凹四边形的一个面积公式

文 [1 ]证明了凸四边形的一个面积公式 ,本文应用类似的方法 ,证明了该公式也适用于凹四边形 .定理　设凹四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,ＣＤ =ｃ,ＤＡ =ｄ ,对角线ＡＣ =ｍ ,ＢＤ =ｎ ,则其面积Δ =144ｍ2 ｎ2 -(ａ2 -ｂ2 +ｃ2 -ｄ2 ) 2 .证明 :不妨设Ｃ是凹顶点 (如图 ) .延长ＡＣ交ＢＤ于Ｅ ,记∠ＡＥＢ =θ ,ＢＥ =ｘ ,ＥＤ =ｙ ,ＣＥ =ｚ,则ｘ +ｙ=ｎ ,ＡＥ =ｍ +ｚ .由余弦定理 ,有ａ2 =ｘ2 +(ｍ +ｚ) 2 -2ｘ(ｍ +ｚ)ｃｏｓθ ,ｂ2 =ｘ2 +ｚ2 -2ｘｚｃｏｓθ,ｃ2 =ｙ2 +ｚ2 +2 ｙｚｃｏｓθ ,ｄ2 =ｙ2 +(ｍ +ｚ) 2 +2 ｙ(ｍ …     

高三数学测试

一、选择题 (本大题共 1 0小题 ,每小题 5分 ,共50分 ,在每小题给出的 4个选项中只有一项是符合要求的 )1 .设集合Ａ ={ｘ｜ｘ+1 >0 } ,集合Ｂ={ｘ｜ｘ2 -2 <0 } ,则Ａ ∪Ｂ等于 (　　 )　　 (Ａ) {ｘ｜ｘ<-1或ｘ>2 }　　 (Ｂ) {ｘ｜-1 <ｘ <2 }　　 (Ｃ) {ｘ｜ｘ>-2 }　　 (Ｄ) {ｘ｜ｘ>-1 }2 .在数列 {ａｎ}中 ,ａ1 =-2 ,2ａｎ+1 =2ａｎ+3 ,则ａ1 1 等于 (　　 )　　 (Ａ) 2 72 　　 (Ｂ) 1 0　　 (Ｃ) 1 3　　 (Ｄ) 1 93 .已知复数ｚ满足ｚ-3 ｚ=-4+4ｉ,那么复数ｚ的模 ｜ｚ｜等于 (　　 )　　 (Ａ) 5　 (Ｂ) 5　 (Ｃ) 2　 (Ｄ) 74.已知…     

2003年普通高等学校春季招生考试 数学试题（理工农医类）（北京卷）

一、选择题 (每小题 5分 ,共 60分 )1 .若集合Ｍ ={ｙ|ｙ =2 -ｘ},Ｐ ={ｙ|ｙ =ｘ -1 },则Ｍ∩Ｐ等于 (　　 ) .Ａ .{ｙ|ｙ>1 }　　　Ｂ .{ｙ|ｙ≥ 1 }Ｃ .{ｙ|ｙ >0 }　　　Ｄ .{ｙ|ｙ≥ 0 }2 .若 ｆ(ｘ) =ｘ -1ｘ ,则方程 ｆ( 4ｘ) =ｘ的根是(　　 ) .Ａ .12 　　　Ｂ .-12 　　　Ｃ .2　　　Ｄ .-23 .设复数ｚ1=-1 +ｉ,ｚ2 =12 +32 ｉ,则ａｒｇ ｚ1ｚ2等于 (　　 ) .Ａ .1 3π1 2 　　　　　　Ｂ .71 2 πＣ .51 2 π　　　　　　Ｄ .-51 2 π4.函数 ｆ(ｘ) =11 -ｘ( 1 -ｘ) 的最大值是 (　　 ) .Ａ .45 　　Ｂ .54　　Ｃ .34　　Ｄ .435…     

