利用分式方程的增根解题

我们知道,解分式方程需要验根,这是因为在解分式方程时,有可能产生使分式方程中的分母为零的未知数的值·反过来,已知分式方程的增根的特性,可解决一些与增根有关的问题·下面举例说明·例1当k为何值时,方程xx--31=x-k3会出现增根?分析:原方程出现增根,只能是x=3,通过x=3可求出k的值·解:原分式方程去分母,得x-1=k·①若原方程会产生增根,则有增根为x=3,代入①,得k=2·所以当k=2时,原方程会产生增根·评析:分式方程的增根是在去分母时产生的,增根虽然不适合原方程,但它既是去分母所得整式方程的根,又是使原方程各分母的最简公分母为零的未知…     

含参数的分式方程根的讨论

解分式方程产生增根的主要原因是方程两边同乘以各分母的最简公分母,从而在转化为整式方程的过程中,未知数的取值范围扩大了.因此,解分式方程过程中产生的增根,虽不是原方程的根,但一定是所得整式方程的根.我们可据此讨论含参数的分式方程根的问题. 例1 若关于x的方程3/x ax/x 1=2 3/x 1有增根,求a的值. 简解:原方程去分母,得3(x 1) ax2=2x(x 1) 3x ①若原方程有增根,则这个增根应当使原方程中分式的分母为零,并     

分式方程的增根及其应用

分式方程通常用去分母法转化为整式方程来解。解由分式方程转化为整式方程时可能会产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根,下面谈谈分式方程的增根及其应用,供同学们参考。一、增根产生的原因增根是怎么产生的呢?简单地说,就是在将分式方程转化为整式方程时,由于方程两边都需乘以最简公分母,这样往往会扩大未知数的取值范围,从而可能产生增根,如在方程1x-2=1-x2-x-3中,未知数x的取值范围是x≠2。解此方程时,需在其两边都乘以(x-2)将它化为整式方程1=x-1-3(x-2),解此方程,得x=2。因x=2不在原方程未知数的取值范围内,故它是原方程的增…     

分式方程验根三法

分式方程转化为整式方程时,未知数的取值范围发生变化,有可能产生增根.因此,解分式方程必须验根,就八年级而言,分式方程有哪些验根方法呢?一、代入检验法.将解得的根代入原方程的左、右两边,若左、右相等,则此根为原方程根,否则,此根为原方程的增根.例1.解方程xx-5=xx--62解:方程两边同乘以(x-5)(x-6)得x(x-6)=(x-2)(x-5)解得:x=10检验:当x=10时,左边=xx-5=2右边=xx--26=2,左边=右边∴x=10是原方程的根.评注:此验根方法不仅能检验出原方程的增根,而且可以检验出所求得根是否正确.二、增根比较法.所谓增根即使分式的分母为零的数.因此,令方程…     

增根非无用 巧用能解题

<正>同学们在处理某些含有字母参数的分式方程或无理方程问题时,常会因为未能正确利用增根,而一筹莫展.实际上,若能巧妙地利用方程的增根,就会迅速找到解题思路,简捷明快地解决问题,下面举例说明.例1当m为何值时,关于x的方程x6-1-x+mx(x-1)+3x=0有解     

分式方程的增根与无解

显然,原方程(1)中未知数x的取值范围是x≠0、x≠2,而去分母后化为方程(2)时,未知数x的取值范围扩大为全体实数,这样,从方程(2)解出的未知数的值就有可能不是原方程(1)的解,也就是说,有可能出现增根.因此需要进行验根.     

分式方程验根五法

将分式方程转化为整式方程,未知数的取值范围发生了变化,有可能产生增根.因此,解分式方程必须验根.下面介绍分式方程验根的五种方法.一、直接验根法将解得的根代入原方程,若左边等于右边,则此根为原方程的根,否则为原方程的增根.例1解方程x4--3x-1=x-14.解:方程两边同乘以(x-4)     

