ｍ、ｎ的关系是 (　　 ) .(Ａ)ｍ =ｎ　　　 (Ｂ)ｍ =2ｎ 1(Ｃ)ｍ2 =2ｎ 1 (Ｄ)ｍ2 =1 -2ｎ( 1 999年天津市中考题 )解　将ｓｉｎα ｃｏｓα =ｍ…     

数学解题中的调控方法

数学解题中的调控指的是解题受阻时解题者能对解题思路进行疏通、调节和重新启动 .它对避免解题活动的盲目性 ,提高学生的解题能力是大有裨益的 .本文就中学数学中几种常见的调控方法作些探讨 .1　直觉调控　直觉调控主要表现为解题者能凭直观感觉对解题思路进行修正与调整 ,发现思路不妥之处 ,立即进行矫正 .例 1　化简 1- 2ｓｉｎ10°ｃｏｓ10°ｃｏｓ10°- 1-ｃｏｓ2 170°.分析　原式 =1-ｓｉｎ2 0°ｃｏｓ10°- 1-ｓｉｎ2 10°=1-ｓｉｎ2 0°ｃｏｓ10° -ｓｉｎ10°.至此 ,发现将分子化为 1-ｓｉｎ2 0° 不利于与分母相约 ,达不到化简…     

三角积化和差习题例析

在高中数学的三角函数知识中 ,积化和差知识显得比较难学 ,但是它却是常用的基础知识 ,且富含技巧性 .本文根据高中数学课文习题的解答 ,分析说明积化和差公式与解题的一些运用技巧 ,以帮助读者对积化和差知识的加深理解 .例 1　①求ｓｉｎ2 0°ｓｉｎ40°ｓｉｎ80°的值 ;　　②求ｃｏｓ2 0°ｃｏｓ40°ｃｏｓ80°的值 .分析 :因式中角的和差 :2 0° 40°=6 0°,40° 80° =1 2 0°,80°-4 0°=6 0°,出现特殊角 ,所以在ｓｉｎ2 0°ｓｉｎ40°ｓｉｎ80和ｃｏｓ2 0°ｃｏｓ40°ｃｏｓ80°中 ,都可运用积化和差公式对其中任意两个因式进行…     

三角函数式的化简与计算

学习数学很重要的方面是解题 ,解题除了掌握基础知识外还必须掌握解题方法 .本文介绍三角函数式化简和计算的方法 ,供同学们参考 .一、特殊角的三角函数值法有些三角函数式是由特殊角的三角函数构成的 ,这类题应写出特殊角的三角函数值再计算 .在此应注意准确记忆各特殊角的三角函数值 .例 1　计算 :ｔｇ2 30° 2ｓｉｎ60°·ｃｏｓ4 5° ｔｇ4 5°-ｃｔｇ60°-ｃｏｓ2 30° .解　原式 =332 2· 32 · 22 1 -33-322=13 62 1 -33-34=71 2 62 -33.例 2　计算 :ｓｉｎ330° ｃｔｇ90°ｃｏｓ0°-1ｃｏｓ2 60° 4ｔｇ4 5°.解　原式 =123 0…     

有关锐角三角函数的中考题

一、填空题1 计算 :2ｓｉｎ 60° -12-1+ (2 -1) 0 =. (2 0 0 1年山西省中考题 )2 求值 :12 ｓｉｎ 60°× 22 ｃｏｓ 45° =.(2 0 0 1年广东省广州市中考题 )3 如果ｓｉｎα =32 ,那么锐角α的余角是度 . (2 0 0 1年江苏省泰州市中考题 )4 已知α为锐角 ,ｓｉｎα =32 ,则ｃｏｓα =. (2 0 0 1年四川省乐山市中考题 )5 用计算器计算 :ｓｉｎ 3 2°≈ .(保留四个有效数字 ) (2 0 0 1年江苏省常州市中考题 )6 若∠α的余角为 47° ,则∠α =度 ,ｔａｎα =.(保留四个效数字 )(2 0 0 1年江苏省镇江市中考题 )7 在ｓｉｎ 3 0° ,ｃｏｓ 45°…     

