导数公式(|x|)'=x/|x|=|x|/x的应用

导数公式(| x |)'-x/|x|=|x|/x. 证明:(|x|)'=(√x2)'=2x/2√x2=x/|x|=|x|x. 注:基本的导数公式中没有|x|的导数公式,而用复合函数的求导法则可以求出其导数,涉及(|x|)'的问题,有时用公式(|x|)'=x/|x|=|x|/x(x≠0)可以方便简洁的解决.     

函数构造思想解题的几种策略

构造函数解题需要较强的创新意识,是高考改革的方向,本文愿就此抛砖引玉．一、构造一次函数y=kx+b(k≠0) 例1 设a,b,c∈(-1,1),求证:ab+bc+ca>-1. 解析作辅助函数f(x)=(b+c)x+bc+1．因为f(1)=(b+1)(c+1)>0,f(-1)=(1-b)(1-c)>0,所以在(-1,1)上恒有f(x)>0．又-10,即原不等式成立．例2 设不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m恒成立,求x     

善用八种函数的单调性证明不等式

<正>本文结合实例介绍利用八种函数的单调性来证明不等式,供大家参考.一、善用一次函数的单调性证明不等式例1已知实数x,y,z满足|x|<1,|y|<1,|z|<1,求证:xyz+2>x+y+z.证明待证不等式x(yz-1)+2-yz>0.选定x为主元,设f(x)=(yz-1)x+2-y-z.因为|y|<1,|z|<1,所以yz-1<0,函数f(x)在(-1,1)内是减函数;又f(1)=yz-1+2-y-z=(y-1)(z-1)>0,于     

也谈一类无理函数值域的求法

文[1]中介绍了求函数f(x)=(1/2)(ax b)-(1/2)(cx d)的三种方法,本文将进一步说明,对于此类无理函数,有两种求其值域的通法。 1.利用函数的单调性求函数f(x)=(1/2)(ax b) (1/2)(cx d)的值域。 此法的依据是下面定理: 定理 函数f(x)=(1/2)(ax b)±(1/2)(cx d)(a,b,c,d均为常数,且ac≠0),记g(x)=a*((1/2)(cx d))±c*((1/2)(ax b)),A={x|g(x)≥0},B={x|g(x)≤0},则当时,f(x)在A上是增函数,当时,f(x)在B上是减函数。     

数学分析中不等式证明的常用方法浅探

不等式的证明是数学分析中经常遇到而且比较困难的问题,本文将对数学分析中不等式证明的常用方法作简单的归纳与总结。一、利用函数单调性证明不等式这是最常用最基本的方法。由文[1]定理7.1,若函数.f在(a,b)可导,则.f在(a,b)内递增(递减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0),x∈(a,b)。特别地,设函数f在(a,b)内可异,若f'(x)>0(f'(x)相似文献   

偶函数一个性质的妙用

<正> 偶函数有如下性质: 若f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|):f(-|x |). 例已知偶函数Y=f(x)在[0,+∞)上是增函数,试解关于x的不等式f((?)+4)>f(kx+2),其中k>0.     

从一道竞赛题谈起

题(匈牙利数学奥林匹克赛试题)设a、b、c为实数,如果|x|≤1时,有不等式|ax~2 bx c|≤1,试证当|x|≤1时,恒有|2ax b|≤4.证明 设f(x)=ax~2 bx c,a≠0,当|x|≤1时,f(x)的最大值、最小值只可能为f(1)、f(-1)或     

深挖课本例题的潜在功能一例

高中课本《代数》下册(必修本)第12页例7:已知 a,b,m∈R~ ,并且 a(a/b).1.探究其它证法本例在课本中是作为分析法证明不等式给出的,用比较法也容易证明.若注意观察不等式两边的结构特点,又可获得构造函数,利用函数单词性证明的新思路.证明:构造函数 f(x)=(a x)/(b x),则 f(x)=1 (b a)/(b x),∵a0,故函数 f(x)在区间(-b, ∞)上是增函数.由 m>0,得 f(m)>f(O),即(a m)/(b m)>(a/b).2.发现正分数的两条性质     

构造函数求解不等式综合题的七类方法

<正>一、自然构造法例1(2010年辽宁高考题)已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设a≤-2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.解(1)(略).(2)不妨假设x1≥x2,而a≤-2,由(1)知f(x)在(0,+∞)内单调减少,从而对任意     

解题中的添绝对值变形

解答含有绝对值的问题时 ,我们习惯上考虑化去绝对值的方法。这样常常要分类讨论 ,过程较为繁琐。事实上 ,对于某些问题 ,利用添绝对值的变形 ,可避免分类讨论情况的发生。例 1　已知 ab<0 ,求 a2 |b|- b2 |a|+ab(|a|- |b|)的值。解 :由 ab<0 ,a2 >0 ,b2 >0 ,得 a2 =|a2 |,b2 =|b2 |,ab=- |ab|。原式 =|a2 |· |b|- |b2 |· |a|+(- |ab|) (|a|- |b|) =|a2 b|- |ab2 |- |a2 b|+|ab2 |=0。例 2　若 a>0 ,b<0 ,则方程 |x- a|+|x- b|=a- b的解集是。解 :注意到 a- b=a+(- b) >0 ,∴ |x- a|+|x- b|=|a- b|,∴ |a-x |+|x- b|=|(a- x) +(x- b) |,∴…     

