再究是(“m_1~2-m_2~2”)1/2还是“m1-m2”

本刊 2 0 0 2年第 6期刊登了《是“m12 -m2 2 ”还是“m1-m2 ”》的讨论文章 (以下简称《是》文 ) ,对一道力学复习题的解答提出质疑 ,并给出了自己的解答 .研读之后 ,发现《是》文中疑点颇多 .本文将就此问题再进行讨论 .原题 :如图 1所示 ,一条细绳跨过相同高度的两个定滑轮 ,两端分别拴上质量为m1和m2 (m1>m2 )的物体A和B、在滑轮之间一段绳上的某点O ,系一质量为m的物块P ,设悬挂A、B的绳足够长、不计摩擦和绳重 ,欲使系统保持平衡状态 ,试求m应满足的条件 .原解 :m12 -m2 2 相似文献   

是“(m_1~2-m_2~2)～(1/2)”不是“m_1-m_2”

本刊 2 0 0 2年第 6期《是“m12 -m2 2 ”还是“m1-m2 ”》一文 (以下简称原文 ) ,讨论了一本新近出版的高考复习资料中的一道题 .[原题 ]如图 1所示 ,一条细绳跨过相同高度的两个定滑轮 ,两端分别拴上质量为m1和m2 (m1>m2 )的物体A和B .在滑轮之间一段绳上的某点O系一质量为m的物块P ,设悬挂A、B的绳足够长、不计摩擦和绳重 ,欲使系统保持平衡状态 ,试求m应满足的条件 .原文作者认为 :“当m很小时 ,θ1、θ2 均较大 ,且都趋于 90°(但不等于 90°) ,在这里θ1、θ2 应是同时趋于90°,而不是θ2 先趋于 90°,只不过θ2 较θ1略大而已” .…     

2003届高中毕业班第一次教学质量检测数学(理科)参考答案

一、选择题1.Ｂ　 2 .Ｃ　 (新 )Ｂ　 3.Ｄ　 4 .Ａ　 5.Ｂ　 6 .Ｄ7.Ｃ　 8.Ｂ　 9.Ａ　 10 .Ａ　 11.Ｄ　 12 .Ｂ二、填空题13.ｘ - 2 ｙ +3=0　 14 .ｘ =2　 15.16　 13.(新 ) 12 0 　 16 .ａｎ =2 +( - 1) ｎ 2ｎ 或ａｎ =1　ｎ为奇数3　ｎ为偶数 　或ａ =2 +ｓｉｎ2ｎ +12 π三、解答题17.解 :ｔａｎ2θ =2ｔａｎθ1-ｔａｎ2 θ=- 2 2 ,解得ｔａｎθ =-22 或ｔａｎθ =2因为 2π <2θ <3π ,所以π <θ <3π2 则ｔａｎθ >0 ,所以ｔａｎθ =- 22 (舍去 ) ,所以ｔａｎθ =2 .原式 =ｃｏｓθ-ｓｉｎθｃｏｓθ +ｓｉｎθ=1-ｔａｎθ1+ｔ…     

解答公式应该是n=(2(90°-θ)/α)-1

本刊 2 0 0 1年第 9期所刊《关于ｎ =90° -(α +θ)α × 2 + 1的由来》(下称原文 )一文 ,就物理竞赛中的一类问题进行了分析讨论 ,且得出解答公式 ,笔者读后深受启发 ,但也略感不足 ,今将拙见公诸于后 ,与同行切磋 .1　解答公式的推导原题是 :如图 1所示 ,ＡＯＢ是两块相交面镜 ,夹角α =5° ,现将一束光线在ＡＯＢ面内Ｃ点射出 ,其方向与ＡＯ的夹角为θ =30° ,问光线经过多少次反射后又恰好回到Ｃ点 .图 1　　　　　　　　　　　　图 2若想直接用作图法得出本题的答案 ,的确“并非简单的事情” .笔者认为 ,根据几何光学反射定律 ,寻找光…     

