如何求不等式恒成立的参数的取值范围

求不等式恒成立的参数的取值范围,是中学教学的难点之一,也是高考、数学竞赛的热点.下面就此问题的几种基本解法加以论述. 一、利用一次函数的性质 一次函数y=f(x)=ax+b在x∈[m,n]上恒大于零的充要条件是:{a＞0,f(m)＞0 或{a＜0,f(n)＞0或{f(m)＞0,f(n)＞0.(对于y=f(x) =ax+b恒小于零的条件亦可类似给出) 例1 若f(x)=(x-1)m2-6xm+x+1在区间[0,1]上恒为正值,求实数m的取值范围.     

这种解法对吗

对于题型f(x)~(1/2)＞g(x),很多参考书和许多同学在解此类不等式时都认为它等价于{f(x)≥0 g(x)＜0,或f(x)≥0,g(x)＞0,(*) f(x)＞g~2(x)．这种解法对吗?我们先看下面的例子：例题：解不等式α~2-x~2~(1/2)＞2x-α(α＞0)．解：如果按照上面的解法有：原不等式等价于     

掌握基市解法的同时应兼顾巧解

人教版全日制普通高级中学教科书(必修)<数学>第二册(上)第6.4不等式的解法举例一节中P18例2解不等式x2--3x+2/x2-2x-3＜0.该题的解法是:根据等价转化的思想方法,原不等式等价为两个不等式组(Ⅰ){x2-3x+2＞0 或(Ⅱ){x2-3x+2＜0x2-2x-3＜0 x2-2x-3＞0.     

如何求不等式(组)中待定系数的取值范围

对于给定不等式组的解集，求不等式组中所含待定系数的取值范围是同学们感到棘手的问题．下面举例谈谈这类问题的解法．例１若关于x的不等式组x＋４３＞x２＋１，x＋a＜ 解集为x＜２，则a的取值范围是．解析：解不等式组，得x＜２，x＜－a 原不等式组的集为x＜２，所以－a≥２，故a≤－２．说明：牢固掌握四个基本不等式组的解集情并进行逆用是解题关键．例２如果不等式组９x－a≥０，８x－b＜ 的整数解仅为，３，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（）共有（）．A．１７个B．６４个C．７２个D．８１个解析：解不等式组…     

数学系列知识竞赛(4)

一、选择题１．已知５x－m≤０只有两个正整数解，则m的取责任编辑／赵志范围是（）．A．１０＜m＜１５B．１０≤m＜１５C．１０＜m≤１５D．１０≤m≤１５２．如果关于x的不等式（２a－b）x＋a－５b＞０的解集是x＜１０７，那么关于的不等式ax＞b的解集是（）．A．x＜３５B．x＜３１０C．x＞２５D．x＞７１０３．适合不等式２x－１＞－３x＋１４＞４x－２１的值的范围是（）．A．x＞３B．x≤５C．３＜x≤５D．３≤x＜５４．不等式组５x－１＞３x－４，－１３x≤２３－ 的整数解的和是（）．A．１B．０C．－１D．－２、填空题５．…     

一元一次不等式错解分析

初学一元一次不等式，有些同学由于对基本概念和基本性质掌握不熟练，因而在解一元一次不等式时常常出现错误．现剖析几例如下：例1解不等式：3（1－x）＜2（x＋9）．错解去括号，得3－3x＜2x＋18．移项，得－3x－2x＜18－3．合并同类项，得－5x＜15．两边同除以－5，得x＜－3．分析上述解法误用了不等式的性质：不等式的两边同乘（或除）以同一个负数，不等号的方向要改变．此题两边同除以－5时，应改变不等号的方向，正确答案应是x＞－3．例2解不等式：错解不等式两边同乘以12，得3（2x－1）－4（x－2）≤2（4x＋3）－1．去括号，得6x－3…     

一元一次不等式组解集定义的逆用

两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有四种情形，可以用一句话将它们概括起来：“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小便无解．”灵活地运用这个口诀，能帮助我们正确、迅速地解一元一次不等式组．如果我们善于逆向应用上述定义，那么也能使有些问题化难为易，迎刃而解．例１若不等式组x＞３，x＜ 无解，则m的取值范围为（）．A．m＜３B．m＞３C．m≤３D．m≥３分析：由其解集无解，首先会想到条件m＜３，但m的取值范围应包括所有能取的值，考虑到m＝３时原不等式组也无解，故应选C．例２若不等式组x－２a＋b＜０，２x…     

“放缩法”证明不等式

一、利用基本不等式或不等式的性质放缩例1 若g(x)=f(x) 1,f(x)=log2~(1/2)(x 1),m、n、t>0且n2=mt,求证:g(m) g(t)≥2g(n).     

