利用数学期望求数列最值问题

人教版高中《数学》选修3-2第11页有道例题:随机抛掷一个骰子,求所得点数ζ的数学期望.其解抛掷骰子所得点数ζ的概率分布为∴Eζ=1×1/6 2×1/6 … 6×1/6=(1 2 … 6)×1/6=3.5.这道例题无论题目本身还是解答过程都十分简单,是道极不显眼的"小题",但在教学中若能抓住本质,仔细剖析,却可"大有作为".首先,如果改变问题的情境,可得如下问题.     

数学期望的一个性质的应用

求某随机变量的数学期望,通常是先求出分布列,再用定义求解.但对某些问题,运用数学期望的如下性质:设ξi(i =1,2,…,n)为n个随机变量,则E(ξ1 ξ2 … ξn) = Eξ1 Eξ2 … Eξn进行求解,能够避免繁琐的计算,达到化繁为简、化难为易的目的.图1【例 1】　某先生居住在城镇的 A 处,准备开车到单位 B 处上班,若该地各路段发生堵车事件都是独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图1.(例如:A→C→D算作两个路程,路段AC发生堵车事件的概率为110,路段CD发生堵车事件的概率为115)若记路线A→C→F→B中遇…     

拓扑空间中某个边界点集的讨论

设(X,ζ)是一个拓扑空间,E∈X.对此拓扑空间中的边界点集问题的结论:(1)(e)((e)E)=(e)E;(2)(e)((e)…n((e)E))=(e)((e)…n-1((e)E))((A)n∈N,n＞2)是否正确进行讨论,并给出相应的证明.     

你会证明“容易证明”的命题吗?

高中数学第三册第一章《概率与统计》有一自然段这样叙述 :容易证明 ,Ｄ(ａζ +ｂ) =ａ2 Ｄζ .如果 ζ～Ｂ(ｎ ,ｐ) ,那么Ｄζ=ｎｐｑ ,这里ｑ=1-ｐ .笔者认为 ,对于初学者来说 ,证明上述“容易证明”的两个命题 ,实属不易 .我们不妨试证如下 :设离散型随机变量 ζ所有可能取的值是ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ,… ,且取这些值的概率分别是ｐ1 ,ｐ2 ,… ,ｐｎ,… .则ａζ +ｂ所有可能的取值是ａｘ1 +ｂ ,ａｘ2 +ｂ ,… ,ａｘｎ +ｂ ,… ,它们所对应的概率仍依次为ｐ1 ,ｐ2 ,… ,ｐｎ,… .并且Ｅ(ａζ+ｂ) =ａＥζ+ｂ .所以 ,Ｄ(ａζ+ｂ) =∑Ｎｋ =1[…     

分布函数的误差估计在Borel变换下的不变性

设随机变量序列组{ζ_(1_n),n≥1},{ζ_(2_n),n≥1}…,{ζ_(r_n),n≥1}组间相互独立,分别依分布收敛于ζ_1,ζ_2,…ζ_r,且它们的分布函数有估计式:是Borel可测函数,本文在一定条件下证明了对变换φ亦有估计式:     

2004中国数学奥林匹克

第一天( 2 0 0 4 - 0 1 - 0 8)一、凸四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在凸四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上,且满足AEEB·BFFC·CGGD·DHHA=1.而点A、B、C、D分别在凸四边形E1F1G1H1的边H1E1、E1F1、F1G1、G1H1上,满足E1F1∥EF ,F1G1∥FG ,G1H1∥GH ,H1E1∥HE .已知E1AAH1=λ.求F1CCG1的值. (熊　斌　供题)二、已给正整数c ,设数列x1,x2 ,…满足x1=c ,且xn=xn -1 2xn -1- (n 2 )n 1,n =2 ,3,…,其中[x]表示不大于x的最大整数.求数列{xn}的通项公式. (黄玉民　供题)三、设M是平面上n个点组成的集合,满足:(1)…     

一类离散型随机变量的数学期望

命题设随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k)=qk-1p(其中0相似文献   

多元统计中期望向量的非齐次线性容许估计

设y_1,y_2…,y_n独立同分布,EY_1=β,CovY_1=V,这里βεR~m与V:mxm>0均未知,取损失函数为:L（d,β）=（d-β）′（d-β）,估计类ζ={sum from i=1 to nL_ζY_i+b;L_ζ为m阶实常方阵;i=1,2,…n,bεR~m},本文在损失L下给出了非齐次线估计在ζ中是β的容许估计的充要条件。     

数学期望04部分高考题解读

2004年高考关于数学期望命题的总体特征是:紧扣大纲要求,重视基础和全面,注重考查实际问题的解决能力,以理科考查为主,从一定程度上替代了传统的应用题,难度不大且几乎与教材例习题相当.通过实际问题背景或模拟实验方法的考查,让学生感受、体验随机变量及其期望的意义.1.重视基础与能力的结合,突出概率分布的考查概率分布(即分布列)是求解数学期望的前提和基础,所以高考特别重视分布列的考查.同时考查用分布列的性质:p1 p2 … pn …=1,来检验概率计算是否正确.【例1】(全国卷Ⅱ)从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ζ个红球…     

新加坡中一、二数学竞赛题选

一、选择题 (有且只有一个答案正确 )1 .如果四个不同的正整数 m,n,p,q满足 (7- m) (7- n) (7- p) (7- q) =4,那么 m n p q等于 (　 )(A) 1 0　 (B) 2 1　 (C) 2 4　 (D) 2 6　 (E) 2 82 .某国人口第 1年增长 i ,第 2年增长j ,那么这两年人口共增长了 (　 )(A) (i j) (B) ij (C) (i ij)(D) (i j ij1 0 0 ) (E) (i j i j1 0 0 )3.如果一个序列 {ai}满足 a1 =2 ,an 1 =an 2 n(n为自然数 ) ,那么 a1 0 0 是 (　 )(A) 990 0　　 (B) 990 2　　 (C) 990 4(D) 1 0 1 0 0　　 (E) 1 0 1 0 24.若有 5 0个数的算术平均…     

第六届北方数学奥林匹克邀请赛

第一天一、(25分)已知数列{an}满足 a1=2,an=22nan-1+2n2n(n=2,3…).求通项an(n=1,2,…). (吴树勋供题) 二、(25分)已知PA、PB是☉O的切线,切点是分别是A、B、PCD是☉O的一条割线,过点C作PA的平行线,分别交弦AB、AD于点E、F.     

一类Hermite——Fejér插值多项式的收敛性

设函数f(x)∈C[-1,1],x=cosθ(0≤θ≤π),α>-1,β>-1.考虑权函数ζ(x)=(1-x)~α(1+x)~β,设J(?)(x)是以ζ(x)为权的正交多项式,并且在L_2范数意义下是规范化的,即(?)~2dx=1,n=1,2,….J(?)(x)的n个零点记为x_1,x_2,…X_n,以{x_1,x_2,…,x_n}为基点的次数不超过2n-1的Hermite—Fejér插值多项式记成H_n(f,x)。     

2005中国数学奥林匹克

第一天(2005-01-22)一、设θi∈-π2,π2,i=1,2,3,4.证明:存在θ∈R,使得如下两个不等式cos2θ1·cos2θ2-(sinθ1·sinθ2-x)2≥0,①cos2θ3·cos2θ4-(sinθ3·sinθ4-x)2≥0②同时成立的充分必要条件是∑4i=1sin2θi≤21 ∏4i=1sinθi ∏4i=1cosθi.③(李胜宏　供题)二、一圆与ABC的三边BC、CA、AB的交点依次为D1、D2、E1、E2、F1、F2.线段D1E1与D2F2交于点L,线段E1F1与E2D2交于点M,线段F1D1与F2E2交于点N.证明:AL、BM、CN三线共点.(叶中豪　供题)图1三、如图1所示,圆形的水池被分割为2n(n≥5)个“格子”.我们把有公共…     

一类线性微分方程解复振荡结果的综述

本文讨论二阶方程f“ (R1(Z)e^P1(z) R2(Z)e^P2(z) Q(Z)f=0，（其中P1（Z）＝ζ1Z^n ……，P2（Z）＝ζ2Z^n为非常数多项式。R1（Z）≡0,R2(Z)≠0，Q（Z）为级小于n的整函数）在ζ1／ζ2的条件下，任一非平凡解的零收敛指数。     

高考概率统计考题出新赏析

纵观2004年、2005年全国各地高考卷,概率统计命题内容有从纯概率计算向随机变量的概率分布和数字特征演化的趋势．特别是2005 年各地高考卷,随机变量型试题出现了一些形式和内涵的创新．为适应高考的这一变革趋势和创新特点,有效做好2006年高考复习工作, 特对高考随机变量型概率统计题的创新特点分析如下．一、叠加随机变量的叠加是指随机变量ζ由两个独立随机变量ζ1、ζ2叠加而成,即ζ=ζ1 ζ2．这     

2006年贵州省中学生数学竞赛试卷

一、选择题(共4小题,每小题6分,满分24分)图11.数学中,为了简便,记1 2 3 … (n-1) n=Σni=1i,1×2×3×…×(n-1)×n=n!,那么2006!2005! Σ2005i=1i-Σ2006i=1i的值是()。A、0;B、1;C、2005;D、2006.2.如图1,一枚棋子放在七边形ABCDEFG的顶点A处,现顺时针方向移动这枚棋子10次,移动规则是:第K次依次移动K个顶点,如第一次移动1个顶点,棋子停在顶点B处,第二次移动2个顶点,棋子停在顶点D处,依这样的规则,在这10次移动的过程中,棋子不可能停到的顶点是()。A·C,E,F;B·C,E,G;C·G,E;D·E,F.3.已知一列数a1,a2,a3,…,an中,a1=0,a2=2a…     

2006中国数学奥林匹克

第一天(2006-01-12)一、实数a1,a2,…,an满足a1+a2+…+an=0.求证:max1≤k≤n(a2k)≤3n∑in=-11(ai-ai+1)2.(朱华伟供题)二、正整数a1,a2,…,a2006(可以有相同的)使得aa12,aa23,…,aa22000065两两不相等.问:a1,a2,…,a2006中最少有多少个不同的数?(陈永高供题)三、正整数m、n、k满足mn=k2+k+3.证明:不定方程x2+11y2=4m和x2+11y2=4n中至少有一个有奇数解(x,y).(李伟固供题)第二天(2005-01-13)四、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.若∠BPC=90…     

一道数学竞赛题的另解

题目　已知在△ABC中 ,∠ACB =90°,如图 1所示 .当点D在斜边AB上 (不含端点 )时 ,求证 :CD2 -BD2BC2 =AD -BDAB .( 2 0 0 3,全国初中数学联赛 )　　证明 :作CE⊥BA于点E .设BC =a ,AB=c ,CE =h ,BD =m ,AD =n ,CD =t,BE =p ,ED =k .显然 ,p k =m .则CD2 -BD2BC2 =t2 -m2a2=h2 k2 -m2a2 =h2 (k m) (k -m)a2 .将h2 =p(k n) ,k -m =-p ,a2 =pc代入上式 ,得CD2 -BD2BC2 =p(k n) -p(k m)pc=p(n -m)pc =n -mc =AD -BDAB .当D与E重合时 ,h =t,k =0 ,上述证明同样成立 ;当D在E左侧时 ,k <0 ,同理可证结论成立 .…     

数学奥林匹克问题

本期问题初 1 2 7　已知ABCD是单位正方形 ,O是其中心点 ,P是CD上的一点 ,直线AP交BC的延长线于点Q、交DO于点E ,OQ交PC于点F .若EF∥AC ,求AP的长 .(吴伟朝　广州大学理学院数学系 ,51 0 4 0 5)初 1 2 8　给定正整数n(n≥ 5) ,试给出一组互不相同的正偶数p1,p2 ,… ,pn,使其满足1p1+ 1p2+… + 1pn=2 0 0 32 0 0 2 .(张延卫　江苏省宿迁市教育局 ,2 2 380 0 )高 1 2 7　已知a、b、c∈R+ .求证 :b2a+ c2b+ a2c≥ 3(a2 +b2 +c2 ) .(张善立　浙江省岱山县岱山中学 ,31 6 2 0 0 )高 1 2 8　设a、b是满足a3+b3=an+bn(n∈ {0 ,1 ,2 })…     

《数学通报》问题173的证明

《数学通报》1 997年第 7期的征解问题是 :设xi>0 (i=1 ,2 ,… ,n ,n≥ 3 ) ,证明或否定 (记S =x1 x2 … xn) (aij=xixj) :a2 1(S -x1-x2 ) a3 2 (S -x2 -x3 ) … a1n(S -xn-x1)≥ (n -2 )S .①该刊 1 999年第 1 2期刊出一个“证明” ,但陶兴模著文 (《中学数学教学参考》2 0 0 3年第 1 1期 )指出其错误 .现用归纳法给出一个证明 :①式可化为a1nx1 a2 1x2 … an ,n -1xn ≤ (a1n a2 1 … an ,n -1-n 1 )S .②易见 ,n =3时 ,②式成立 ,现设②式对n -1成立 .不妨设x1是xi(i=1 ,…n)中最大的 ,那么②式左边 =(a1nx1 a2 1x2 -a2nx2 ) …