一个命题的引申

汪江松等著《几何明珠》的第 4 6页有一题很奇巧 :已知Ｅ、Ｆ为△ＡＢＣ边ＡＢ上的点 ,且ＡＥ∶ＥＦ∶ＦＢ =1∶2∶3,中线ＡＤ被ＣＥ、ＣＦ截得的三条线段ＡＧ =ｘ ,ＧＨ =ｙ,ＨＤ =ｚ .求ｘ∶ｙ∶ｚ .结果是ｘ∶ｙ∶ｚ =6∶8∶7.由此引申 ,得命题 1　如图 ,设ＣＤ∶ＣＢ =λ(定值 ) ,Ｄｉ- 1Ｄｉ=ｄｉ,Ｂｉ- 1Ｂｉ=ｂｉ(ｉ=1 ,… ,ｎ) ,则(1 )若存在数列 {ｃｎ}与{ａｎ} ,使得当ｄｉ=ｃｉＡＤ时 ,ｂｉ=ａｉＡＢ ,则当ｂｉ=ｃｉＡＢ时 ,ｄｉ=ａｉＡＤ(ｉ=1 ,… ,ｎ) .(2 )当ｄｉ=1ｎＡＤ(ｉ=1 ,… ,ｎ) ,且λ =12 时 ,1° ＢＢｉＡＢ =2ｉｎ…     

一个新几何不等式

定理　设Ｐ是△ＡＢＣ平面一动点 ,ＢＣ=ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ.则有ＰＡａ ＰＢｂ ＰＣｃ ≥ ∑ａ2∑ｂ2 ｃ2 . ( 1 )为证式 ( 1 ) ,先给出两个引理 .引理 1 [1] 　设ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ .在△ＡＢＣ中 ,有(ｘ ｙ ｚ) (ｘＰＡ2 ｙＰＢ2 ｚＰＣ2 )≥ａ2 ｙｚ ｂ2 ｚｘ ｃ2 ｘｙ . ( 2 )引理 2 [2 ] 　在△ＡＢＣ中 ,有ＰＢ·ＰＣｂｃ ＰＣ·ＰＡｃａ ＰＡ·ＰＢａｂ ≥ 1 . ( 3 )式 ( 2 )即著名的Ｋｌａｍｋｉｎ不等式 ,式 ( 3 )是我们熟知的Ｈａｙａｓｈｉ不等式 .定理证明 :在式 ( 2 )中 ,令ｘ =1ａ2 ,ｙ =1ｂ2 ,ｚ =1ｃ2 ,得　 Ｐ…     

平面的法向量及其应用

先介绍以下结论 :如果ａ =(ａ1 ,ａ2 ,ａ3) ,ｂ =(ｂ1 ,ｂ2 ,ｂ3)为平面α上的两个不共线向量 ,又ｎ =(ｘ ,ｙ,ｚ) ,且ｎ·ａ=ａ1 ｘ +ａ2 ｙ +ａ3ｚ =0 ,ｎ·ｂ =ｂ1 ｘ+ｂ2 ｙ+ｂ3ｚ=0 ,则ｎ⊥平面α ,向量ｎ叫做平面α的法向量 .利用平面α的法向量ｎ,可解决立体几何中有关线面夹角、线面垂直、面面垂直、求二面角的大小和求点到平面的距离等问题 ,且思路清晰 ,解题快捷、准确 .以下举例说明它的应用 .一、直线与平面垂直要证直线与平面垂直 ,只要直线上的向量与该平面的法向量平行即可 .例 1　在棱长为 1的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 …     

