构造柯西不等式,用取等号条件解题

我们知道,柯西不等式:a_i,b_i∈R,则sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2≥(sum from i=1 to n a_ib_i)~2……(1)当且仅当a_i=kb_i(i=1,2,…,n)不等式等号成立。它可以作如下变形: 由(1)得(sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2)≥sum from i=1 to n a_ib_i,添项变为sum from i=1 to n a_i~2 2 (sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2) sum from i=1 to n b_i~2≥sum from i=1 to n a_i~2 2sum from i=1 to n a_ib_i sum from i=1 to n b_i~2,或sum from i=1 to n a_i~2-2 (sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2) sum from i=1 to n b_i~2≤sum from i=1 to n a_i~2-2 sum from i=1 to n a_i b_i sum from i=1 to n b_i~2,分别配方,并开方转     

用含参数的柯西不等式证一类竞赛题

含参数的柯西不等式: (sum from i=1 to n(a_ib_i))~2=[(sum from i=1 to n(λ_ia_i)·(b_i/λ_i)]~2≤(sum from i=1 to n(λ_i~2a_i~2)(sum from i=1 to n(b_i~2/λ_i~2),其中λ_i>0 (i=1、2、…、n)。     

求条件和sum from i=1 to n(a_i/X_i)最小值的一个公式

命题设χ_i,a_i∈R~ (i=,2,3……,n),且sum from i=1 to n(χ_i)=(定值),则当χ_i=m(a_i)~(1/2)/sum from i=1 to n(i=1,2,……,n)时,和sum from i=1 to n(a_i/χ_i)取最小值,其最小值为1/m((sum from i=1 to n(a_i~(1/2)))~2     

关于一个不等式的隔离及应用

当a_1,a_2,…,a_n为正实数时,有 1/n sum from i=1 to n(a_i~n)≥multiply from i=1 to n(a_i)当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。事实上,该不等式可用(sum from i=1 to n(1/n)a_i)~n分隔,即(1/n)sum from i=1 to n(a_i~n)≥((1/n)sum from i=1 to n(a_i))~n≥multiply from i=1 to n(a_i)当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。     

切比雪夫不等式的推广及其应用

本文将切比雷夫不等式:“a_1≥a_2≥…≥a_n,b_1≥b_2≥…≥b_n(?)(sum from i=1 to n a~i)(sum from j=1 to n b_j)≤n sum from i,j to n a_ib_j”作如下的推广:如果{a_i}_(i=1)~n与{b_j}_(i=1)~n同时为单调增加或单调减少实数列,那么对于任何实数列{c_i}_(i=1)~n有(sum from i=1 to n a_ib_ic_i)(sum from i=1 to n c_i)(?)(sum from i=1 to n a_ic_i)(sum from j=1 to n b_jc_j) ……(Ⅰ) 如果{a_i}_(i=1)~n与{b_j}_(j=1)~n中有一个单调增加而另一个单调减少,那么对于任何非负实实数列{c_i}_(i=1)~n有(sum from i=1 to n a_ib_(ii))(sum from i=1 to n c_i)≤(sum from i=1 to n a_ic_i)(sum from j=1 to n b_jc_j)……(Ⅱ) 如果{c_i}_(i=1)~n为正的实数列,那么不等式(Ⅰ)、(Ⅱ)中的等号成立当且仅当{a_i}_(i=1)~n或{b_j}_(j=1)~n 中有一个是常数列。如果取c_i=1(i=1,2,…,n,那么就得原来的不等式。推广后的切比雷夫不等式的证明:在第一种情形下,sum from i=1 to n sum from j=1 to n (a~i-a_j)(b_i-b_j)c_ic_j     

Lagrange恒等式和Буняковский不等式的行列式证法及其推广

由初等代数学,我们知道下面恒等式是成立的:(sum from n to i=1 a_i~2)(sum from n to i=1 b_i~2)-(sum from n to i=1 a_ib_i)=sum from to (i,f)(a_ib_f-a_fb_i)~Z……(1)此恒等式,通常称为拉格朗日(Lagrange)恒等式。由初等代数学也容易证明下面不等式是成立的:     

Holder不等式的两个推论

Holder不等式在不等式理论与应用中有其特殊的效用.本文将着重介绍Holder不不等式的两个推论及它们的应用. Holder不等式的完整形式应是以下定理:若α_i>0,b_i>0(i=1,2,…,n),p,q满足1/p 1/q=1,则(1)若1相似文献   

一道IMO预选题的简解

第二十九届国际数学奥林匹克竞赛有一道非常难的预选题: 命题 设a_i>0,β_i>0(1≤n,n>1),且sum from i=1 to n a_i=sum from i=1 to n β_i=π. 证明:sum from i=1 to n cosβ_i/sina_i≤sum from i=1 to n ctga_i　(1) （蒙古提供)     

柯西不等式的直接证明与指数推广

著名的柯西不等式为 (sum from i=1 to n (a_i~2))(sum from i=1 to n (b_i~2))≥(sum from i=1 to n (a_ib_i))~2. (1) 关于(1)式,一般参考书上是采用构造函数,利用判别式间接进行证明的。本文首先给出(1)式的一个直接的简捷证明,然后利用算术-几何平均值不等式给出(1)式的指数推广。     

