一道国家集训队选拔考试题的简证

题目　在锐角△ABC中 ,AD是∠BAC的内角平分线 ,点D在边BC上 ,过点D分别作DE⊥AC、DF⊥AB ,垂足分别为E、F ,连结BE、CF ,它们相交于点H ,△AFH的外接圆交BE于点G .求证 :以线段BG、GE、BF组成的三角形是直角三角形 .( 2 0 0 3,IMO中国国家集训队选拔考试 )图 1证明 :如图1 ,作DG′⊥BE于G′ ,AM⊥BC于M ,连结FG′.记∠ABC =α ,∠ACB =β,则BM =AMcotα ,CM =AMcotβ.由已知得BF =DFcotα,CE =DEcotβ ,DE =DF ,AF =AE .故 BFCE=tanβtanα=BMCM.因此 ,BF·CM·AECE·BM·AF=1 .在△ABC中 ,由…     

从一个假命题说起

1 一个假命题命题:任一个三角形是等腰三角形.已知:△ABC(如图1).求证:△ABC 为等腰三角形.证明:如图2,作 AB 的中垂线 MD 交∠ACB 的平分线于 D 点,分别作 DE⊥BC,垂足为 E,DF⊥AC,垂足为 F,连结 BD、AD,则易知:DE=DF,BD=AD.     

由三角形的角平分线想到的……

三角形的角平分线在初中几何中占有重要的地位,其应用也十分广泛,为使同学们更好地掌握它,现作如下归纳. 一、角平分线+平行→等腰三角形例1 如图1,△ABC中,BE平分∠ABC,DE∥BC,求证:BD=DE 深化探究:如图2,若△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于O点,过O作DE∥BC.     

巧用角平分线性质证明

角平分线是指把一个角分成两个相等的角的射线.关于角平分线具有如下重要的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.对于一些含角平分线条件的证明问题,巧用这个性质,能简化解题过程,达到事半功倍的效果例1如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足为E、F,求证:EB=FC.证明:∵AD平分∠BAC,又DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF.在△BDE和△CDF中,∵∠DEB=90°,∠DFC=90°,DE=DF,BD=CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC例2如图,△ABC中,O为∠A、∠B平分线的交点,OD⊥BC于D,OE⊥…     

对一道习题解法的再思考

<正>一、问题呈现题目如图1所示,在△ABC中,AB=6,AC=3,∠BAC=120°,∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长.二、解法新探及思考解法1如图1,过点D作DE∥AB交AC于点E,则∠EDA=∠BAD.∵AD平分∠BAC,∠BAC=120°,∴∠EAD=∠BAD=∠EDA=60°,故△ADE是正三角形,DE=EA=AD.由DE∥AB,     

从课本到中考到竞赛

1．课本题 如图1,△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过O作DE//BC,分别交AB、AC于点D、E．求证：DE=BD＋CE．     

圆内比例线段的证明方法

<正> 一、构造相似三角形法例1 如图1,在△ABC中,∠A的平分线交BC于D,交外接圆于E,∠B的平分线交AD于F,证明:EF是AE和DF的比例中项.证明     

例谈二倍角问题的证法

在证明题中,常会出现二倍角问题,此类问题往往有一定难度,需要认真分析已知与结论之间的联系,添加适当的辅助线,从而化难为易.现举例说明. 一、作倍角的平分线例1 已知:如图1,在△ABC中,∠B=2∠A,AB=2BC.求证:△ABC是直角三角形. 证明:作∠ABC的平分线BD交AC于点D,取AB的中点E,连结DE. ∵∠ABC=2∠A,∠ABC=2∠1=2∠2,∴∠A=∠1=∠2.即△ABD为等腰三角形.∵E为AB边中点,∴DE⊥AB.∵BE=12AB=BC,∠1=∠2,BD=BD,∴△BDE≌△BDC.∴∠BCD=∠BED=90°.即△ABC为直角三角形.二、构造倍角的等角…     

一个问题的推广

1问题的提出问题1526:△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.D、E、F分别是AB、AC、BC上的点.若△DEF为等腰直角三角形,且∠EDF=90°,求△DEF面积的最小值.《数学通报》2005年第1期给出了该问题的解答,本文对该问题进行推广,得到以下定理△ABC中,∠C=θ,BC=a,AC=b,AB=c.D是线段AB上的点,E、F分别是直线AC、BC上的点.若△DEF满足条件:DE∶DF=k(k为正常数),∠EDF=180°-θ,则△DEF面积的最小值是k8abcR(a kb)2sinθ(其中R是△ABC外接圆的半径).(1)当△ABC为锐角三角形时,如图,设∠FDB=α,则∠DFB=180°-(α B).由于…     

《三角形》自测题

一、填空题:1.△ABC中,若∠A=120°,∠B=∠C,则∠C=°.2.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则可判断△ABC为三角形.3.如图1,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线相交于O,∠BOC=116°,则∠A的度数=.图1图24.一个三角形的两边分别是2和7,而第三边的长为奇数,则第三边的长是.5.如图2,沿AM折叠,使D点落在BC上的N点处,如果AD=7cm,DM=5cm,∠DAM=30°,则AN=cm,NM=cm,∠NAM=.6.为了使一扇旧木门不变形,木工师傅在木门的背面加钉了一根木条,这样做的道理是.7.AD是△ABC的中线.△ABD的周长比△ADC的周长大4,则AB与AC的差为.…     