2002年河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题

一、单项选择题 (本大题共 6个小题 ,每小题 5分 ,共 30分 )1 已知 1=ｘｙｘ +ｙ,2 =ｙｚｙ +ｚ,3=ｚｘｚ+ｘ,则ｘ +ｙ +ｚ的值为 (　　 ) .(Ａ) 2 7635 　　　　　 (Ｂ) - 2 7635 　　　　　　 (Ｃ) 1112 　　　　　 (Ｄ) - 11122 已知 :如图 1,在矩形ＡＢＣＤ中有两个一条边长为 1的平行四边形 ,则它们的公共部分 (即阴影部分 )的面积 (　　 ) .(Ａ)大于 1(Ｂ)等于 1(Ｃ)小于 1(Ｄ)小于或等于 13 如图 2 ,在等腰三角形△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =10 0°,∠Ｃ的平分线交ＡＢ于点Ｄ ,则ＢＣ等于 (　　 ) .(Ａ)ＡＤ +ＣＤ (Ｂ)ＡＣ +ＡＤ (Ｃ)ＣＤ +…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试(新课程卷)数学(文、理科)试题

参考公式 :如果事件Ａ、Ｂ互斥 ,那么Ｐ(Ａ+Ｂ) =Ｐ(Ａ) +Ｐ(Ｂ) .如果事件Ａ、Ｂ相互独立 ,那么Ｐ(Ａ·Ｂ) =Ｐ(Ａ)·Ｐ(Ｂ) .如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ ,那么ｎ次独立重复试验中恰好发生ｋ次的概率Ｐｎ(ｋ) =ＣｎｋＰｋ( 1 -Ｐ) ｎ-ｋ.球的表面积公式Ｓ =4πＲ2 .其中Ｒ表示球的半径 .球的体积公式Ｖ =43 πＲ3.其中Ｒ表示球的半径 .一、选择题 (本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共60分 )1 (理 ) 1 -3ｉ( 3 +ｉ) 2 =(　　 )　 (Ａ) 14 +34ｉ　　　 (Ｂ) -14 -34ｉ　 (Ｃ) 12 +32 ｉ (Ｄ) -12 -32 ｉ　 (文 )不等式 4ｘ -ｘ2 <…     

复数加减法几何意义新说

1 .又∵ＡＣ∥ｘ轴且∠ＢＯｘ =30°,ＡＯ =ＡＢ ,∴∠ｘＯＡ =6 0° ,则ｚ =ｃｏｓ6 0°+ｉｓｉｎ6 0°=12 +32 ｉ.　　　　　图 3例 3　若ａｒｇ(ｚ +1) =3π4 ,求 ｜ｚ +3｜+｜ｚ- 3ｉ｜的最小值 .分析　因ａｒｇ(ｚ +1) =3π4 ,由平移观点知ｚ对应的点落在以Ｃ(- 1,0 )为端点 ,且倾角为3π4 的射线ＣＤ上 ,如图 3.而｜ｚ +3｜+｜ｚ - 3ｉ｜的最小值就是在ＣＤ上找一点Ｚ ,使其到定点Ａ(- 3,0 )、Ｂ(0 ,3)的距离之和最小 .由图易见 ,这个最小值即为｜ＡＢ｜=32 ,此时Ｚ为ＣＤ与ＡＢ的交点对应的复数 .由以上例析可见 ,这一观点更能充分显…     

2003年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)(北京卷)

一、选择题 (本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 .若集合Ｍ ={ ｙ｜ｙ=2 -ｘ} ,Ｐ ={ ｙ｜ｙ=ｘ-1 } ,则Ｍ ∩Ｐ =(　　 )　 (Ａ) { ｙ｜ｙ>1 }　 (Ｂ) { ｙ｜ｙ≥ 1 }　 (Ｃ) { ｙ｜ｙ>0 }　 (Ｄ) { ｙ｜ｙ≥ 0 }2 .若 ｆ(ｘ) =ｘ-1ｘ ,则方程 ｆ(4ｘ) =ｘ的根是 (　　 )　 (Ａ) 12 　 (Ｂ) -12 　 (Ｃ) 2　 (Ｄ) -23 .设复数ｚ1 =-1 +ｉ,ｚ2 =12 + 32 ｉ,则ａｒｇｚ1 ｚ2 =(　　 )　 (Ａ) 1 31 2 π　 (Ｂ) 71 2 π　 (Ｃ) 51 2 π　 (Ｄ) -51 2 π4.函数 ｆ(ｘ) =11 -ｘ(1 -…