关于分式方程“解”的讨论

众所周知 ,解分式方程最常用的方法是去分母法 ,这样 ,未知数的允许值范围可能扩大 ,解出的未知数的值必须检验 ,以防增根出现 .因此在探讨分式方程的解时 ,应十分注意增根 .下面举例说明 :一、分式方程“有解”情形例 1　 k为何值时 ,分式方程 kx2 + 5x + 4-2x + 4+ 1x + 1=0有负根 .解 :去分母得 :k - 2 ( x + 1) + ( x + 4) =0解得 x =k + 2 .由题意知 :x =k + 2 <0且 x =k + 2≠ - 1且 x =k + 2≠ - 4,故当 k <- 2且 k≠- 3且 k≠ - 6时 ,原方程有负根 .例 2　 k为何值时 ,分式方程 k( k + 2 )2 x - k( k - 1)2 ( x - 1)= 1有两实根 .解…     

巧用分式方程的增根解题

我们知道，在解分式方程时常会产生增根，分式方程的增根，既是变形后所得整式方程的根，又是使原分式方程各分式的最简公分母为零的未知数的值．下面举例说明分式方程的增根在解题中的应用．例1若关于x的方程有增根，则解原方程的增根应是方程X－4一0的根，即增根为X一4．将原方程去分母整理得X‘－7X＋4一2。一0．故增根X一4也应满足这个方程，即二车有增根X—－1．求k值．H“－1”””””解将原方程去分母，整理得一ZX＋6一天一O．（1）X—－1是原方程的增根，X—－1是方程（1）的根．（2）X（1）W6k＝0．k——8．。，。、，、。…     

对一道试题错解的剖析

题目关于x的方程、公二几一入孚再一1,有一个增根为4,求k的值. 据统计,该题有83%的学生解法错误,现将几种典型的错误力目以音J析. 错解1把二一4代人原方程,得 吃又4一4一、/诬互落一1. 解得k一一3. 本解法错误在于对增根概念理解不准确.既然是增根,代到原方程中去,等式不应该成立.实际上解法中把4当作原方程的根,而没有当作增根来处理.错解2将原方程化为整式方程,得 4(x十k)一(二一5一k)2.把x一4代人整式方程(*),得4(4+k)=(4一5一k)2. 解戈匕,得kZ一一3,kZ一5. 答:k的值为一3或5. 本解法已经考虑到增根的定义(即适合于由原方程所得到的整…     

错在哪里

1。湖北十堰市第十三中学数学组来稿 题:实数a为何值时,方程(x一2),”a(x一1)。有实数解,并求出其解。 解法一:原方程化为(x一2)艺“a① 山△少O,布计a夕引讨,原方程几fJ’实数解。其解是二二2土、a。 有错!因当“二州J’,出现了增根x二l。解法二:原方程有实数解的充要条件是:△>0且a寺1。即当a》0日.a等1时,原方程有实数解。其解是x二2士v一厅。 有错!因当a=1时,原方程有解x=3。 正确解法:由△>O得a》0,由x专1得a今1。但当a=1时,原方程有解“=3。所以原方程有实数解的条件是a》O。其解为: 当a>0且a午1时,x二2士了a, 当a=1时,况二3。 2.江…     

无理方程常见解法例谈

初中数学中的无理方程解法常见有以下几种: 一、直接平方法例1 (2001年上海市中考题)解方程:x+2~(1/2)=-x析解:将方程两边直接平方得x+2=x2, 解得x1=一1,x2=2(增根,舍去) 所以,原方程根为.x=-1.     

三角方程(续)

§8.增根与遗根的问题 1.我们应该先复习一下代数里学过的方程变形的四条定理: (1)如F(x)是整式,则方程f_1(x)=f_2(x)与方程f_1(x) F(x)=f_2(x) F(x)是同解方程。 (2)如m是不等于0的数,则方程f_1(x)=f_x(x)与方程m·f_1(x)=m·f_2(x)是同解方程。 (3)如F(x)是整式,则方程F(x)·f_1(x)=F(x)·f_2(x)是方程f_1(x)=f_2(x)的结果。 (4)方程f_1~2(x)=f_2~2(x)是方程f_1(x)=f_2(x)的结果。 2.在方程变形时用方程与方程的结果互相替代所产生的增根或遗根。 (1)方程两边同乘以一个含有未知数的整式时,可能产生增根,因为这里是把一个方程的结果去替代原方程。     