一道数学冬令营试题的推广

第四届(1989年)全国中学生数学冬令营试题的第二题是: 设x_1,x_2,…,x_n都是正数(n≥2),且sum from i=1 to n x_i=1,求证: 二/X。 sum from i=1 to n x_i/1-x_i~(1/2)≥sum from i=1 to n x_i~(1/2)/n-1~(1/2).(1) 本文对这道试题作出如下推广: 设x_1,x_2,…,x_n都是正数(n≥2),且sum from i=1 to n x_i=A>0,若α≥1,β>0,0<γ<1,     

用a≥2-1/a证不等式

若a∈R_ ,则有a≥2-1/a (*),等号当且仅当a=1时成立. 不等式(*)不仅结构简单,而且利用它还可以简捷地证明一些较难的不等式.下面举几例说明. 例1 设a_i,b_i∈R_ ,且sum from i=1 to n(a_i)=sum from i=1 to n(b_i),求证sum from i=1 to n(a_i~z)/(a_i b_i)≥1/2 sum from i=1 to n(a_i).(1991年亚太地区数学竞赛题)     

关于《一个不等式的推广》问题

胡道煊同志在文[1]中曾绐出了如下的不等式:sum from i=1 to n((a_i~m)/(b_i))≥n~(2-m)·((sum from i=1 to n(a_i))~m/sum from i=1 to n(b_3))。(1)其中a_i、b_i>0,(i=1,2,…,n),且|m|≥1。 此处我们说(1)是一个不恒成立的不等式。例如取n=2,b_1=a_1,b_2=a_2,m=3/2,则有     

一个不等式隔离的初等证明、推广与应用

本刊[1]文中将不等式 1/n sum from i=1 to n a_i~n≥multiply from i=1 to n a_i(a_i∈R~+,i=1,2,…,n) 作了如下隔离 1/n sum from i=1 to n a_i~n≥(1/n sum from i=1 to n a_i)~n≥multiply from i=1 to n a_i (1) 但美中不足的是其证明过程中运用了二阶导数和凸函数的有关知识,不宜中学生阅读和接受。为此,本文给出(1)式的一个简捷的初等证明。证明:由算术—几何平均     

Cauchy不等式与中学数学

作为一名合格的中学教师,不仅要做到善于解题,而且也要做到善于编题.本文以Cauchy不等式(sum from i=1 to n(x_iy_i))~2≤(sum from i=1 to n(x_i~2))×(sum from i=1 to n(y_i~2)) (1)为基础,结合中学数学知识编拟了一些习题,对如何编写中学数学题做了一些探讨.     

变系数线性齐次微分方程内e~(rx)型特解的求法

求一般变系数的线性齐次微分方程的特解往往只是凭观察,而没有一个有效的方法,本文根据线性无关函数组u_1,u_2,…,u_m的线性组合sum from n=l to m(i=l)k_ju_l≡0的充要条件是系数k_1,k_2,….k_m.全为零的性质,给出变系数线性齐次微分方程内e~(rx)型特解的一种求法.(sum from n=l to m(i=l)a_(ol)u_l)y~(n)+(sum from n=l to m(i=l)a_(n-1)_lu_l)y~(n-1)+…+(sum from n=l to m(i=l)a_(ol)u_l)y≡0     

sum from i=1 to n x_i~2的性质及应用

函数的极值是数学中常见而且很重要的内,它在实际问题中也有不少的应用。本文借助于理论力学的点滴知识,论证几个结论,用这些定理来解决平方和的极值及其有关问题是十分有益而简洁的。假定有n个质点,它们的质量分别是m_1、m_2、…m_n,分别位于P_1、P_2、…P_n诸点,G点为这些点的重心(质心)。根据理论力学知识,下述两个引理明显是成立的。引理一:在直角坐标系中,重心(质心)的坐标为: X_G=sum from i=1 to n(m_i x_i)/sum from i=1 to n(m_i) y_G=sum from i=1 to n(m_i y_i)/sum from i=1 to n(m_i) Z_G=sum from i=1 to n(m_i z_i)     

再谈一类分式不等式的证明

文[1][2][3]分别从不同角度介绍了一类分式不等式的证明,但显得技巧性强,难以掌握,本文将从此类不等式的题源出发,证明之。 先看以下命题: 对a_i>0,b_i>0,(i=1,2,3,…,n)有 (sum from i=1 to n(a_i~2/b_i))≥(sum from i=1 to n(a_i))~2/(sum from i=1 to n(b_i)) (*)证明∵a_i>0,b_i>0(i=1,2,3,…,     

一道东南数学奥林匹克试题的进一步推广

题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题)求最小的实数m,使不等式m(a~3 b~3 c~3)≥6(a~2 b~2 c~2) 1对于满足a b c=1的任意实数a,b,c恒成立.文[1]对此题作了以下推广1设a_i>0,i=1,2,…,n,n≥2,sum from i=1 to n a_i=1,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m sum from i=1 to n a_i~3≥A sum from i=1 to n a_i~2 B恒成立.     

一个关于余切和余割的不等式

定理 P是凸n边形A_1A_2…A_n内一点,记∠PA_iA_(i 1)=α_i,i=1,…,n(A_(n-1)≡A_1),则 sum from i=1 to n(ctgα_i)≥sum from i=1 to n(ctgA_i ncsc(2π/n))。 (1) 证明 由正弦定理,得     

自然数方幂的累进和

设S_t(n)=1~t 2~t … n~t,SS_t(n)=sum from i=1 to n sum from j=1 to i (j~t)=1~t (1~t 2~t) … (1~t 2~t … n~t),t∈N,并称SS_t(n)为自然数方幂的累进和。文[1]给出: