浅谈三角形性质的类比

平面图形中最简单的多边形是三角形，空间图形中最简单的多面体为四面体．将平面内许多与三角形有关的概念、公式与性质类比推广到空间四面体，可以得到许多优美的结论和性质．人教版选修2-2第82页的阅读与思考的内容为“平面与空间中的余弦定理”，介绍了由平面中的余弦定理猜想得到空间中的余弦定理，并给予证明．下面，我们一起回顾具体的类比过程：     

循序渐进 体现自然——探索四面体“余弦定理”教学案例及思考

<正>这是笔者在市优质课评比中的教学案例——平面与空间中的"余弦定理".它是承接普通高中课程标准试验教科书选修2-2第二章2.1节"合情推理和演绎推理"后阅读与思考的内容.它主要将三角形与四面体类比,由三角形余弦定理类比猜想得到四面体的"余弦定理",同时由证明三角形余弦定理的方法类比得到证明四面体的"余弦定理"的方法.     

探索四面体的余弦定理案例及思考

由三角形余弦定理类比猜想得到四面体的余弦定理,同时由证明三角形余弦定理的方法类比得到证明四面体的余弦定理的方法.关注探究式教学的自然性、合理性,引导学生数学思维的自然形成、发展和深化,是我们一线教师急需关注的.     

利用《超级画板》探索四面体的余弦定理

《超级画秘是将平面几何问题推广到立体几何的有力工具,文章将余弦定理推广到四面体中,并利用《超级画秘猜测、证明四面体的余弦定理,使学生掌握四面体的余弦定理,并能够对四面体在多面体中的重要地位有所领会,培养学生的空间想象能力及提出问题、分析问题和解决问题等能力．     

利用《超级画板》探索四面体的余弦定理

《超级画板》是将平面几何问题推广到立体几何的有力工具,文章将余弦定理推广到四面体中,并利用《超级画板》猜测、证明四面体的余弦定理,使学生掌握四面体的余弦定理,并能够对四面体在多面体中的重要地位有所领会,培养学生的空间想象能力及提出问题、分析问题和解决问题等能力.     

用四面体的余弦定理求解二面角大小

数学家波利亚曾说过:"类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题".四面体的余弦定理出现在普通高中课程标准实验教科书选修2-2(A版)"合情推理与演绎推理"后阅读与思考的内容,它是把四面体与三角形作类比推理.本文沿用三角形的余弦定理证明方法,类比给出四面体的余弦定理证明方法,利用四面体中已知的面与面所成的二面角,通过转化思想求出未知的二面角大小,并以例题的形式介绍该定理在2019年高考试题中的应用.     

矩形外接圆周上点的有趣性质在三维空间中的拓展

文[1]证明了矩形外接国周上点的有趣性质：“定理：矩形外接圆周上任一点到矩形各边中点的距离的平方和为定值”。文[2]注意到性质中“各边中点”的特殊性，在二维空间（平面）上作了一般的推广。笔者运用类比的思考方法：把矩形和等对棱四面体（或长方体）类比，把圆周和球面类比，将这一性质拓展到三维空间中而获得颇为有趣的结论：定理等对校四面体外接球面上任一点到该四面体的各面三角形重心的距离的平方和为定值。何谓等对棱四面体，我们称三组对核分别相等的四面体为等对校四面体，过四面体每条校可作唯一平面平行于对棱，六个面围成…     

Desargues定理的再推广

文[1]将射影几何著名的Desargues透视三点形定理推广到三维射影空间P3的四面体和完全n点形（体）中,本文将该定理进一步推广到P3的三面（三棱）锥面、完全n（n≥3）面锥面和完全n棱锥面中。     

浅谈平几与立几的类比

本文从立体几何课本一道习题谈到直角三角形和三直角四面体的性质的类比,进一步谈到圆与球的某些性质的类比,并就圆内接三角形的面积公式和球内接四面体的体积公式的证明方法也作了类比。     

三角形张角公式的类比

[1]根据[2]、[3]对三角形与四面体的类比性，把三角形的角平分线相关性质类比到了四面体二面角平分面上，得到两个结论。读后深受启发，既然三角形角平分线性质能类比到四面体，那么三角形张角公式能否类比到四面体呢？对此，笔进行了研究，得到如下两个结果。     