Robin问题的一个存在唯一性定理

对于Robin问题{x^n=f(t,x,x^1); a0x(a)－a1x^1(a)=A,b0x(b)＋b1x^1(b)=B在主要假设f,fx,fx^1连续，fx≥－β(t),－a(t)≤fx^1≤a(t)(1＋|x^1|)之下，给出一个存在唯一解的充分条件。     

解数学最值问题四法

一、寻找定值.以静制动例1 已知f(x)=x2+ax+b,设|x|≤1时,|f(x)|的最大值是M,求证M≥1/2.证明f(x-1)=(x-1)2+a(x-1)+b, (1)     

加权Bergman空间上的等价范数

对可允许的权函数ω：[0,1）→（0，∞），加权Bergman空间L^Pα↓，ω上的范数定义作‖f‖P，ω＝｛∫D|f(z)|^Pω(|z|)dm(z)｝^1/p。我们证明，对0＜p＜∞和f∈H（D），‖f‖p,ω-|f(0)| ｛|∫′（z）^pΨ(|z|)^pω(|z|)dm(z)｝^1/p。由此我们给出函数算子Tg:f→∫z↑0↓f(t)g′(t)dt在L^Pα↓，ω上有界的一个充分条件。     

求函数最值的常规方法与技巧

例.已知0相似文献   

数学奥林匹克高中训练题(10)

一、选择题(满分42分,每小题7分)1.α,β为锐角,且α β>π/2,x∈R,f(x)=(cosα/sinβ)~(|x|) (cosβ/sinα)~(|x|),则( )。(A)f(x)在定义域内是增函数(B)f(x)在定义域内是减函数(C)f(x)在[0, ∞)内为增函数,在     

判断两个增函数(减函数)图像的公共点个数时要慎重

<正>题1(文献[1]第21页第7题)已知0(|x|)=|log_ax|的实根个数是().A.2 B.3C.4D.与a的值有关文献[1]第49页给出的参考答案是:A.分别画出当0(|x|)与y=|log_ax|的图象如图1所示,由数形结合可知,它们的交点个数为2,所以方程a(|x|)与y=|log_ax|的图象如图1所示,由数形结合可知,它们的交点个数为2,所以方程a^(|x|)=|log_ax|的实根个数也是2.     

导数江湖行,证题有神功

在新课标中,应用导数研究函数的单调性进而证明不等式是近些年来高考中出现的新热点．导数为证明提供了“金钥匙”,解题如行云流水,简捷明快．现举几例,予以说明．例1若x＞-1,证明：In(x+1)≤x．证明：令f(x)=In(x+1)-x,则f(x)=1/(x+1)-1．令f′(x)=0,解得x=0．当-1＜x＜0时,f(x)＞0,所以f(x)在区间(-1,0)上单调递增．当x＞0时,f(x)＜0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减．所以,当x＞-1时,f(x)=In(x+1)-x≤f(0)=0,即In(x+1)≤x．方法步骤：(1)移项,使不等式一边为0,构造辅助函数；     

2011年江苏高考数学卷第19题第二小问的别解及思考

题目:已知a,b是实数,函数f(x)=x2+ax,g(x)=x2+bx,f’(x)和g’(x)是f(x),g’(x)的导函数,若f’(x)g’(x)≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致(1)设a>0,若函数f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求实数b的取值范围;(2)设a<0,若函数f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值.     

数学竞赛问题（12）

,459.设a是一个给定的实数,函数f(x)(x≠0)满足方程2f(x) f(1/x)=3x,(x≠0),请解不等式f(x)≥a.460.问:是否存在这样的一个函数f:R→R,使得对于每个x≠kπ π/2(k为任意的整数),都有f(sinx)=tanx?请说明理由.461.求证:若a,b,c是三角形的三边长,则有不等式2ab(b c?2a)(b c?a) bc(c a?2b)?(c a22?b) ca(a b?2c)(a b?c)≥0.注本题于2005年2月19日为《美国数学月刊(Monthly)》“问题解答栏”而提出并解答.462.设a是实数,2A={x|x∈R,使得x 2ax 3≥0},2B={xx∈R,使得x?ax?4≤0},记S={aa∈R,使得闭区间[?2,2]?AUB},求S.463.求f(x)=(1 3?x)(1 …     

导数的巧用

导数进入中学数学 ,为数学解题提供了一种有力的工具 .它不仅在研究单调性、最值等方面具有显著的简化功能 ,而且在不等式的证明、数列求和、等式证明、根的分布等方面也有灵活的应用 .1　巧用导数证明不等式例 1　已知b >a >0 ,求证 :ln ba >2 (b -a)a b .证明　设f(x) =ln x