错在哪里

题目　当a取何值时,关于x的方程:xx-2+x-2x+2x+ax(x-2)=0只有一个实数解?错解　去分母,整理得2x2-2x+a+4=0.因为原方程只有一个实数解,所以Δ=4-8(a+4)=-8a-28=0,∴a=-72.剖析　可化为一元二次方程的分式方程只有一个实数解需要考虑两种情况:一是所化成的一元二次方程有两个相等的实数根.二是原方程中未知数有两个不同的取值,其中一个是增根,另一个是原方程的实数解,情况二往往被同学们所忽视.正确解法　去分母,整理得　2x2-2x+a+4=0.Δ=0时,解得a=-72.此时方程的根是x=12;若x=0时,代入2x2-2x+a+4=0,解得a=-4.此时,x1=0,x2=1,x1=0为增根,原…     

分式方程常见错解剖析

一、忽略了对根的检验例1解方程:6/(x~2-1)-3/(x-1)=2/(x 1).错解:方程的两边同乘以最简公分母(x 1)(x-1),得6-3(x 1)=2(x- 1).解这个方程,得x=1.所以原方程的根是x=1.剖析:分式方程是通过转化为整式方程来求解的,解题过程中有可能产生增根,所以求出的根必须检验.正解:方程的两边同乘以最简公分母(x 1)(x-1),得6-3(x 1)=2(x- 1).解这个方程,得x=1.     

检验增根遗根偶得

一九七七年中国科技大学招生有这样一道试题,解方程(5+x)~(1/3)+(5-x)~(1/3)=5~(1/3)学生不难求出方程的二根是:x=±(10)/9 (21)~(1/2)。但把这两个根代入原方程验算,却要花很大的气力。这里就提出了这样一个问题,解这类根式方程时,把方程两边立方会不会产生增根?如果有增根,又是怎样产生的?     

分式方程“陷阱”题例析

一六解得/一‘’而‘- 一1显然不是原分式方程的增 根,故它不合题意,因此不存在 k,使原方程产生增根. 例2当k为何值时,关于x 一一~xx一k .Zx 阴力性万二一只一—十一下一一下一一u 工—乙盆工一—‘X 夔毅塔少 分式方程 蒸瓤黝瓤髓 有惟一解,并求出这个解 错解:去分母,转化为整式方程得:(4 k)x一2k ,,.、、.,,_,一,~一Zk 所以当k护一4时,有惟一解二一并下 ,/’叮’一’、z‘”刁’曰’阵’.汗一4 k 简析:应当排除增根x一2和x一O的情况,即 Zk_一Zk ,产六笋2且二共一笋O,此时k括O 4 k‘-一4 k’-·/。一~一 因此当k尝。且k并一4时,方程有…     

分式方程惟一解错解剖析

对于分式方程有惟一解问题,由于忽略有增根的多种情况而出现错误.求解时,应分情况讨论进行,现举例说明如下. 问题a为何值时,关于x的方程x/（x-2）＋x＋1/（x-3）＋2x＋a/（（x-2）（x-3））=0有惟一解,并求出方程的惟一解.     

一道题引发的争议

<正>笔者所在学校九年级的一次摸底考试中,有一道数学题引发争议,笔者谈谈自己的认识,供大家参考.题目当m为何值时,方程2/x-2+mx/x²-4=0会产生增根?对于上述问题,有些学生是这样解答的:分式方程两边同时乘以x2-4=0会产生增根?对于上述问题,有些学生是这样解答的:分式方程两边同时乘以x²-4,得2(x+2)+mx=0,整理得(2+m)x=-4.(1)由于最简公分母为(x+2)(x-2),故原     

从一道例题的简解谈起

初中《代数》第三册P.115例5是:已知方程x~2-2x-1=0,利用根与系数关系求一个一元二次方程,使它的根是原方程的各根的立方。其实,本题若不利用根与系数的关系,也可获解,请看: 解:设y为新方程任一根,则对原方程相应的根x有:y=x~3。由原方程得:X~2=2x+1,所以x~3=2x~2+x=2(2x-1)+x=5x+2。因此,y=5x+2,即x=(y-2)/5,将它代入原方程并化简即得所求方程:y~2-14y-1=0。