这道题有毛病

在高三复习中 ,我们在一本资料上看到如下一道“典型例题” .学习中 ,我们发现该题存在很大毛病 .以下谈谈我们的看法 .原题 :已知外接圆半径为 6的△ＡＢＣ的面积为Ｓ ,且Ｓ =ａ2 -(ｂ -ｃ) 2 (ａ、ｂ、ｃ分别为角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边 ) ,ｓｉｎＢ +ｓｉｎＣ =43 .求ｓｉｎＡ的值及Ｓ的最大值 .原解 :Ｓ =12 ｂｃｓｉｎＡ =ａ2 -(ｂ -ｃ) 2 =ａ2-ｂ2 -ｃ2 + 2ｂｃ=2ｂｃ-2ｂｃｃｏｓΑ ,∴ 12 ｓｉｎＡ =2 -2ｃｏｓＡ ,∴ 1 -ｃｏｓＡｓｉｎＡ =14 ,即ｔａｎ Ａ2 =14 ,∴ｓｉｎＡ =81 7.又ｓｉｎＢ +ｓｉｎＣ =43 ,即 ｂ2Ｒ+ ｃ2Ｒ=43 ,∴ｂ+…     

寻找正确的解题思路

[题目 ]2 6 (8分 ) 2 5℃时 ,若体积为Ｖａ、ｐＨ =ａ的某一元强酸与体积为Ｖｂ、ｐＨ =ｂ的某一元强碱混合 ,恰好中和 ,且已知Ｖａ<Ｖｂ 和ａ =0 .5ｂ。请填写下列空白 :(1 )ａ值可否等于 3(填“可”或“否”)　　 ,其理由是　　　　　　　　　　　　　　　。(2 )ａ值可否等于 5 (填“可”或“否”)　　 ,其理由是　　　　　　　　　　　　　　　。(3)ａ的取值范围是　　　　　　　　　。[思路 ]由题意首先总结出关系式 :ａ ｂ =1 4 ｌｇＶａＶｂ ,推导过程如下 :由题知强酸强碱混合 ,恰好中和则 :ｎＨ =ｎＯＨ- 　即Ｖａ1 0 -ａ=Ｖｂ1 0 …     

初中数学中求变式取值范围的几种常用方法

求变式的取值范围 (或最值 )是初中数学竞赛的热点问题 .由于其涉及的知识面广 ,技巧性强 ,思路灵活多变 ,学生普遍感到难以掌握 .本文试图通过实例 ,归纳总结出这类问题的一些常见规律 ,以期对学生能有所帮助 .1　局部配方法通过对变式的局部进行配方 ,再利用 (ｘ±ｙ) 2 ≥0来求变式的取值范围 (或最值 ) .例 1　 (1998年全国初中联赛试题 )设ａ、ｂ为实数 ,那么ａ2 +ａｂ +ｂ2 -ａ - 2ｂ的最小值是解　ａ2 +ａｂ+ｂ2 -ａ- 2ｂ=ａ2 +(ｂ- 1)ａ -ｂ2 - 2ｂ=(ａ- ｂ - 12 ) 2 +34(ｂ - 1) 2 - 1.∵ (ａ - ｂ - 12 ) 2 ≥ 0 ,(ｂ- 1) 2 ≥ 0 …     

巧用韦达定理逆定理 妙解一类竞赛试题

韦达定理和其逆定理是初中数学中一个充满活力的定理 ,不但在历年的中考试题中是一个命题的热点 ,而且其逆定理在初中数学竞赛中应用也较多 ,现举例如下 .例 1　已知实数ａ、ｂ满足ａ2 +ａｂ+ｂ2= 1,且ｔ =ａｂ-ａ2 -ｂ2 ,那么ｔ的取值范围是 (2 0 0 1年ＴＩ杯全国初中数学竞赛试题 ) .解　由ａ2 +ａｂ+ｂ2 =1,ｔ=ａｂ -ａ2-ｂ2 得 ,ａ2 +ｂ2 =1-ｔ2 ,ａ2 ｂ2 =1+ｔ22 ,则以ａ2 、ｂ2 为根的一元二次方程为 :ｘ2 -1-ｔ2 ｘ+ 1+ｔ22 =0 ( ) ,因为ａ、ｂ为实数 ,所以方程 ( )有实数根 ,即Δ =1-ｔ22 -4 1+ｔ22 ≥ 0 ,得 -3 ≤ｔ≤-13 .例 2　…     