“211杯”函数知识竞赛

一、选择题 :1.已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｍｘ +4 +2ｍ的定义域是Ｒ ,值域是 [1,+∞ ) ,则实数ｍ的集合为 (　　 ) .Ａ .{ｍ|- 1≤ｍ≤ 3}　　Ｂ .{ｍ|1- 5<ｍ <5}Ｃ .{- 1,3}　　Ｄ .{ｍ|ｍ <1或ｍ >3}2 .要使函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +(ａ - 6 )ｘ +2对一切正整数ｘ都取正值 ,其充要条件是 (　　 ) .Ａ .ａ =3　　Ｂ .2 <ａ <18　　Ｃ .ａ >2　　Ｄ .以上都不对3.对每一对实数ｘ ,ｙ,函数 ｆ(ｘ)满足 ｆ(ｘ +ｙ) - ｆ(ｘ) -ｆ( ｙ) =ｘｙ +1,且ｆ( 1) =1,那么满足ｆ(ｎ) =ｎ(ｎ≠ 1)的整数ｎ的个数共有 (　　 )个 .Ａ .0　　Ｂ .1　　Ｃ .2　　…     

比较11~(1/2)-3~(1/2)与10~(1/2)-2~(1/2)大小的方法

1 .公式法因为 ( 11+3 ) ( 11-3 ) =8,　　 ( 10 +2 ) ( 10 -2 ) =8,又因为 11+3 >10 +2 >0 ,所以11-3 <10 -2 .2 .倒数法由 ( 11+3 ) ( 11-3 ) =8,　 ( 10 +2 ) ( 10 -2 ) =8,有　 111-3 =11+38,110 -2 =10 +28.由于 11+3 >10 +2 ,所以111-3 >110 -2 .故 11-3 <10 -2 .3 .求差法( 11-3 ) -( 10 -2 )=( 11+2 ) -( 10 +3 ) .由于 ( 11+2 ) 2 =13 +2 2 2 <　　 ( 10 +3 ) 2 =13 +2 3 0 ,故 ( 11+2 ) -( 10 +3 ) <0 .所以 ,11-3 <10 -2 .4.找规律法( 11-3 ) -( 10 -2 )=( 11-10 ) -( 3 -2 ) .由于 1-0 >2 -1>3 -2 >4-3 >… ,有　 3 -2 >11-10 .…     

(a~2 +b~2 +k_1ab)~(1/2)+(b~2 +c~2 +k_2bc)~(1/2)>(a~2 +c~2 +k_3ac)~(1/2)的探究——反思、与读者也与自己对话

我们在文 [1 ]的案例 3中 ,谈了数形结合的双向沟通 ,顺便对题目 (文 [1 ]例 3、4、5 ,此处统一为例 1 )例 1　已知a >0 ,b >0 ,c >0 ,求证 :( 1 )a2 +b2 +ab +b2 +c2 +bc>a2 +c2 +ac;( 2 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc ;≥a2 +c2 +ac,( 3 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc>a2 +c2 -ac.从特殊到一般作出了推广 :a2 +b2 +k1ab +b2 +c2 +k2 bc≥a2 +c2 +k3ac .①其中 |ki|<2 ,i=1 ,2 ,3 .这对b +k1a≥ 0且b +k2 c≥0 (特别地k1≥ 0 ,k2 ≥ 0 )时 ,结论是显然的 ,有左边≥a +c=a2 +c2 +2ac >右边 .但当k1、k2 中出现负数呢 ?文 [2 ]指出 ,推广式①并非永远…     

