正四面体外接球和内切球的半径的求法

题 已知正四面体ABCD的棱长为a,求其外接球的半径尺和内切球的半径r．     

例谈球接、切问题的处理策略

在有关球的诸多问题中,球的接、切问题将球与其他常见多面体有机结合起来,全方位、多视点、深层次地考查了立体几何的基本思想,由于这类问题一般不易画出其立体图形,且常与函数、方程、不等式等数学知识相联系,综合性强,涉及的知识面广,思维价值高,要求学生有较强的空间想象能力与分析解决问题的能力. 为此,笔者在近年来的教学实践中,更关注了有关球的接、切问题的处理方法. 球作为一种常见的几何体,其基本思想仍然是将三维空间立体图形化归为二维空间平面图形的问题,但球又有着许多不同于其他几何体的独特性质,因而在处理方法上应该有着它的独到之处,本文试图从以下几个方面来介绍球的接、切问题的常见的转化策略:     

内切和外接

1.正方体的内切球、棱切球、外接球与正方体的各个面、各条棱都相切的球,经过正方体各个顶点的球分别称为正方体的内切球、棱切球、外接球.     

关于几何体有内切球的一个命题

引例 已知圆台全面积与其内切球全面积之比为k(k>1)，求它们的体积之比．     

特殊四面体外接球和内切球半径的非常规解法——构造法

【例1】求棱长为a的正四面体外接球的半径．分析：如图1,以正四面体A1-BC1D的棱长为侧面对角线构造相应的正方体A1B1C1D3-ABCD,此时所求正四面体A1-BC1D外接球半径就是正方体A1B1C1D1-ABCD外接球半径．     

球的内接与球内切问题

在立体几何第二章中，关于球的内接与球内切问题，有些同学搞不太清楚，在此将有关的’规律作一小结，以帮助同学们学习．要解决这类问题，一方面要搞清楚球的内接与球内切的含意，另一方面要作出适当的轴截面，把空间问题转化为平面问题，下面就各种情况举例说明。     

有关正棱锥外接球与内切球同球心的一个条件

我们知道一般的凸多面体不一定存在着外接球和内切球,如某些斜平行六面体．但是一些特殊凸多面体却可以同时存在着同球心的外接球与内切球,如正四面体、正方体等5种正多面体．除此外,其它某些特殊的凸多面体是否有同样的结论呢？本文要探究的是正棱锥的情形．     

几何体间的切与接

一、选择题 1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个内切球,点E、F、M、N分别是棱AD、A1D1、AB、A1B1的中点,过EF和MN作一截面,则截面图形是（）．     

关于球内接多面体的一个轨迹命题

文[1]得到了一个关于圆内接闭折线的一个轨迹命题:命题若闭折线的各顶点均为定圆 O 上的动点,且各顶点到平面内一定点 P(异于圆心O)的距离的平方和为定值,则这条动闭折线的重心的轨迹是圆 O 的一条弦,这条弦与 OP 互相垂直.本文将该命题推广到球内接多面体中.     

基于元认知理论的高中数学教学设计——以“球与几何体的切接”为例

数学来源于现实生活,反过来服务于现实生活.球的切接问题对于球的性质的探讨,具有实际应用价值.数学元认知教学设计是引导学生对自身思维进行计划、监控和调节,久而久之在没有教师的提示下,学生也能具有元认知意识,对自己的认知活动进行调控.数学元认知教学设计的关键点在于准确掌握不同层次学生的元认知知识结构和意识,并给予匹配的解答,以及数学学科核心素养的落实.“球与几何体的切接”教学设计呈现元认知教学设计的过程,描绘了学会学习、以学为主的教学理念对师生带来的挑战,展现了教师理论指导实践的路径.     

多面体的外接球与内切球

例1如图1,在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．     

关于正方体内切球的几个不变量

本文给出了关于正方体内切球面上点的三个性质,得到了三个不变量(定值),并利用向量的有关知识予以证明,同时给出两个猜想.     

有内切球的旋转体的两条性质

设Q为旋转体(圆柱、圆台、圆锥、球缺),且存在内切球,则 (1)Q体积与表面积数值相等时,内切球半径为3,反之亦然. (2)Q体积与表面积数值相等时,内切球体积与表面积数值相等,反之亦然.     

三角形内外接正三角形面积的最值

用几何方法证明任意三角形最大外接正三角形所处的位置和面积,并以此来推导出三角形的最小外接正三角形的位置和面积.证明任意三角形外接正三角形和内接正三角形位置和面积的关系,给出任意三角形内接正三角形的几何作法,推导出任意三角形最小内接正三角形和最大内接正三角形的面积和对应位置.     

球与几何体的外接问题教学案例

学数学重要的是要搞清楚背后的原理,根据所研 究问题的需要可选择类比对象,充分利用已有知识探索整理新 知并将其系统化得出数学规律,进而解决相应的数学问题。在 中学立体几何中,多面体外接球半径的计算题目占有重要的地 位。本节将介绍“球与几何体的外接问题”。     

与球有关的接、切问题例析例析

在平时的学习与考试中，经常会出现与球有关的接、切问题，同学们感到较棘手．下面通过几道例题加以分析，希望给同学们以启发．     

体积与表面积等值的旋转体与内切球

贵刊早在1990年第6期“体积与表面积等值的四面体与内切球”一文中就给出了关于多面体与其内切球的几个有趣结论，十余年后读来仍受启发．本文进一步验证了某些旋转体(圆柱、圆台、圆锥、球缺)也具有同样的性质：     

四面体有外接球和内切球吗？

众所周知,任意△ABC都有外接圆和内切圆．三角形与空间的四面体有可类比性,类比可知：任意四面体s—ABc都有外接球和内切球．由于类比得出的结论未必正确,自然会思考：该结论是否正确？如果正确,如何证明？     

探究球内接几何体的体积——以2022年新高考全国Ⅰ卷第8题的解法与变式为例

文章从2022年新高考全国Ⅰ卷第8题的多种解法出发,回归教材进行变式,探究球内接正四棱锥体积的范围,并且进一步探究球内接正四棱柱与正四棱台的体积的变化特征.