运用一个不等式,巧解一类高考题

高级中学课本《代数》下册 (必修 )第 12页例 7:已知ａ,ｂ ,ｍ∈Ｒ+ ,且ａ <ｂ,求证 :　　 ａ +ｍｂ+ｍ >ａｂ . (1)该题初看平淡无奇 ,学完分析法之后常会置之不理 .但它及引伸、变形的用处十分广泛 ,许多高考试题都是以它为背景 ,使得它已成为高考命题的生长点 .　　 1.条件不变 ,还可以有ａｂ <ａ +ｍｂ +ｍ <1;(2 )ｂ +ｍａ+ｍ <ｂａ . (3)　　 2 .改变条件 :若ａ ,ｂ,ｍ ∈Ｒ+ ,且ｍ <ａ <ｂ,则有ａ-ｍｂ-ｍ <ａｂ <ａ+ｍｂ+ｍ. (4)上述四个结论 ,有着神奇的功能 ,广泛的应用 .下面仅以高考题为例来说明 .例 1　 (1989年广东高考理科题…     

几个不等式问题的统一处理

1　几个不等式问题问题 1　设ａ >0 ,ｂ >0 ,ａ3 ｂ3=2 ,求证 :ａ ｂ≤ 2 . (1 986年宿州市初中数学竞赛试题 )《中学数学教学参考》2 0 0 2年第 7期发表的文 [1 ]专门对这一个问题的多种表述形式和多种解法进行了综述 .问题 2　设ｘ ,ｙ∈Ｒ ,ｘ ｙ =1 ,ｎ >0 ,λ >0 ,求1ｘ     

条件"a＞b＞c且a+b+c＝0"的运用

对于条件“ａ>ｂ>ｃ且ａ ｂ ｃ=0” ,很多同学一直认为它只有“ａ >0 ,ｃ <0”的结论。其实它还有另外一个结论 ,即由它可推得“ｃａ ∈ (-2 ,-12 )”。证明过程为 :∵ａ ｂ ｃ =0 ,　∴ｂ =-ａ -ｃ。∵ａ >ｂ>ｃ,　∴ａ >-ａ -ｃ>ｃ。∵ａ >0 ,　∴ 1 >-1 -ｃａ >ｃａ ,∴     

解题杂谈

一、分与合例 1　设ａ2 ｂ2 1ｂ2 ｃ2 1ｃ2 ｄ2 1ｄ2 ａ2 -ｂ2 ｃ21ｃ2 ｄ2 1ｄ2 ａ2 1ａ2 ｂ2 ｃ2 ｄ2 1ｄ2 ａ2 1ａ2 ｂ2 1ｂ2 ｃ2 -ｄ2 ａ2 1ａ2 ｂ2 1ｂ2 ｃ2 1ｃ2 ｄ2 =0 .①求证 :ａｂ ｂｃ ｃｄ ｄａ与ａｂ ｃｄ -ｄａ -ｂｃ中至少有一个为零 .讲解　这是文 [1 ]谈数学和谐美的第一个例子 .整个分析处理过程如下 :已知条件是分式 ,而结论是整式 ,不和谐 ,且条件复杂 ,结论简单 .所以 ,可以运用顺推策略探索解题途径 ,并将分式化为整式 ,使条件与结论和谐化 ,另外 ,还需将结论等价地变为(ａｂ ｂｃ ｃｄ ｄａ) (ａｂ ｃｄ…     

