不等式｜f（x1）-f（x2）｜〈｜x1-x2｜（或〉）恒成立问题的导数解法之探究

1问题提出 关于｜f（x1）-f（x2）｜〈｜x1-x2｜（或｜f（x1）-f（x2）｜〉｜x1-x2｜）的恒成立问题,近期的期刊杂志上出现频率较高的一种方法是导数法,解法比较巧妙,现选取一例（见文[1]）：     

集合视角下的四类数学问题

1．集合与范围 例1 设集合 M={y｜y=cos^2x-sin^2x｜,x∈R},N={x｜x-1/i｜〈√2,i为虚数单位,x∈R},则M∩N为____.     

绝对值问题的结论及应用

在含多个绝对值符号的题目中,一般含有f（x）=｜x-a1｜＋｜x-a2｜＋…＋｜x-ak｜（其中a1〈a2〈…〈ak）的形式．去掉绝对值符号后,在区间A1=（-∞,a1）上,每一项x的系数均为负号,     

又见“饮马问题”

解如图1,先求｜PC1｜＋｜PC2｜的最小值．作点C1（2,3）关于x轴的对称点C3（2,-3）,则｜PC1｜＋｜PC2｜＝｜PC3｜＋｜PC2｜,因为两点之间线段最短,所以｜PC3｜＋｜PC2｜.     

关于一类恒成立问题的结论——兼谈两种解法的等效性

1．三种解法，两个答案 例1已知不等式｜a-3x｜〉2x-1对于任意的x∈[-1，2]恒成立，求a的取值范围．     

含参数的不等式｜a-f（x）｜〉g（x）恒成立问题的一个常见错误解法

例1 已知不等式｜a-2x｜〉x-2,对x∈[0,2]恒成立,求a的取值范围． 解法1：原不等式化为a-2x〉x-2或a-2x〈2-x,即a〉3x-2或a〈x＋2． ∵原不等式对于x∈[0,2]恒成立     

对一个问题解法的商榷

《数学通报））2008年第6期p.48有一道例题：已知A={x｜-1≤x≤4},B={x｜a-1≤x≤2a-3},且满足B平行且等于A,求实数。的取值范围．且给出如下“错解”与“正确解答”     

一个绝对值不等式恒成立问题错解、正解与多解辨析

问题不等式｜n-2x｜＋x-1〉0在x∈[1,2]上恒成立,求实数α的取值范围．     

问诊复合函数的定义域问题

1缘起：一道复合函数定义域问题的错解 文[1]中有题目（本文列为题1）及解析如下：题1（1）若函数f（x）的定义域为[0,2],则函数f（｜2x-1｜）的定义域是__.（2）若函数f（｜2x-1｜）的定义域为[0,2],则函数f（x）的定义域是__.     

由一道竞赛题谈起

题目：设函数f（x）具有如下性质：f（3x）=3f（x）对于所有的正实数x都成立，且f（x）=1-｜x-2｜（1≤x≤3）。试求满足f（x）=f（2001）之最小值。（第十九届美国数学邀请赛第8题）     

促进数学思维训练的好题

一、选择题 1．已知全集U=R,集合A＝{x｜x^2-2x-3〉O｝,B={x｜2〈x〈4｝,那么集合（GuA）ΩB=（ ）．A．{x｜-1≤x≤4}B．{x｜2〈z≤3}C．{x｜2≤x〈3}D．{x｜-1〈x〈4}     

从题目错解反思含绝对值不等式的解法

1问题的提出 蔡德华老师指出了含参数不等式｜a—f（x）｜〉g（x）恒成立问题的一个常见解题错误．他认为｜a-f（x）｜〉g（x）在x∈[a,b]上恒成立,不能理解为a-f（x）〉g（x）或a-f（x）〈-g（x）对于x∈[a,b]恒成立,而是要理解为任意x∈[a,b],a-f（x）〉g（x）和a-f（x）〈-g（x）至少有一个成立．为此,他提出了一些“正确解法”．     

