从一道竞赛题的多解谈数理结合

本题为1998年第15届全国中学生物理竞赛预赛试卷第七题:1 mol理想气体缓慢地经历了一个循环过程,在р-V图中这过程是一个椭圆,如图所示.已知此气体若处在与椭圆中心O′点所对应的状态时,其温度为T_0=300K.求在整个循环过程中气体的最高温度T_1和最低温度T_2各是多少?     

巧用抛物线的一个定理妙解高考题

定理　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ >0 )对称轴上一定点Ｍ(ｘ0 ,0 )作一条直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,若两交点的纵坐标为ｙ1、ｙ2 ,则ｙ1ｙ2 =- 2ｐｘ0 (定值 ) .证明　设直线ＡＢ方程为ｘ=ｍｙ+ｘ0 ,代入抛物线方程ｙ2 =2ｐｘ ,得ｙ2 2ｍｐｙ - 2ｐｘ2 =0 .因为ＡＢ的纵坐标为ｙ1、ｙ2 ,由韦达定理得　　　ｙ1ｙ2 =- 2ｐｘ0 .特别地 ,当Ｍ(ｐ2 ,0 )时 ,ｙ1ｙ2 =-ｐ2 .(高中《解析几何》课本 10 1页第 8题 )逆定理　一条直线和抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ >0 )相交 ,若两交点的纵坐标为ｙ1、ｙ2 ,且满足ｙ1ｙ2 =Ａ(定值 ) ,则这条直线恒过定点 (- Ａ2…     

一道与平行有关的解析几何模拟题解法探究

<正>1.问题呈现图1(2022年常州市高三期末考试第22题)如图1,已知椭圆C:■的左焦点坐标为F(-2,0),离心率■.点A是椭圆上位于x轴上方的一点,点B(1,0),直线AF、AB分别交椭圆异于A的点M、N.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线MN平行于x轴,求点A的横坐标.本题关键词是平行,题干简洁,内涵丰富,通过探究发现解法多样,     

气体等温变化的学生实验不宜全盘否定

本刊 2 0 0 1年第 6期刊登了《气体等温变化的学生实验设计不科学》一文 (下简称原文 ) ,指出气体等温变化的学生实验设计不科学 .气体等温变化的学生实验是课本所要求的学生必做实验 .实验步骤为 :图 1(1 )把玻璃管插入量筒的水中 ,用刻度尺量出玻璃管中水柱长度ｌ.量筒与玻璃管中水面高度差为ｈ .(如图 1所示 )这时被封闭的气体的压强与体积为 :　　ｐ =ｐ0 +ρｇｈ ,Ｖ =Ｖ0 -ｌＳ .式中ｐ0 为大气压 ,ρ为水的密度 ,Ｖ0 为烧瓶及玻璃管的总容积 ,Ｓ为玻璃管内部截面积 .(2 )改变玻璃管插入水中的深度 ,再测量已改变的ｌ和ｈ ,取 6组以上…     

把这项工程看做12份

[例] 若椭圆x2/4+y2=1和(x-1)2+y2=r2(r>0)有公共点求半径r的取值范围. 分析:首先我们来看此题的一种错误解法:若两曲线有公共点,则方程组有实解,消去y2即方程3x2-8x+8-4r2=0有实数根.     

2001年高考物理全国卷第21题的四种解法

20 0 1年全国统一考试物理试卷计算题第 2 1题如下 :在一密封的啤酒瓶中 ,下方为溶有ＣＯ2 的啤酒 ,上方为纯ＣＯ2 气体 .在 2 0℃时 ,溶于啤酒中的ＣＯ2 的质量为ｍＡ=1 .0 5 0× 1 0 - 3ｋｇ ,上方气体状态ＣＯ2 的质量为ｍＢ=0 .1 3 7× 1 0 - 3ｋｇ ,压强为 ｐ0 =1标准大气压 .当温度升高到 40℃时 ,啤酒中溶解的ＣＯ2 的质量有所减小 ,变为ｍＡ′ =ｍＡ-Δｍ ,瓶中气体ＣＯ2 的压强上升到 ｐ1.已知ｍＡ′/ｍＡ=0 .60× ｐ1/ｐ0 ,啤酒的体积不因溶入ＣＯ2 而变化 ,也不随温度的变化而变化 .又知对同种气体 ,在体积不变情况下 ,ｐ/Ｔ与ｍ…     