一元一次不等式(组)考点例说(下)

考点五：一元一次不等式（组）综合题此考点是将一元一次不等式（组）与其他代数知识融为一体，考查学生综合解题的能力．例７求使方程组x＋y＝m＋２，４x＋５y＝６m＋ 的解x，y都是正数的m的取值范围．解：解方程组x＋y＝m＋２，４x＋５y＝６m＋３ 得x＝－m＋７，y＝２m－５ 由于它的解为正数．∴－m＋７＞０，２m－５＞０ 解得m＜７，m＞５２ 即５２＜m＜７．∴当５２＜m＜７时，原方程组的解都是正数．考点六：用一元一次不等式（组）解实际应用问题例８“五一”期间，某校由４位教师和若干名学生组成的旅游团，拟到国家４…     

Hadamard不等式的推广

对任何的实距阵A＝（ais）n×n都有这就是著名的Hadamard不等式。这个不等式可推广到任何的1≤i≤n有．一般来说此不等式要比Hadamard不等式更为精确．1≤t≤n在证明此不等式前，首先证明两个引理。为了证明的方便我们引入一些符号。弓I理1；设A是可逆实矩阵则证明：．．”A可逆则n维向量x1，x2…xm（m≤n）线性无关．．”A可逆则n线向量x；，x。，…x。（m＜n）线性无关且引理2：设A是实可逆矩阵则6证明：由引理1有0（X；…X。lL）反复运用弓l理1速推有逐步回代到（互）式有：重复上面的推导过程则有逐步回代到（2）式即得定理1设A是…     

利用函数性质证明不等式

不等式的证明方法有比较法、分析法、综合法、归纳法等等,但对于一类不等式,有时不如利用函数性质及图象来证明更显得直观形象。我们知道,若在含有字母的式子中,如若认定某一字母为自变量,而另一些字母看成是一定范围内的常数,那么不等式便成了以选定为自变量的那个字母的一元一次或一元高次不等式,进而可以以此字母为变量构成函数。因此,我们可利用函数的性质来证明某些不等式。 (一) 利用函数的单调性证明不等式大家知道,若函数y=f(x)定义在x∈[m,n]上(m0;同样,如若y=f(x)在x∈[m,n]上是单调递减函数,又f(n)≥0,那么y=f(x)在x∈(m,n)上恒有f(x)>0。根据此性质可证明如下的一些问题。     

例述导数在解题中的应用类型

一、证明等式【例1】求证:C1n 2C2n 3C3n … nCnn=n·2n-1.证明:由题构造二项式(1 x)n=C0n C1nx C2nx2 … Cnnxn.两端对x求导数得[(1 x)n]=[C0n C1nx C2nx2 … Cnnxn]即n(1 x)n-1=C1n 2C2nx … (n-1)Cn-1nxn-2 nCnnxn-1令x=1得n·2n-1=C1n 2C2n 3C3n … nCnn∴C1n 2C2n 3C3n … nCnn=n·2n-1.二、证明不等式【例2】已知m,n是正整数,且2≤m(1 n)m.证明:原不等式等价于不等式nln(1 m)>mln(1 n)即ln(1 n)n1,…     