绝对值与二次函数、一次函数问题的探讨

有关“绝对值与二次函数、一次函数”问题 ,以下列这组习题最为典型、棘手 ,本文试进行多方位地探讨 ,得到几种有效、普遍的方法 已知f(x) =ax2 bx c ,当 ｜x｜≤ 1时 ,总有 ｜f(x)｜≤ 1.试证以下系列问题 :①求证 :｜c｜≤ 1,｜b｜≤ 1,｜a c｜≤1,｜a｜≤ 2 .②求证 :当｜x｜≤ 2 ,总有｜f(x)｜≤ 7.③求证 :当｜x｜≤λ ,总有｜f(x)｜≤ 2λ2-1(λ≥ 1) .④记g(x) =ax b ,求证 :当｜x｜≤ 1时 ,总有｜g(x) ｜≤ 2 .⑤g(x) =2ax b ,求证 :当｜x｜≤ 1时 ,总有 ｜g(x)｜≤ 4.⑥记g(x) =λax b ,求证 :当 ｜x｜≤1时 ,总有 ｜g(x)｜≤ …     

乘方变形 巧妙解题

对于某些数学问题 ,灵活利用乘方变形的方法 ,可找到很好的解题途径 现以近几年的竞赛试题为例介绍 ,供参考 1　确定关系式例 1　如果｜x｜ ｜｜x｜- 1 ｜=1 ,那么(　　　 )(A) (x 1 ) (x - 1 ) >0(B) (x 1 ) (x- 1 ) <0(C) (x 1 ) (x- 1 ) ≥ 0(D) (x 1 ) (x- 1 )≤ 0 .(1 999年山东省初中数学竞赛试题 )解　已知等式化为｜｜x｜- 1 ｜=1 -｜x｜ .因为｜｜x｜- 1｜≥ 0 ,所以 1 -｜x｜≥ 0 ,｜x｜≤ 1 .所以 ｜x｜2 ≤ 1 ,x2 ≤ 1 .所以 (x 1 ) (x - 1 ) ≤ 0 ,应选D .例 2　已知sinα cosα=m ,sinα·cosα=n ,则m、n的关系是 (　　…     

圆锥曲线中最值问题求解举例

一、利用定义 例1已知抛物线y^2=4x，定点A（3，1），F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点P，使｜AP｜＋｜PF｜取最小值，并求出最小值．     

2007年一道高考解析几何题的拓展及变式推广

1．提出问题 （2007年北京文科卷第20题）已知函数y=kx与y=x^2＋2（x≥0）的图象相交于A（x1，y1）、B（x2，y2），11、12分别是y=x^2＋2（x≥0）的图象在A、B两点的切线，M、N分别是l1、l2与x轴的交点．（1）求k的取值范围；（2）设t为点M的横坐标，当x1〈x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（3）试比较｜OM｜与｜ON｜的大小，并说明理由（O是坐标原点）．     

关于｜f（x1）-f（x2）｜〈｜x1-x2｜（或〉）恒成立问题的再思考

文[1]通过证明,给出了不等式｜f（x1）-f（x2）｜〈｜x1-x2｜（或〉）恒成立问题的导数解法,提出“必须检验所得范围中区间端点是否符合题意”的做法．受文[1]启发,一个自然的问题是：为什么有些问题中端点取不到,有些问题中端点取得到,取得到时对应切线的切点在函数图像的什么地方,有没有规律？本文在文[1]的基础上进一步探究．     

错在哪里

1.设f（x）,g（x）都是奇函数,{x｜f（x）〉0}={x｜4〈x〈10},{x｜g（x）〉0}={x｜2〈x〈5},则集合{x｜f（x）g（x）〉0}等于（ ）。     

数形结合思想在解数学题中的应用

一、解选择题例1不等式(1 x)(1-｜x｜)>0的解集是A.｛x｜0≤x<1｝B.｛x｜x<0,且x≠-1｝C.｛x｜-10.解得x<1,且x≠-1.选D.例2已知a>0,且a≠1,f(x)=x2-ax,当x!(-1,1)时     

由一道易错题探一类集合的补集

题目已知全集U=R,M={x｜x-2/x^2-2x-3＜0},求CuM.解法1：CuM={x｜x-2/x^2-2x-3≥0}={x｜-1＜x≤2或x＞3}.解法2：M={x｜x-2/x^2-2x-3＜0}={x｜x＜-1或2＜x＜3},则CuM={x｜-1≤x≤2或x≥3}.评析：两个不同解法得到了两个不同的答案,