高考新题型：定义型试题

定义型试题即试题中给出一个考生从未接触过的新规定 ,要求考生当即应用 ,用以考查考生的接受能力和应变能力 .一、定义新概念例 1　 ( 2 0 0 1年上海高考题 )定义 :若函数 ｆ(ｘ)对于其定义域上的某一点ｘ0 ,有ｆ(ｘ0 )=ｘ0 ,则称ｘ0 是 ｆ(ｘ)的一个不动点 .已知函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +(ｂ+1)ｘ +(ｂ- 1) (ａ≠ 0 ) .( 1)当ａ=1,ｂ =- 2时 ,求函数ｆ(ｘ)的不动点 ;( 2 )若对任意的实数ｂ ,函数ｆ(ｘ)恒有两个不动点 ,求ａ的取值范围 ;( 3)在 ( 2 )的条件下 ,若ｙ=ｆ(ｘ)图象上两个点Ａ、Ｂ的横坐标是函数 ｆ(ｘ)的不动点 ,且Ａ、Ｂ两点关于…     

一个充要条件的某些应用

当ａ、ｂ是不同时为零的实数时 ,形如ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ =ｃ ( )的三角方程有解的充要条件是ａ2 ｂ2 ≥ｃ2 (高中《代数》上册 ) .即当ａ2 ｂ2 >ｃ2 时 ,方程 ( )在 [0 ,2π)内有不同二实解 ;当ａ2 ｂ2 =ｃ2 时 ,方程 ( )在[0 ,2π)内有唯一实解 .这个条件虽简单、但它却潜藏着不凡的应用功能 .现简要介绍如下1　直接根据题目所给出的条件 ,逐步对所求问题进行加工、调节 ,使其转化为方程 ( )的形式 ,可使问题化难为易 ,简洁求解 .例 1　 (1990年上海高考题 )复平面上点Ａ、Ｂ对应的复数分别为ｚ1=2 ,ｚ2 =- 3,点Ｐ对应的复数为ｚ ,…     

从考题谈方法——2003年高考数学(江苏类)选择题解法

20 0 3年全国高考数学 (江苏卷 )普遍反映试题偏难 ,新教材中新知识所占比重较大 ,选择题也有一定难度 .本文就部分选择题的解法 ,谈谈数学方法的运用 .(下列各题编号为原试题编号 ,题目见本期高考试题—编者注 )1 分析　依题意在ａ≠ 0的前提下 ,由判别式Δ>0 ,得 4ａ2 -ｂ2 <0 ,∴ 2ａ +ｂ>0 ,2ａ-ｂ <0 ,或 2ａ +ｂ<0 ,2ａ-ｂ >0 .由不等式组表示的平面区域 (用特殊点来确定 ) ,应选Ｃ(这是标准答案 )评注　本题考查内容是二次函数、判别式 ,简单的线性规划 ,具有一定综合性 .但本题是一道有争议的试题 ,因为ａ ≠ 0 ,所以选择支Ｃ中应…     

一类条件不等式的证明体系

成功的解题 ,常常体现在 :善于发现规律 ,巧于利用规律 .这是一类常见的条件不等式证明问题 :题设条件是ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ=1.本文试图揭示其证题规律 ,并巧用其规律 .定理　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,则ａ2 ｂ2 ｃ2 ≥ 13≥ａｂ ｂｃ ｃａ ;①1ａ 1ｂ 1ｃ ≥ 9;②1ａ2 1ｂ2 1ｃ2 ≥ 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ ≥ 2 7;③ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 1;④ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 9;⑤ａｂｃ≤ 12 7,或 1ａｂｃ≥ 2 7;⑥ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7;⑦ａ ｂ ｃ≤ 3;⑧ａｂ ｂｃ ｃａ≤ 1. ⑨　　 (当且仅当ａ=…     