四面体中的三个定理及其应用

众所周知,在三角形中有正弦定理、余弦定理、射影定理,它们揭示了三角形中边角间的重要关系.这三个定理联系紧密,并可互相推出.在四面体中,也有类似的三个定理,它们表示了面角与二面角之间的关系,当然也可彼此互推. 在四面体O-ABC中,设三个面角分别为α、β、γ,对应的二面角分别为θ-α、θ-β、θ-γ,（如图1）则有 定理1 cosα=cosβ·cosγ sinβ·sinγ·cosθ_α cosβ=cosα·cosγ sinα·sinγ·cosθ_β cosγ=cosα·cosβ sinα·sinβ·cosθ_γ 证明 利用有关射影的定理:（1）平面上折线的各边射影之和等于封闭线段在射影轴上的射影.（2）直线在轴上的垂直投影等于被投线段的长度乘以该线段和轴的交角的余弦.     

直角四面体中的射影定理与Pythagora s 定理

本文将直角三角形的射影定理与Pythagorasps 定理推广到直角四面体中,     

关于正弦定理与余弦定理等价性的质疑

近年来，在许多数学刊物上都载文（如文①、②、③）论证正弦定理与余弦定理的等价性，认为正弦定理和余弦定理是可以相互推出的。笔者通过仔细研究认为：在现行中学数学知识体系中正弦定理与余弦定理并不等价，它们是相互独立的，从其中一个是推不出另一个的。兹分析如下，供商榷。一、从正弦定理不可能推出余弦定理按现行中学数学教材体系显然有余弦的射影定理余弦定理余弦定理勾股定理勾段定理两点间距离公式正弦和角公式勾股定理（这是因为当面△ABC为直角三角形具角C＝90°时，有sinA＝a／c，sinB＝b／c，cosA＝b／c，cosB＝a／c，…     

Pascal定理与Brianchon定理的推广

运用空间对偶原理，将射影几何著名的Pascal定理和Brianchon定理以及它们的推论推广到三维射影空间中的简单n面推面与简单n棱锥面中（n＝3，4，5，6）。     

四面体的几个新性质

四面体是三角形在空间的推广,因此三角形的许多性质可以推广到四面体上去. 本文以向量为工具,把三角形的余弦定理、勾股定理以及"在直角三角形中,30°的角所对的边是斜边的一半"等4个定理推广到四面体上.     

余弦定理在空间四面体中的推广及应用

余弦定理是中学生必须掌握的数学基本知识之一,它揭示了三角形边与角的一种重要关系,运用它可解决三角形的一类边角问题.这里结合高中立体几何教学实践,将余弦定理的形式从平面推广到空间四面体,并用以指导学生解决异面直线间的距离和二面角等困难的问题,有助于提高学生解题思维的形成和扩展.     

例谈高等几何观念下对平面几何问题的审视

对一道平面几何竞赛题运用初等方法给出证明后,通过运用解析法、射影几何方法的证明,可以将其推广到三角形与二阶曲线相切的情形。由此更深层次地透视出高等几何观念下几何图形的性质。     

例谈高等几何观念下对平面几何问题的审视

对一道平面几何竞赛题运用初等方法给出证明后,通过运用解析法、射影几何方法的证明,可以将其推广到三角形与二阶曲线相切的情形.由此更深层次地透视出高等几何观念下几何图形的性质.     

运用射影思想探索解几综合题

运用射影思想探索解几综合题李若芬（青海省西宁十二中８１０００１）《解析几何》、课本中介绍的两点间的距离公式，线段的定比分点公式，直线斜率公式以及点到直线的距离公式，都是通过作点或线段在坐标轴上的射影，化二维空间的问题为一维空间的问题，利用平几的有关知...     

正余弦定理的若干证明与思考

通过作高化归、等面积、借助向量、数形结合等手段给出了正弦定理和余弦定理若干证明方法.根据正余弦定理互相推证说明两个定理之间的等价关联性.在三角形中利用投影指出了正余弦定理的几何特征并得到任意三角形的射影定理.