2000年北京、安徽春季高考数学试题选析

20 0 0年北京、安徽春季高考数学试题体现了以能力立意的命题思想 ,涌现出了许多考查能力的创新试题 .本文将对选择、填空题中的部分创新试题给出较简捷解法 ;对解答题中的把关题给出别解 ,并做简要评析 ,供大家参考 .选择题 ( 11) 　解法 1(直接法 ) :∵ｚ2 =( 2ｓｉｎθ ｉｃｏｓθ)·[ｃｏｓ( - 34π) ｉｓｉｎ( - 3π4 ) ]=( 22 ｃｏｓθ- 2ｓｉｎθ) - ( 2ｓｉｎθ 22 ｃｏｓθ)ｉ,∴ｔｇφ =- ( 2ｓｉｎθ 22 ｃｏｓθ)22 ｃｏｓθ - 2ｓｉｎθ=2ｓｉｎθ ｃｏｓθ2ｓｉｎθ-ｃｏｓθ.又∵ π4 <θ <π2 ,∴ｃｏｓθ≠ 1,∴ｔｇφ…     

锐角三角函数练习题

1 计算 :ｓｉｎ 3 0°-22 ｃｏｓ 4 5°+13 ｔｇ2 60°=. ( 2 0 0 0年内蒙古中考题 )2 计算 :ｃｏｓ 3 0°ｔｇ 3 0°+ｓｉｎ 60°ｔｇ 4 5°ｃｔｇ 3 0°=. ( 2 0 0 0年河南省中考题 )3 ｓｉｎ2 72°+ｓｉｎ2 1 8°=. ( 2 0 0 0年天津市中考题 )4 在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,若∠Ｃ =90°,ａ =3 ,ｂ =4 ,则ｓｉｎＡ =(　　 ) .(Ａ) 35　　　　　 (Ｂ) 45　　　　　　 (Ｃ) 34 　　　　　　 (Ｄ) 43( 2 0 0 0年辽宁省大连市中考题 )5 在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,各边长都扩大 2倍 ,则锐角Ａ的正弦值和余弦值 (　　 ) .(Ａ)都不变 (Ｂ)都扩大 2倍 (Ｃ)都缩…     

一个不等式的否定、修正与推广

贵刊 2 0 0 1年第 1期的有奖解题擂台 ( 47)为题　在△ＡＢＣ中 ,证明或否定不等式 :4 02 7<ｓｉｎＡｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＢｓｉｎＢ ｓｉｎＣ ｓｉｎＣｓｉｎＣ ｓｉｎＡ <4 12 7 ①显然 ,不等式①试图加强下列不等式。1 39<ａａ ｂ ｂｂ ｃ ｃｃ ａ<1 49②(《数学通报》1 999年第 9期数学问题 1 2 1 4 )。但事实上 ,不等式①不成立。我们考虑三角形 (Ａ ,Ｂ ,Ｃ) =( 4°,1°,1 75°) ,便否定式①的上界不等式 ;考虑三角形(Ａ ,Ｂ ,Ｃ) =( 1° ,4°,1 75°) ,便否定式①的下界不等式。经笔者研究发现 ,式②可加强 (即式①可修…     

选用合适的三角函数

在三角函数这一章的学习过程中常遇到已知三角函数值求角度这方面问题 ,此类问题怎样求解较好呢 ?请看下面几例 :例 1　已知α、β都是锐角 ,且ｓｉｎα =55,ｓｉｎβ=1 01 0 ,求证 :α +β=π4.分析　∵α、β都是锐角 ,且ｓｉｎα =55,ｓｉｎβ=1 01 0 ,∴ｃｏｓα =1 -ｓｉｎ2 α=1 -15=2 55.　ｃｏｓβ=1 -ｓｉｎ2 β=1 -11 0 =3 1 01 0 .∴ｓｉｎ(α +β) =ｓｉｎαｃｏｓβ+ｃｏｓαｓｉｎβ=55×3 1 01 0 +2 55× 1 01 0 =22 .∴　　　　α+β =π4.这种解法有没有错误呢 ?如果有 ,错误又在什么地方呢 ?∵ 0 <α<π2 ,0 <β<π2 ,∴ …     