回味无穷的一道课本复习题

现行高中《平面解析几何》(必修本)复习参考题二第10题是:在椭圆x245 y220=1上求一点,使它到两焦点的连线互相垂直.(以下称原题)此题看似简单却回味无穷,在教学中可从多角度探究其潜能.1　原题的解法探究本题的解法较多,下面仅给出具有代表性的几种解法.解1　设欲求点为P(x0,y0),∵左、右焦点为F1(-5,0),F2(5,0),则PF1⊥PF2,故有kPF1·kPF2=y0x0 5·y0x0-5=-1,即x20 y20=25.又由椭圆方程得x2045 y2020=1.联立两方程解得x20=9,y20=16.由对称性知欲求的点P为(3,4),(-3,4),(-3,-4),(3,-4).解2　∵∠F1PF2=90°,∴以F1F2为直径且过点P的…     

高考解析几何考点解析与试题集粹(中)

数学科《考试大纲》要求考生 :①掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质和椭圆的参数方程 ;②掌握圆锥曲线的初步应用 .下面介绍圆锥曲线基础试题的考点和解析 .考点 1 　考查椭圆定义性质应用例 1 　 ( 2 0 0 4 年福建高考题 ) 已知 1、 2是椭圆的两个焦点 , 过 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 、 两点 , 若△ 2是正三角形 , 则这个椭圆的离心率是 ( 　　 )图 1( A )33.( B )22.( C )22.( D )32.解析 : 此题考查椭圆定义及其性质应用等基础知识 . 在椭圆1 2 2 2 2 2= 1 中 ,应掌握其第一…     

与方程有关的阅读理解题归类点拨

阅读理解能力是初中数学课程追求的重要目标之一.本文特选了几例与方程有关的阅读理解题,供参考.一、阅读解题过程,总结思想方法例1阅读下面的材料:为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1视为一个整体,然后设x2-1=y,则(x2-1)2=y2.原方程化为y2-5y+4=0①.解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,∴x=±2;当y=4时,x2-1=4,∴x=±5.∴原方程的解为x1=2,x2=-2,x3=5,x4=-5.解答问题:(1)填空:在由方程得到①y2-5y+4=0的过程中,利用法达到了降次的目的,体现了的数学思想.(2)解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0,若设y=x2-x,则原方程可化为.解(1)换元:转化;(2)y2…     

热力学基础

一、“新提要”竞赛涉及的知识概要1 .热力学第一定律对于理想气体等值过程的应用等容过程　等容过程的特征是气体的体积保持不变 ,即ΔＶ =0 ,故Ｗ =0 ,由热力学第一定律可知 ,在等容过程中 ,气体与外界交换的热量等于气体内能的增量 ,即Ｑ =ΔＥ =ｍＭ· ｉ2 ＲΔＴ =ｍＭＣＶΔＴ .ＣＶ为定容摩尔比热 ,ＣＶ=ｉ2 Ｒ ,ｉ为分子的自由度 ,对于单原子分子气体 ,ｉ=3;对于双原子分子气体 ,ｉ=5 ;而对于多原子分子气体ｉ =6 ,Ｒ为摩尔气体常数 ,Ｒ =8.31Ｊ/(ｍｏｌ·Ｋ) .等压过程等压过程的特征是气体压强保持不变 ,即Δｐ =0 ,ΔＷ =ｐ·Δ…     