椭圆的一类命题证明及应用

命题 1　已知椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ｃ2 =ａ2 -ｂ2 ) ,则椭圆上存在点Ｐ ,它与两焦点Ｆ1、Ｆ2 连线互相垂直的条件是ｂ≤ｃ <ａ .证 :设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )　Ｆ1(-ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ ,0 )∵ＰＦ1⊥ＰＦ2∴ (ｙ0 -0 ) (ｙ0 -0 ) (ｘ0 ｃ) (ｘ0 -ｃ) =0即 :ｘ20 ｙ20 =ｃ2亦即 :｜ＰＯ｜=ｃ(Ｏ为坐标原点 )又∵椭圆短半轴是ｂ ,长半轴是ａ ,Ｐ又在椭圆上∴ｂ≤ｃ <ａ命题 2　已知Ｐ是椭圆ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ｃ2 =ａ2 -ｂ2 )上的点 ,且ｂ≤ｃ <ａ ,Ｆ1、Ｆ2 为其焦点 ,若∠Ｆ1ＰＦ2 =90° ,则△ＰＦ1Ｆ2 的面积为定值ｂ2 .证 :由已知得 :　｜…     

活用一结论速解一类竞赛题

结论　若ａ+ｂ +ｃ=0 ,则ｂ2 ≥ 4ａｃ.证明　∵ａ +ｂ+ｃ =0 ,即ｂ=- (ａ+ｃ) ,∴ｂ2- 4ａｃ=[- (ａ+ｃ) ]2 - 4ａｃ=(ａ -ｃ) 2 ≥ 0 ,故ｂ2 ≥4ａｃ.活用这一结论可以方便、准确地求解已知等式求取值范围或不等关系类型的问题 .下面举例说明 .例 1　 (1991年“曙光杯”初中数学竞赛题 )已知三个实数ａ ,ｂ,ｃ满足 ａ +ｂ+ｃ =0 ,ａｂｃ =1,求证 :ａ、ｂ、ｃ中至少有一个大于 32 .证明　由题设条件可知ａ ,ｂ,ｃ中有一个正数 ,两个负数 ,不妨设ｃ>0 .∵ａ+ｂ +ｃ=0 ,∴ｃ2 ≥ 4ａｂ.而ａｂｃ=1,则有ｃ3 ≥ 4ａｂｃ =4 ,∴ｃ≥ 34>32 78=32…     

构造法求最值问题举例

最值问题是中学数学中一个重要内容 ,其涉及面广 ,难度较大 ,求解方法灵活多样 .本文通过构造函数和曲线来解决某些最值问题 ,不仅形象直观、易于掌握 ,而且可以减少许多不必要的计算 ,达到化难为易的目的 .一、构造函数求最值1 .构造二次函数例 1　设ａ ｂ ｃ ｄ ｅ =8,ａ2 ｂ2 ｃ2 ｄ2 ｅ2 =1 6,求ｅ的最大值 .解 :设ｆ(ｘ) =(ｘ ａ) 2 (ｘ ｂ) 2 (ｘ ｃ) 2 (ｘ ｄ) 2=4ｘ2 2 (ａ ｂ ｃ ｄ)ｘ ａ2 ｂ2 ｃ2 ｄ2显然ｆ(ｘ) ≥ 0 ,且ｘ2 的系数为正 ,则△ =ｂ2 -4ａｃ≤ 0 ,即4(ａ ｂ ｃ ｄ) 2 -1 6(ａ2 ｂ2 ｃ2 ｄ2 )=4( 8…     

满足多个条件的存在性问题例析

纵观近年全国高考试题和各省市高考模拟试题,满足多个条件的存在性问题频频出现.它们构思精巧,新颖别致,极富思考性和挑战性,充当着“把关题”的重要角色,具有很好的区分和选拔功能,因而是考查学生数学素养和能力的极好素材,值得认真研究.下面精选出几道典型例题并予以解析,供同学们参考.例1　已知ｆ(ｘ)=ｌｏｇ3ｘ2+ａｘ+ｂｘ2+ｃｘ+1,请问是否存在实数ａ、ｂ、ｃ(-2<ｃ<0),使ｆ(ｘ)同时满足下列三个条件:①是定义域为Ｒ的奇函数;②在[1,+∞)上是减函数,在(0,1]上是增函数;③最大值是1.若存在,求出ａ、ｂ、ｃ;若不存在,请说明理由.解:假设…     