证明(二)单元测试卷

一、填空题(每小题5分,共40分)1.如图1,AO=BO,AE=BD,P是AD和BE的交点,该图中有对全等三角形.图1图22.如图2,∠A=∠C,AF=CE,若要证明△ABE≌△CDF,还需补充一个条件,(1)若以“SAS”为依据,则补充的条件是.(2)若以“ASA”为依据,则补充的条件是.3.若等腰三角形的一个内角为150°,腰长为a,则腰上的高等于.4.在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,AC的垂直平分线交AB于D,则图3∠BCD=.5.如图3,△ABC中,AB=16,AC的垂直平分线MN交BC于N,若△NBC的周长为26,则BC=.6.如图4,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=3,下列各图所示的三角形…     

判定三角形全等的常见类型

<正>一、平移全等模型例1如图1,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE,AC//DF,BC//EF.求证：△ABC≌△DEF.解析：根据已知条件,利用“ASA”即可证出△ABC≌△DEF.∵AC//DF,∴∠CAB=∠FDE.∵BC//EF,∴∠CBA=∠FED.∵∠CAB=∠FDE,AB=DE,∠CBA=∠FED,∴△ABC≌△DEF(ASA).反思：可将图1看作是△ABC沿AB方向平移AD的长度得到的全等三角形模型.常见的平移全等三角形模型的呈现形式有图1、图2两种.     

三角形内角平分线定理在几何题中的应用

1.证明线段成比例 例1 在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥C,∠ABC的平分线交AD于F,交AC于E,求证:DF:FA=AE:EC.(初中《几何》第二册总复习题18题)。 思路:如图1,由本题结论特点,可寻找第三个比:分别在△ABD和△ABC中应用三角形内角平分线定理,得DF/FA=BD/AB和AE/EC=AB/BC.如果BD/AB与AB/BC相等,问题即解决。由直角三角形比例中项定理可得AB~2=BD×BC,即BD/AB=AB/BC.     

一道IMO预选题的探究

文[1]：在△ABC中,DE过A点且与BC平行,∠C、∠B的平分线分别交AB、AC于F、G;交DE分别于D、E,若DF=EG,求证：AB=AC．     

构造基本图形灵活运用性质

如图1,若OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,则PD=PE;反之,若PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,且PD=PE,则点P在∠AOB的平分线上,即OC平分∠AOB.这就是角平分线的性质定理及其逆定理,图1是定理的基本图形,很多几何题都含有该图的“影子”,因而可以简捷地利用基本图形来解题.例1已知:如图2,BD平分∠ABC,AD=CD,求证:△ABD≌△CBD.分析:直接证明这两个三角形全等缺少条件,由BD平分∠ABC联想到角平分线性质定理的基本图形,过D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F,则DE=DF:由“HL”易证Rt△DFC≌Rt△…     

例谈几何变式训练

重视双基教学是我国数学教学的优良传统,通过变式训练发展双基,提高学生的能力是数学教学中行之有效的方法.掌握一些编写变式训练题的常用方法,对于提高课堂教学效益,培养学生的解题能力是非常必要的.1变式训练的方法图1例题已知:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE=CF,D是AB的中点.求证:(1)DE=DF;(2)DE⊥DF.1.1变为逆命题将原命题的题设和结论(或部分题设和结论)置换,研究原命题的逆命题或偏逆命题是研究数学命题的常用方法.变式1已知:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB的中点,DE⊥DF.求证:(1)DE=DF;(2)AE=CF.变式…     

直角三角形的一个性质

经过研究,笔者现已得到:定理如果直角三角形的一个锐角平分线长与对边的比为2∶3,那么这个锐角为60°.已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,且BD∶AC=2∶3,求证:∠ABC=60°.证明:设∠DBC=θ,BD=2a,由BD∶AC=2∶3,知AC=3a.在Rt△DBC中,∠C=90°,所以CD=2asinθ,BC=2acosθ,所以AD=(3-2sinθ)a.过点D作DE⊥AB于点E.     

一道中考题的解法、不足和改进

如图1,已知△ABC 中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的直角三角板 DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为 DF),将直角三角板 DEF 绕 D 点按     

角平分线与全等三角形的构造

与角平分线有关的证明问题在几何学习中屡见不鲜。由于角平分线具备“角相等”和“公共边”这两个自身条件,因此,解决这类问题,常可考虑沿角平分线两侧构造全等三角形的方法。例1如图1,在△ABC中,∠BAC的外角平分线上取一点D,连结BD、CD。求证:BD+CD>AB+AC·证明:在BA延长线上截取AE=AC,连结DE.图1∵∠1=∠2,AD公用∴△ADC≌△ADE∵ED=CD在△EBD中,ED+BD>BE,∴BD+CD>AB+AC·例2如图2,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,AC=AB+BD·求证:∠ABC=2∠C·证明:延长AB到E,使AE=AC,连结DE·图2∵AE=AC,∠1=∠2,AD=A…     

鉴赏中考试卷中的改编题

素材如图1,D是△ABC中AB边上的中点,△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形,连结DE、DF．求证：DE=DF．DE⊥DF．