一道高考解析几何试题的引申

图12004年全国高考文(理)的解析几何试题如下:设椭圆x2m 1 y2=1的两个焦点是F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),且椭圆上存在点P,使直线PF1与PF2垂直.(1)求实数m的取值范围;(2)设l是相应于焦点F2的准线,直线PF2与l相交于点Q,若｜OF2｜｜PF2｜=2-3,求直线PF2的方程.在对该题的研究过程当中     

谈“气体”一章的教材变化及处理

本章研究的是气体状态变化的规律 ,新教材同老教材相比 ,内容及规律的得出等方面有了一些变化 ,但状态参量确定的重要性没变 ,我从以下几个方面加以说明 .1　新教材淡化三大实验定律 ,简明处理了玻意耳定律和查理定律 ,突出了理想气体状态方程新教材上通过实验只是定性地判断了一定质量的气体 ,Ｔ定时 :ｐ∝ 1/Ｖ(玻意耳定律 ) ;Ｖ定时 ,ｐ∝Ｔ(查理定律 ) ;ｐ定时 ,Ｖ∝Ｔ(盖·吕萨克定律 ) .由此得出一定质量的气体满足ｐ∝Ｔ/Ｖ ,改成等式为ｐ =ＣＴ/Ｖ ,转化为ｐＶ/Ｔ =Ｃ(常量 ) .这就意味着一定量的气体在状态发生变化时ｐＶ/Ｔ的值是…     

焦点弦长公式的几种形式及其应用

圆锥曲线的焦点弦是解析几何教学的一个重点和难点,也是各类考试的热点问题,解题中有着广泛的应用.但解答这类问题,一般演算繁长且易出差错.为此,本文利用直线的参数方程推导出不同形式的焦点弦长公式,可以在不同的题设条件下使用,简便快捷,学生兴趣盎然,课堂效果好,现说明如下.命题1　ＡＢ是过抛物线ｙ2=2ｐｘ(ｐ>0)或椭圆ｂ2ｘ2 ａ2ｙ2=ａ2ｂ2(ａ>ｂ>0)或双曲线ｂ2ｘ2-ａ2ｙ2=ａ2ｂ2(ａ>0,ｂ>0)的焦点Ｆ的弦,椭圆和双曲线的半焦距为ｃ.若ＡＢ的倾斜角为α,则(1)　|ＡＢ|抛物线=2ｐｓｉｎ2α;(2)　|ＡＢ|椭圆=2ａｂ2ｂ2 ｃ2ｓｉｎ2α;(3)　…     

气体等温变化的学生实验设计不科学

人民教育出版社的现行全日制普通高级中学教科书《物理·第三册Ⅱ》学生实验 3,研究气体等温变化的规律 .主要实验步骤如下 ,该实验器材与装置如图 1所示 .ａ)把玻璃管插入量筒的水中 ,用刻度尺量出玻璃管中水柱长度ｌ,及量筒与玻璃管中水面的高度差ｈ ,如图 1 .这时被封闭的气体的压强和体积为ｐ=ｐ0 ρｇｈ ;Ｖ =Ｖ0 -ｌＳ . ( 1 )( 1 )式中ｐ0 为当地大气压强 ,ρ为水的密度 ,Ｖ0 为烧瓶和玻璃管的总容积 ,Ｓ为玻璃管的内部横截面积 .ｂ)改变玻璃管插入水中的深度 ,再测量已改变的ｌ和ｈ ,至少取 6组数据 ,代入 ( 1 )式 .ｃ)验证等温变…     

一道“希望杯”赛题的五种解法(高一、高二、高三)

题设关于x的方程x2-2xsinθ-(2cos2θ+3)=0,其中θ∈[0,π/2],则该方程实根的最大值为_______,最小值为______.(第12届“希望杯”高二第1试) 这道题内容丰富.本文给出各有特色的五种解法. 解法1 二次方程的实根分布原方程可化为 2sin2θ-2xSinθ+x2-5=0. 令t=sinθ,则2t2-2xt+x2-5=0,     