辅助角公式的应用道不完

我们知道 ,ａｓｉｎα+ｂｃｏｓα =ａ2 +ｂ2 ｓｉｎ(α +φ) ,其中 φ角所在象限由ａ、ｂ的符号确定 ,φ角的值由ｔａｎφ =ｂａ 确定 ,这个公式称为辅助角公式 .该公式在解题中有广泛的应用 .一、求最值例 1　求函数 ｙ =3ｓｉｎ(ｘ +2 0°) +5ｓｉｎ(ｘ +80°)的最大、最小值 .解 :令θ =ｘ +2 0°,则ｙ =3ｓｉｎθ +5ｓｉｎ(θ +6 0°) =3ｓｉｎθ+512 ｓｉｎθ+32 ｃｏｓθ =112 ｓｉｎθ +52 3ｃｏｓθ=7ｓｉｎ(θ +φ) .∴　ｙ的最大、最小值分别为 7、- 7.二、求值例 2　若函数ｆ(ｘ) =ｓｉｎ2ｘ +ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- …     

正余弦定理及应用

新编教材严格按照《新大纲》进行精简、更新。高中“三角函数” ,“两角和与差的三角函数” ,“反三角函数和简单三角方程”合并为“三角函数”一章 ,课时压缩为 36节。减少了许多公式的记忆 ,繁琐的变形 ,偏难的怪题。而“平面向量”一章中保留了正弦定理 ,余弦定理和解斜三角形应用举例。原有一些常规题如求ｓｉｎ2 1 0° ｃｏｓ2 4 0° ｓｉｎ1 0°ｃｏｓ4 0°的值 ,求证ｓｉｎ2 β ｓｉｎ2 (α β) -2ｃｏｓαｓｉｎβｓｉｎ(α β) =ｓｉｎ2 α就较难解决。现根据新教材内容 ,运用正弦定理 ,余弦定理以及诱导公式 ,可以得到正余弦…     

对一类求面积习题解法的探究

下面是两道流行的习题解答 :例 1　一平行四边形的两邻边长分别为 2和 4 ,两对角线的夹角为 6 0° ,试求其面积 .解　设平行四边形的对角线的长分别为 2ｘ、2 ｙ ,面积为Ｓ ,则有　　Ｓ =4 · 12 ｘｙｓｉｎ6 0° =3ｘｙ .又据余弦定理得　　 ｘ2 + ｙ2 - 2ｘｙｃｏｓ6 0°=2 2 ,ｘ2 + ｙ2 - 2ｘｙｃｏｓ12 0°=4 2 . (1)解之得　ｘｙ=6 ,所以Ｓ =6 3.例 2　已知平行四边形的两邻边长分别为 2和4 ,其两对角线的夹角为 4 5° ,试求该平行四边形的面积 .解　设法同题 1,则Ｓ=4 · 12 ｘｙｓｉｎ4 5°=2ｘｙ .而　　　 ｘ2 + ｙ2 - 2ｘｙｃｏｓ…     

三倍角公式的衍生公式与运用

由正、余弦的三倍角公式ｓｉｎ3θ =3ｓｉｎθ- 4ｓｉｎ3 θ ,ｃｏｓ3θ=4ｃｏｓ3 θ- 3ｃｏｓθ ,可得衍生公式 1ｓｉｎ3 α =14(3ｓｉｎα -ｓｉｎ3α) ,ｃｏｓ3 α =14(3ｃｏｓα +ｃｏｓ3α) .衍生公式 1的优点是 :对正弦、余弦的三次乘方形式可直接降幕 .例 1　 (1994年全国高考题 )求函数ｙ=1ｃｏｓ2 2ｘ(ｓｉｎ3ｘｓｉｎ3 ｘ+ｃｏｓ3ｘｃｏｓ3 ｘ) +ｓｉｎ2ｘ的最小值 .解　由公式 1,原函数变为ｙ=1ｃｏｓ2 2ｘ[ｓｉｎ3ｘ· 14(3ｓｉｎｘ-ｓｉｎ3ｘ)　 +ｃｏｓ3ｘ· 14(ｃｏｓ3ｘ+ 3ｃｏｓｘ) ]+ｓｉｎ2ｘ=1ｃｏｓ2 2ｘ(34ｓｉｎｘｓ…     