几何方法巧解代数题

题目　设ｍ、ｎ、ｐ为正数 ,且ｐ >ｍ ,ｐ >ｎ .求证 :ｍ2 +ｎ2 +(ｐ-ｍ) 2 +ｎ2 +(ｐ-ｎ) 2 +ｍ2 +(ｐ-ｍ) 2 +(ｐ -ｎ) 2≥ 2 2ｐ.初见此题 ,感到十分困惑 ,不知从何入手去解 .用代数法来解这道题 ,会非常繁杂 .但仔细观察会发现这样一个规律 ,那就是不等式左面几个代数式的形式都如勾股定理变化后的形式 ,即ｃ=ａ2 +ｂ2 ,你想到了什么 ?对 !就是用几何方法去解决它 .图 1　　证明　作边长为ｐ的正方形ＡＢＣＤ ,如图 1 ,在ＡＢ边上截取ＡＥ =ｎ ,在ＡＤ边上截取ＡＧ =ｍ ,则ＢＦ =ｐ -ｎ ,ＧＤ=ｐ -ｍ .再分别过Ｇ、Ｅ作ＡＢ、ＡＤ的平行…     

凹四边形的一个面积公式

文 [1 ]证明了凸四边形的一个面积公式 ,本文应用类似的方法 ,证明了该公式也适用于凹四边形 .定理　设凹四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,ＣＤ =ｃ,ＤＡ =ｄ ,对角线ＡＣ =ｍ ,ＢＤ =ｎ ,则其面积Δ =144ｍ2 ｎ2 -(ａ2 -ｂ2 +ｃ2 -ｄ2 ) 2 .证明 :不妨设Ｃ是凹顶点 (如图 ) .延长ＡＣ交ＢＤ于Ｅ ,记∠ＡＥＢ =θ ,ＢＥ =ｘ ,ＥＤ =ｙ ,ＣＥ =ｚ,则ｘ +ｙ=ｎ ,ＡＥ =ｍ +ｚ .由余弦定理 ,有ａ2 =ｘ2 +(ｍ +ｚ) 2 -2ｘ(ｍ +ｚ)ｃｏｓθ ,ｂ2 =ｘ2 +ｚ2 -2ｘｚｃｏｓθ,ｃ2 =ｙ2 +ｚ2 +2 ｙｚｃｏｓθ ,ｄ2 =ｙ2 +(ｍ +ｚ) 2 +2 ｙ(ｍ …     

混合溶液竞赛题例析

例 1　如图 1所示 ,Ａ、Ｂ是两个完全相同的圆柱形容器 ,另有两种不同的液体 ,密度分别为 ρ1 和 ρ2 ,且ρ1 >ρ2 ,现在向两容器内分别倒入这两种液体 ,且都倒满 ,倒入液体的方法是 :(1)取等质量的两种液体倒入Ａ容器中 ;(2 )取等体积的两种液体倒入Ｂ容器中 .设Ａ容器中液体的总质量为ｍＡ,Ｂ容器中液体的总质量为ｍＢ,则比较ｍＡ、ｍＢ(　　 ) .(Ａ)ｍＡ=ｍＢ　　 (Ｂ)ｍＡ<ｍＢ(Ｃ)ｍＡ>ｍＢ (Ｄ)无法比较分析与解　 (1)设Ａ容器中两种液体的质量均为ｍ ,容器的容积为Ｖ .根据 ρ =ｍＶ ,可求出混合液体的密度为ρＡ=ｍＡＶ =2ｍｍρ1 +…     

关于ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)中符号的确定

在曲线的极坐标方程化到曲线的直角坐标方程时,常用到ρ~2=x~2+y~2。故ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)。怎样确定“+”、“-”号?现在举例说明如下: 1.用ρ=(x~2+y~2)~(1/2)的情况。例1.化极坐标方程e~ρ=2+cosθ为直角坐标方程。解.因为2+cosθ≥1,所以原方程中ρ≥0,因此ρ=(x~2+y~2)~(1/2)。由e~ρ=2+cosθ得ρe~ρ=2ρ+ρcosθ。从而原方程可化为 (x~2+y~2)~(1/2)e~((x~2+y~2)~(1/2))=2(x~2+y~2)~(1/2)+x。例2.把极坐标方程ρ=1+cosθ化为直角坐标方程。     