恒成立问题的常见解法

在数学解题中经常碰到有关恒成立问题 ,解决这类问题的方法尽管很多 ,但都离不开一些基本的数学思想 ,如化归思想、函数思想、方程思想等等 .笔者在平时的教学过程中对这类问题的解法作了一点归纳 ,供大家参考 .一、利用一次函数的性质对于一次函数 f(x) =kx +b,x∈ [m ,n] ,有f(x) >0恒成立 f(m) >0 ,f(n) >0 ;f(x) <0恒成立 f(m) <0 ,f(n) <0 .例 1　 ｜p｜ <2 ,p∈R ,欲使不等式(log2 x) 2 +(p-2 )log2 x+1-p >0恒成立 ,求x的取值范围 .分析　若直接解关于log2 x的不等式 ,再由 p的取值范围求出x的取值范围 ,不仅化简过程十分繁杂 ,而…     

型为ax~m+b/x~n+c的函数极值解法的推广

《中学数学教学》1982年第二期刊登刘学坤同志的《型为 ax~m+b/x~+c 的函数的极值求法》一文,利用几何平均与算术平均不等式,给出了函数 ax~m+b/x~a+c(其中 a、b、x、m、n 均方正数)的较为简单的极值解法。但是此种方法有局限性,即只有当m/n 或 n/m 之值为正整数时,方可使用,且没有给出函数的极值解(x 的值)。本文将这种方法推广到系数为正实数的一般函数 f(x)     

构造“数字式”求f（x）=p/√sin x＋q/√cos x的最小值

题目设p,q∈R＋,x∈（0,π/2）.求函数f（x）=p/√sin x＋q/√cos x的最小值. 文[1]两次应用柯西不等式解之,并引入四个参数m、n、a、b;文[2]巧用赫尔德不等式,简捷而精彩．本文介绍一种更为简洁、初等的解法：构造“数字式”：4＋I=5,予以解决．     

恒成立问题常见解法探析

我们先看一道习题: 例1 对不等式x (m 1)√x m＜0,分别求满足下列条件的实数m的取值范围. (1)不等式的解集为[0,9); (2)不等式在上[0,9)有解; (3)不等式在上[0,9)恒成立.     

培养学生思维能力的尝试

一、进行比较训练，诱发思维活动教师在教学中经常运用比较法来帮助学生突破难点。有些数学知识，表面很相似，学生容易混淆，如一元一次方程与一元一次不等式的解法，学生往往分不清，教师此时可引导学生把方程与不等式的解法进行比较，找出不同点，即“在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”。例：解方程解不等式３－３x＝２x＋１８，３－３x＜２x＋１８，－３x－２x＝１８－３，－３x－２x＜１８－３，－５x＝１５，－５x＜１５，x＝－３。x＞－３。通过教师的对照讲解，加上学生比较这一思维活动，学生对不等式基…     

用构造数列法证明不等式

所谓构造数列法，就是根据所证不等式的需要构造一个含有数列的不等式，然后根据数列极限的性质，得到所要证明的不等式．例1证明当0＜x＜n/2时，有x－sinx≤x/6．依次使用，代替（1）式中的x，得到：然后相加得：不等式两进取极限得：从而得例2设△ABC为锐角三形，求证：（n为自然数）．证先证，n=1的情形，因为tgA·tgB·tgC＞0，从而得由算术一几何平均值不等式，联系（6）得再次运用算术一几何平均值不等式，并联系（7）式，得将上述手续重复几次，可得到：（8）式又可写成对（9）式取极限得：（1。）式左端与n无关，右端hm3g（。寸3…     

三类抽象函数问题的处理策略

一、含抽象函数的不等式的解法解这类不等式，应充分利用函数的单调性，想方设法去掉“f”，构成不含“f”的不等式再求解．例１已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a＜０）对于任意实数x恒有f（２＋x）＝f（２－x）成立．解不等式f（１－２x２）＞f（１＋２x－x２）．解析∵a＜０，∴f（x）的图象开口向下，其对称轴方程为x＝２，故f（x）在（－∞，２犦上单调递增，而在犤２，＋∞）上单调递减．∵１－２x２≤１＜２，１＋２x－x２＝２－（x－１）２≤２，∴（１－２x２）与（１＋２x－x２）的值在区间（－∞，２犦上．故原不等式可化为１－２x…     

换元法解第十七届“希望杯”试题

题1 不等式对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为_____． (高二1试) 解法1 依题意可令 x=t2y(t∈R ), 则不等式对于一切正数 x,y恒成立,等价于不等式对任意正实数t都成立．