2002高考(天津)试题别解

题目　已知ｃｏｓ(α π4) =35,2π ≤α <32 π　求ｃｏｓ(2α π4)解法 1　由ｃｏｓ(α π4) =35,可得　ｃｏｓα -ｓｉｎα =3 25… (1)再由ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1,得 :2ｃｏｓ2 α -625ｃｏｓα -72 5=0 ,解得ｃｏｓα =-210 或7210 ,又 π2 ≤α <32 π ,所以ｃｏｓα=-210 ,ｓｉｎα=-7210 ,所以ｃｏｓ2α=ｃｏｓ2 α-ｓｉｎ2 α=-2 42 5,ｓｉｎ2α =72 5所以ｃｏｓ(2α π4) =22 (ｃｏｓ2α -ｓｉｎ2α)=-3 1250 .解法 2　易知ｃｏｓα=-210 ,记ｘ =ｃｏｓ(2α π4)所以ｃｏｓ π4 ｃｏｓ(α π4) ｃｏｓ(2α π4) =[ｃ…     

一道三角习题的解法启示

在三角函数这一章里 ,由于公式多 ,解题方法比较灵活 ,但有时若解法选择不当 ,不仅解起来十分麻烦 ,而且还会出错 .下面分析一例 .例　若ｃｏｓα -ｃｏｓβ=12 ,①ｓｉｎα-ｓｉｎ β=-13 .②求ｓｉｎ(α β) .对于①、②形式出现的三角习题 ,等式两边平方是常见解法 ,学生受其影响 ,产生了下面解法 .解 :①2 ②2 得2 -2ｃｏｓ(α -β) =1 33 6 ,所以有ｃｏｓ(α -β) =5972 ,①2 -②2 得ｃｏｓ 2α ｃｏｓ 2 β -2ｃｏｓ(α β) =53 6 ,即ｃｏｓ(α β)ｃｏｓ(α -β) -2ｃｏｓ(α β) =53 6 ,∴ｃｏｓ(α β) [2ｃｏｓ(α -β) -2 …     

用通性通法解三角函数的求值题

在三角函数求值过程中 ,有些题比较简单 ,有些则较难 ,解题时若不注意通性通法则容易进入死胡同或陷入恶性循环 .以下是笔者对学生颇感头痛的四类三角函数求值题的规律总结 ,希望对广大师生有所帮助 !1　能化为同分母的尽量不通分有些题看上去可以通分 ,但不是所有题都能通过通分达到目的 ,若能化为同分母则应先设法化为同分母后求值 .下面举例说明 .例 1　求ｓｅｃ5 0°+ｔａｎ10°的值分析　许多学生往往会把此题化为 1ｃｏｓ5 0°+ｓｉｎ10°ｃｏｓ10°,然后通分 ,这样会较繁甚至解不出来 .如果能注意再化成 1ｓｉｎ4 0°+ ｃｏｓ80°ｓ…     

构造等式利用三角代换证不等式

在不等式证明中 ,一些不等式表面上看并未显露出三角化的可能 ,如果我们深入挖掘其隐含条件 ,构造等式 ,引进三角代换 ,利用三角知识常能使问题简捷获解例 1　已知ａ >ｂ >0 ,求证 :3 ａ - 3 ｂ <3 ａ -ｂ .证明　∵ａ >ｂ >0 ,∴ (ａ -ｂ) ｂ =ａ ,于是可设 ａ -ｂ =ａｃｏｓ2 αｂ =ａｓｉｎ2 α 　 0 <α <π2 .因此原不等式等价于 1- 3 ｓｉｎ2 α <3 ｃｏｓ2 α ,即 3 ｓｉｎ2 α 3 ｃｏｓ2 α >1.∵　 0 <α <π2 ,∴ 0 <ｓｉｎ2 α ,ｃｏｓ2 α <1,于是有　 3 ｓｉｎ2 α 3 ｃｏｓ2 α >ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1.故　原不等式…