三角形内接正三角形的最小面积

命题　设△ＡＢＣ的面积为△ ,三边长分别为ａ、ｂ、ｃ.则△ＡＢＣ的内接正三角形的最小面积为 △236(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) + 2△.图 1证明 :如图 1所示 ,正△ＰＱＲ内接于△ＡＢＣ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ ,ＡＢ =ｃ.设∠ＢＲＰ =θ,则易求得∠ＰＱＣ =∠Ａ+ 60° -θ .再设△ＰＱＲ的边长为ｘ ,则分别在△ＢＲＰ和△ＰＱＣ中 ,由正弦定理可得ＢＰ =ｓｉｎθｓｉｎＢｘ ,ＰＣ =ｓｉｎ(∠Ａ + 60°-θ)ｓｉｎＣ ｘ.又因ＢＰ +ＰＣ =ＢＣ =ａ ,故ｘ = ａｓｉｎθｓｉｎＢ+ｓｉｎ(∠Ａ +6 0° -θ)ｓｉｎＣ=ａｓｉｎ(∠Ａ +6 0°)ｓｉｎＣ ·ｃｏｓθ+…     

(sinα)~2 (cosα)~2=1的应用

公式ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1反映了同一个锐角α的正弦和余弦之间的关系 .应用这一关系 ,许多较复杂的问题可获得简捷的解答 .例 1　ｓｉｎ53°ｃｏｓ37° ｃｏｓ53°ｓｉｎ37° =.( 1 998年山西省中考题 )解　∵　 53° 37°=90° ,∴　ｃｏｓ37°=ｓｉｎ53° ,ｓｉｎ37°=ｃｏｓ53°.∴　原式 =ｓｉｎ2 53° ｃｏｓ2 53°=1 .例 2　已知ｓｉｎα ｃｏｓα=ｍ ,ｓｉｎα·ｃｏｓα =ｎ ,则ｍ、ｎ的关系是 (　　 ) .(Ａ)ｍ =ｎ　　　 (Ｂ)ｍ =2ｎ 1(Ｃ)ｍ2 =2ｎ 1 (Ｄ)ｍ2 =1 -2ｎ( 1 999年天津市中考题 )解　将ｓｉｎα ｃｏｓα =ｍ…     

m《f(x)/g(x)《n(m《n、g(x)≠0)的等价命题及其应用

不等式ｍ <ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) <ｎ(ｍ <ｎ、ｇ(ｘ) ≠ 0 )等价于 [ｆ(ｘ) -ｍｇ(ｘ) ]· [ｆ(ｘ) -ｎｇ(ｘ) ]<0 .证明　 1°若 ｇ(ｘ) >0原不等式等价于ｍｇ(ｘ)<ｆ(ｘ) <ｎｇ(ｘ) ,即 [ｆ(ｘ) -ｍｇ(ｘ) ][ｆ(ｘ) -ｎｇ(ｘ) ]<0 ;2°若ｇ(ｘ) <0原不等式等价于ｎｇ(ｘ) <ｆ(ｘ)<ｍｇ(ｘ) ,即 [ｆ(ｘ) -ｎｇ(ｘ) ][ｆ(ｘ) -ｍｇ(ｘ) ]<0 .综述无论 ｇ(ｘ) >0或 ｇ(ｘ) <0均有ｍ <ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) <ｎ [ｆ(ｘ) -ｍｇ(ｘ) ][ｆ(ｘ) -ｎｇ(ｘ) ]<0 .灵活应用上述等价关系解有关问题 ,往往会化繁为简、化难为易 ,起到事半功倍之效 .现举例说明如下 :例…     

利用“a2＋b2=c2”构造直角三角形证不等式

某些不等式 ,我们通过观察其结构特点 ,可发现与三角形有着某种直接或间接的联系 ,特别是当题中含有“ａ2 ｂ2 =ｃ2 ”这一信息时 ,则可构造直角三角形 ,利用三角形边、角之间的关系 ,使不等式获得自然、直观、简捷的证明 .下面举例加以说明 .1　直接由题设“ａ2 ｂ2 =ｃ2 ”构造直角三角形 .例 1　设ｍ ,ｎ ,ｐ为正实数 ,且ｍ2 ｎ2 =ｐ2 ,求证 :ｐｍ ｎ ≥ 22 .　　　　　图 1证明　注意到ｍ ,ｎ ,ｐ为正实数 ,且ｍ2 ｎ2 =ｐ2 ,故可构造一个直角三角形 .如图 1,构造Ｒｔ△ＡＢＣ ,使ＡＣ =ｍ ,ＢＣ =ｎ ,ＡＢ =ｐ ,则ｍ ｎｐ =ｃｏｓ…     