构造平面向理 巧解最值问题

最值问题是数学奥林匹克中的热门试题 .它技巧性强 ,难度大 ,解法活 .本文利用高中数学新教材中新增的重要内容———平面向量 ,巧解一类最值问题 .1　求不等式恒成立时的参数最值例 1　 (1992年上海市高三数学竞赛试题 )若正数使不等式 :ｘ +ｙ≤ａｘ +ｙ对一切正数ｘ、ｙ成立 ,则ａ的最小可能值是＿＿＿＿＿ .解　构造向量 ａ =(ｘ ,ｙ) , ｂ=(1,1) .由 ｜ ａ· ｂ｜≤｜ ａ｜｜ ｂ｜ ,得　　ｘ+ ｙ≤ 2 · ｘ+ｙ.当且仅当 ａ与 ｂ同向 ,即ｘ =ｙ时 ,等号成立故ａ的最小可能值是 2 .例 2　 (2 0 0 0年第 11届“希望杯”全国数学邀请赛高…     

向量在代数中的运用

向量不仅是解决立体几何、解析几何的有力工具 ,也是解决代数和三角问题的有力工具 ,它可使许多代数和三角问题的求解过程变得轻松 ,生动 ,给人以数学美的享受 .它为解决中学数学问题开避了一条新的途径 .一、比较大小例 1　已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,0 <ｘ<1,试比较ａ2ｘ + ｂ21-ｘ 与 (ａ +ｂ) 2 的大小 .解　设向量ｍ=ａｘ,ｂ1-ｘ ,ｎ=(ｘ ,1-ｘ) .由 (ｍ·ｎ) 2 ≤｜ｍ｜2 ｜ｎ｜2 ,得(ａ +ｂ) 2=ａｘ·ｘ + ｂ1-ｘ· 1-ｘ2≤ ａ2ｘ + ｂ21-ｘ ｘ+ (1-ｘ)=ａ2ｘ + ｂ21-ｘ.例 2　 (2 0 0 0年河北省高中数学竞赛试题 )已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｒ+…     

高考平面向量问题归类分析

平面向量及其运算是高中教材的新增内容 ,它融数、形于一体 ,具有代数形式和几何形式的双重身份 ,使它成为中学数学知识的一个交汇点 ,成为联系多项内容的媒介 .下面对近三年全国新课程高考试题及上海试题 ,分类进行分析 ,供复习参考 .1　考查平面向量的基本概念和运算律例 1　 ( 2 0 0 2年上海高考题 )若ａ ,ｂ,ｃ为任意向量 ,ｍ ∈Ｒ ,则下列等式不一定成立的是 (　　 )Ａ .(ａ+ｂ) +ｃ=ａ +(ｂ +ｃ)Ｂ .(ａ+ｂ)·ｃ=ａ·ｃ+ｂ·ｃＣ .ｍ(ａ +ｂ) =ｍａ +ｍｂＤ .(ａ·ｂ)·ｃ =ａ· (ｂ·ｃ)解析 :　因为向量的数量积不满足结合律 ,故显…     

用函数方法巧证不等式

用函数方法证明不等式 ,常常能够方便地给出证明 .用函数方法证明不等式的关键是结合不等式的结构特征构造适当的函数 ,以便于利用这一函数的有关性质证明所给的不等式 .例 1　若ａ >ｂ>0 ,ｍ >0 .求证 :ａｂ >ａ +ｍｂ+ｍ.证明　令 ｆ(ｘ) =ａ+ｘｂ +ｘ.由ａ>ｂ可设ａ =ｂ+ｃ(ｃ >0 ) ,则ｆ(ｘ) =ｂ+ｘ +ｃｂ +ｘ =1+ｃｂ +ｘ.当ｘ∈ (0 ,+∞ )时 ,ｆ(ｘ)为减函数 .∵　ｍ >0 ,∴　ｆ(ｍ) <ｆ(0 ) .即 ａｂ >ａ+ｍｂ+ｍ.注　用函数方法证明不等式 ,往往要利用所构造函数的单调性 .例 2　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ .证明 :ａ2 +ａｃ+ｃ2 +3ｂ(ａ+ｂ+…