利用不等式求极值二例

利用不等式求极值,是解决极值问题的一个重要的方法。其根据就是:若干个非负实数的算术平均值不小于其几何平均值,仅在这些非负实数都相等时,算术平均值才等于几何平均值。即:若x_1,x_2,x_3,…,x_n非负,n>1,则(仅在x_1=x_2=x_3…=x_n时,等号成立。) 因此,在这若干个非负实数相等时,如果这若干个非负实数之积一定,则和最小;和一定,则积最大。现试举二例以说明此结论之应用。     

巧求方程与妙解方程

代数中有一类根据方程求其组合解以及由组合解求其方程的问题，若根据常规思路很难进行求解，但是只要我们找准问题的特征，正确地应用数学思想，就可以事半功倍．     

用递推数列解方程一例

有些类型的方程用通常的方法往往不易解得,例如解下列方程: (1)E(x)=2;(2)E(x)=4,其中E(x)=x~2甚至是否有解也难确定,但是如果能利用递推数列则不难求解。本文旨在通过解方程(1)来介绍这一方法: 为解方程(1),我们可令一个递推数列: x_(n+1)=(2~(1/2))~x_n,x_0=1。不难看出,{x_(n+1)}是一个单调递增数列,这是因为当x_n>1_(n-1)时,有 x_(n+1)/x_n=(2~(1/2))~x_n/(2(1/2))~x_(n-1)=(2~(1/2))~(x_x-x_(x-1))>1。而用数学归纳法,我们还可以证得{x_(2+1)}是一个有界数列:     

物理分析法求极值归类例析

所谓物理分析法，主要是分析发生的物理过程，根据有关的物理概念和物理规律进行定性的逻辑推理，然后得出物理量具有极值的条件，根据条件可列方程求解结果． 一、当ａ＝０时，速度达最大值 例１在互相垂直的勾强磁场和匀强电场中，水平放置一足够长的绝缘直杆，杆上套着一个带电小环如图１所示，已知磁感应强度Ｂ＝２特，方向垂直纸面向外；电场强度Ｅ＝５牛／库，方向水平向右；小环质量 ｍ＝ １×１０－４千克，电量ｑ＝ ２ × １０－４库仑，小环与杆之间摩擦系数μ＝０．２，ｇ取１０米／秒２，求小环运动的最大速度． 解：小环从静止…     

用判别式求物理极值三例

例1定值电阻R与滑动变阻器R1串联,已知R1的最大阻值大于R1电源电压为U．当R1的阻值为多大时,它消耗的功率最大？最大功翠是多少？     

余弦定理用于求极值

取ΔABC的某一边b为底边,其对角B为顶角,其两腰a,c之和为P,两腰a,c之差的绝对值为2x,则有P>b>2x≥0。由余弦定理可推出不等式: b/(a c)=b/P≥sinB/2。(等号仅当a=c,即x=0时才取)。推证过程如下: b~2=a~2 c~2-2cacosB =(a c)~2-2ca(1 cosB) =P~2-2(P/2(?)x)(P/2±x)(1 cosB) =P~2-2(P~2/4-x~2)(1 cosB)     

初等方法求极值

用初等方法求函数的极值是中学数学教学常碰到的问题。所谓初等方法,就是不用微分学的方法,而是用初等代数的“直接方法”来研究函数并求其极值。一、归结到求二次三项式的极值。我们知道,p(x)=ax~2 bx c,在区间(-∞, ∞)内,若 a>0时,则当 x=-b/2a 时,有最     

求多项式极值的一种初等方法

本给出了求多项式极值的初等方法，方法利用了综合除法，简单而易于掌握。     

分析法求物理极值

所谓物理分析法,就是运用物理规律来分析发生的物理过程,找出出现极值的们置、状态或条件,从而实现极值求解的方法。例1 在地面上的同一地点分别以 v_1和 v_2的初     

巧做变换求极值

在中学数学中,公式ab≤((a+b)/2)~2(a,b∈R),a·b·c≤((a+b+c)/3)~3(a,b,c∈R~+),以及公式a+b≥2(ab)~(1/2)(a,b∈R~+)在求极值时有广泛的应用。运用这些公式,常常会碰到不等式的右(左)端不能成为常数的情形,这时需巧做变换,使右(左)端能成为常数且恰巧为极值,下面用例题说明: 例1.求函数y=1/2sin2xcosx,x∈(-π/2,π/2)的极值。     

无约束求极值的一种直接法

采用给定步长,依次沿各坐标轴方向进行步长式探索,寻找下降方向直到逼近函数极小点     

自对称求均值 互对称解方程

题1 设函数y=f（x）定义在实数集上,若满足f（x-1）=f（1-x）,则y=f（x）的图象关于（ ） （A）直线x=0对称 （B）直线x=1对称 （C）直线x=-1对称 （D）以上结论都正确     

例析如何利用圆求物理极值

物理极值问题牵涉到在一定条件下寻求最佳结果,通常难度较大,技巧性较强.利用几何法求极值问题时,其特点是简便、直观,能把物体运动中较为复杂的极值问题,转化为简单的几何问题去解.利用几何中的圆求物理极值是高中物理中最常见的方法,本文就此方法进行总结,以就教于读者.一、利用圆弧求极值【例1】(2004年广东卷)如图1所示,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小B=0.60T,磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行,在距ab的距离l=16cm处,有一个点状的α放射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的速度都是v=3.0…     

利用辅助角求三角函数极值例析

求三角函数的极值问题,历年高考题都有出现,而且有一定难度,借助辅助角来求解是常用的方法之一.如果三角函数经过恒等形变形后,得到形如asinx bcosx c(其中a、b、c是常数)的函数,则采用设辅助角,把函数变形为只含有正弦或余弦的三角式来解.     

用解析法求极值

有些极值问题如果用解析法处理,将会简捷易行,下边通过举例说明。 [例1] 已知变量x、y满足等式4y-3x=4,求函数f(x,y)=((x 3)~2 (y-5)~2)~(1/2) ((x-3)~2 (y-6)~2)~(1/2)的最小值。解:如图(一),设二点A(-3,5)、B(3,6),作出4y-3x=4的图象,则本题可化为动点P(x,y)在直线4y-3x=4上移动时,求|PA| |PB|的最小值。求出点A(-3,5)关于直线4y-3x=4的对称点A_1(3,-3),连结A_1B,易知|A_1B|就是|PA|     

用数学物理方法求极值

物理学中的极值问题通常有两种求法——数学方法和物理方法，下面通过一例作一说明。     

非负数与求极值

非负数具有下列重要性质：(1)非负数的最小值为零而无最大值：(2)有限个非负数的和或积或商(除数不为零)的结果仍为非负数；(3)当几个非负数的和为零时，则这几个非负数都为零．利用非负数的概念和性质解题，应用较广阔．本只就求极值举几例．     

求极值的转化策略

1 消元转化 例1.设x~2 xy y~2=9,求x~2 y~2的极值。 通常可消去一元,这里用极坐标:将ρcosθ=x,