2002年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷

<正> 一、填空题(本大题满分48分,共有12题,每题4分)1.函数.y= 的定义域为_____2.若椭圆的两个焦点坐标为F1(-1,0)、F2(5,0),长轴长为10,则椭圆的方程为____.3.若全集I=R,f(x)、g(x)均为x的二次函数,P={x|f(x)<     

2003年普通高等学校招生江苏数学卷

(注 :江苏卷的 (3)～ (11)题、(12 )～ (15 )题、(19)题、(2 0 )题 ,分别与新课程卷的 (2 )～ (10 )题、(12 )～ (15 )题、(18)题、(2 1)题相同 .)一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共6 0分 .(1)如果函数 y=ax2 + bx+ a的图象与 x轴有两个交点 ,则点 (a,b)在 a Ob平面上的区域 (不包含边界 )为 (见图 1) (　 )(2 )抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2 ,则 a的值为 (　 )(A) 18　 (B) - 18　 (C) 8　 (D) - 8二、填空题(16 )对于四面体 ABCD,给出下列四个命题 :1若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥ AD.2若 AB=CD,AC=BD,则 BC⊥ AD.3若…     

一道习题推出的高考题与引伸

许多资料上都有这样一习题 :命题 1　Ｏ为原点 ,ＯＡ、ＯＢ是抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ　 ( ｐ>0 )的两弦 ,若ＯＡ ⊥ＯＢ ,求证 :直线ＡＢ过定点Ｐ( 2 ｐ ,0 ) .证明略 .2 0 0 0年春季高考数学 2 2题就是由此题改编而成 .试题　设Ａ ,Ｂ为抛物线ｙ2 =4 ｐｘ　 ( ｐ>0 )上原点以外的两个动点 ,已知ＯＡ⊥ＯＢ ,ＯＭ ⊥ＡＢ于Ｍ ,求点Ｍ的轨迹方程 .略解　由命题 1知直线ＡＢ过定点Ｐ( 4 ｐ ,0 ) .∵ＯＭ ⊥ＡＢ ,即ＯＭ⊥ＰＭ .∴Ｍ点的轨迹是以ＯＰ为直径的圆 ,除去Ｏ点 ,即方程为(ｘ- 2 ｐ) 2 ｙ2 =4 ｐ2 　 (ｘ≠ 0 ) .　　如果我们把命题 1中…     

一道考题的解题思路探究

<正>一、问题呈现题目如图1,设椭圆x~2/a~2+y~2=1(a>1) .(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示);(2)若任意以A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.本题是笔者所在学校的一道考题,选自2016年高考数学浙江卷理科第19题.考后统计发现此题得分率非常低,尤其是第(2)问,绝大多数学生因此问涉及的字母多,运算量     

2001—2002年国内外数学竞赛题选解(一)

一、数论部分1.设ｋ和ｎ是正整数 ,且ｎ >2 .证明 :方程ｘｎ -ｙｎ=2 ｋ无正整数解 .(第 5 3届罗马尼亚数学奥林匹克决赛 )证明 :反证法 .设ｎ0 >2是满足ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｍ(ｍ >0 )中最小的一个 .若ｎ0 是偶数 ,设ｎ0 =2ｌ,ｌ∈Ｎ ,则ｘ2ｌ-ｙ2ｌ =(ｘｌ-ｙｌ) (ｘｌ+ｙｌ) ,于是ｘｌ-ｙｌ 是 2的整数次幂 ,与ｎ0 的最小性矛盾 .若ｎ0 是奇数 ,定义集合Ａ ={ｐ|ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ,ｐ、ｘ、ｙ均为正整数 } .设ｐ0 是Ａ中最小的一个元素 ,则ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ0 ,所以ｘ、ｙ的奇偶性相同 .又因为(ｘ -ｙ) (ｘｎ0 -1+ｘｎ0 -2 ｙ +… +ｘｙｎ…