“不等式(组)的应用”试题汇编

1.已知m、n是整数,3m+2=5n+3,且3m+2>30,5n+3<40,则mn的值为( ). (A)70 (B)72 (C)77 (D)84 (1997年“希望杯”数学邀请赛题) 答:D. [提示] 由{5n+3>30,5n+3<40 得5(2/5)相似文献   

高一数学单元测试(两角和与差的三角函数)

一、选择题1 .ｓｉｎ2 π12 -ｃｏｓ2 π12 的值为 (　　 )　 (Ａ) -12 　 (Ｂ) 12 　 (Ｃ) -32 　 (Ｄ) 322 .已知ｃｏｓαｃｏｓ β+ｓｉｎαｓｉｎ β =0 ,那么ｓｉｎαｃｏｓβ-ｃｏｓαｓｉｎ β的值为 (　　 )　 (Ａ) -1　　 (Ｂ) 0　　 (Ｃ) 1　　 (Ｄ)± 13 .已知ｆ(ｔａｎｘ) =ｃｏｓ 2ｘ ,则 ｆ -22 等于(　　 )　 (Ａ) -2 23 　 (Ｂ) 0　 (Ｃ) 13 　 (Ｄ) -14.化简1 +ｓｉｎθ-ｃｏｓθ1 +ｓｉｎθ+ｃｏｓθ等于 (　　 )　 (Ａ)ｔａｎθ　　　　 (Ｂ)ｃｏｔθ　 (Ｃ)ｔａｎ θ2 　 (Ｄ)ｃｏｔ θ25 .如果 1 -ｔａｎＡ1 +ｔａｎＡ…     

一组不等式题(日本)

一、中央大学高考题题对于 x 的一切实数值,不等式((x~2+1)cosθ-x(cosθ-5)+3)/(x~2-x+1)>sinθ-1成立。求θ值的范围.解∵((x~2+1)cosθ-x(cosθ-5)+3)/(x~2-x+1)=((x~2-x+1)cosθ+5x+3)/(x~2-x+1)     

2001年全国高考数学试题(理)解法介评

一、选择题 :本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1 )若ｓｉｎθｃｏｓθ>0 ,则θ在 (　　 ) .Ａ .第一、二象限Ｂ .第一、三象限Ｃ .第一、四象限Ｄ .第二、四象限解法 1 :定性分析法　由ｓｉｎθｃｏｓθ >0 ,知ｓｉｎθ与ｃｏｓθ同号 (同正或同负 ) ,故选Ｂ .解法 2 :定量分析法　由ｓｉｎθｃｏｓθ =12 ｓｉｎ2θ >0 ,得 2ｋπ <2θ <2ｋθ π ,ｋ∈Ｚ ,即ｋπ <θ <ｋπ π2 ,ｋ∈Ｚ .当ｋ为偶数时 ,θ在第一象限 ;当ｋ为奇数时 ,θ在第三象限 .故选Ｂ .解法 3:特殊…     

一道物理题中的陷阱

如图 ,Ａ、Ｂ两物体的质量为ｍＡ=3Ｋｇ ,ｍＢ=1Ｋｇ。求两物体在组成下述系统时获得的加速度的大小和方向。1 物体Ａ、Ｂ用轻绳跨过定滑轮连接。2 物体Ａ、Ｂ在光滑的楔形斜面上用轻绳跨过斜面顶端的定滑轮连接。3 物体Ａ、Ｂ在楔形斜面上用轻绳跨过斜面顶端的定滑轮连接 ,物