塞瓦定理与三线共点

三线共点问题是数学竞赛中的热门问题之一,各种辅导书上多有介绍,许多书上都提到可用塞瓦定理的逆定理来证明,但例题偏少且对这一方法的强调也不够,实际上,塞瓦定理的逆定理应是证明三线共点的首选工具之一,凡是具有这种图形或添加辅助线后可作出这种图形的题目,都可以考虑使用塞瓦定理的逆定理,成功率是很高的。     

对几何逆定理的一点认识

几何中的定理不外乎两大类,其一是性质定理;其二是判定定理。其实,如果性质定理存在逆定理的话,那么其逆定理均可作为判定定理。如平行线性质定理的逆定理便可用来判定两直线是否平行;勾股定理的逆定理可用来判定一个三角形是否直角三角形;相交弦定理的逆定理可用来判定四点是否共圆;梅涅劳斯定理的逆定理可用来判定三点是否共线;塞瓦定理的逆定理可用来判定三线是否共点,等等。这样的例子是屡见不鲜的。     

平面几何中几个常用的定理

第一讲梅涅劳斯定理和塞瓦定理梅涅劳斯(Menelaus)定理和塞瓦(Ceua)定理是研究三角形中“三点共线”与“三线共点”问题的两个互为对偶的著名定理,它们在解决数学竞赛题中,应用非常广泛. (一)梅氏定理及其逆定理     

用梅涅劳斯定理解竞赛题

众所周知,梅涅劳斯定理及其逆定理和塞瓦定理是几何证明中常用的重要定理,有趣的是,从1996年4月的全国初中联赛、集训队选拔考试,到10月份的全国高中联赛,再到1997年1月的冬令营共四个全国性的竞赛中各一道平面几何大题,尽管原答案都不是用海涅劳斯定理来证的,但事后却发现,4道题目都可以用梅涅劳斯定理和塞瓦定理来证,而且这些证法都是相当不错的。     

谈谈空间塞瓦定理及其逆定理

在平面几何中 ,有著名的塞瓦定理及其逆定理 (见文 [1]中Ｐ .2 4 4～ 2 4 6) .文 [2 ]中定理 6- 16与文 [3]中定理分别给出了塞瓦定理在三维空间的两个推广 .在三维空间中 ,其实我们可以提出更贴近平面情形的空间塞瓦定理及其逆定理 .定理 1(空间塞瓦定理 )　设Ｐ是四面体Ａ1 Ａ2 Ａ3 Ａ4内任一点 ,平面ＡｉＡｊＰ(ｉ ,ｊ =1,2 ,3 ,4 ,ｉ≠ｊ)与棱ＡｉＡｊ的对棱ＡｋＡｓ 相交于点Ｄｋｓ(Ｄｋｓ与Ｄｓｋ表示同一点 ) ,则　 Ａ1 Ｄ1 2Ｄ1 2 Ａ2·Ａ2 Ｄ2 3Ｄ2 3 Ａ3·Ａ3 Ｄ31 Ｄ31 Ａ1=Ａ2 Ｄ2 3Ｄ2 3 Ａ3·Ａ3 Ｄ34Ｄ34Ａ4·Ａ4Ｄ42Ｄ42 Ａ…     

塞瓦定理的推广及其应用

意大利数学家塞瓦(G.Ceva)在1678年发表了下面十分有用的定理:塞瓦定理.设X、Y、Z分别是三角形ABC三边BC、CA、AB上的点,如果直线Ax、ByOZ共点,则BX/XC·CY/YA·AZ/ZB=1逆定理.设X、Y、Z分别是三角形三边BC、CA、AB上的点,如果BX/XC·CY/YA·AZ/ZB=1那么直线AX、BY、CZ共点。我们可将塞瓦定理推广到四面体中。定理1设E、F、G、H、M、N分别是四面体ABCD     

角元塞瓦定理及其应用(一)

塞瓦定理与梅涅劳斯定理是数学竞赛范围内的两个重要定理．近几年来，使用这两个定理证明的试题频频出现，因而，不会运用这两个定理证题的人是很难取得好成绩的．     

卡诺定理的若干应用

数学家卡诺曾经发现，三角形与二次曲线之间存在一种非常美妙的关系．即卡诺定理设△ABC的三条边AB、BCCA（或其延长线）与一条二次曲线分别相交于P与P’、Q与Q’、R与R’（如图1），则这个命题的证明可参看拙文[l]，这里不赘述．利用这个定理，我们可以推导出一系列有趣的结论来．命题1设△ABC的三条边AB、BC、CA（或其延长线）与一条二次曲线分别相切于P、Q、R（如图2），则AQ、BR、CP三直线共点或互相平行．证曲线的切线是割线的特例，故由卡诺定理可知于是，由塞瓦定理的逆定理可知，AQ、BR、CP三直线共点或互相平行．…     

塞瓦定理的等价定理及其应用

众所周知,塞瓦定理在证明三线共点问题时的功用可以与梅涅劳斯定理在证明三点共线问题时的功用媲美.本文介绍一个与塞瓦定理等价的定理,有时候用它来证明三线共点比用塞瓦定理更简捷、方便.定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB(或其延长线)上的点,     

选用勾股定理及其逆定理的途径

勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理之一，其应用极其广泛．如何根据已知条件选用勾股定理及其逆定理呢？下面总结几条规律供同学们参考．     

利用韦达定理的逆定理解方程组

若x1、x2是方程的两根,这就是韦达定理,反之,若,则以x1,x2为两根的方程是,这是韦达定理的逆定理．若用它解某些特殊类型的二元二次方程组,则省时省力．例1解方程组：解原方程组可化为由韦达定理的逆定理可知,元二次方程的两根．解之,得＝3,．原方程组的解为例2解方程组：解原方程组变为由韦达定理的逆定理可知,是方程的两根．解之有兴趣的同学清做下列练习题．解方程组：利用韦达定理的逆定理解方程组@莫克伦!广西     

勾股定理及其逆定理的另证

勾股定理及其逆定理的证法很多．笔者运用平面几何中著名的托勒密定理．构造出托勒密定理满足的基本条件,再借助初中几何的圆及四边形等综合知识,对两个定理加以证明．利用构造的方法,对培养学生的创新思维具有抛砖引玉的功效．     

一元二次方程根与系数的关系(一)

一、知识要点1．一元二次方程报与系数的关系—韦达定理及其逆定理：若x1、x2是方程的两个根则特殊地，若X1、x2是方程的两个很，则这是韦达定理．反之，若和X2。是方投的两个很．特殊地，若，则X1和x2是方程的两个根．这是韦达定理的逆定理．初中代数课本把这两个定理统称为一元二次方程很与系数的关系．2．韦达定理及其逆定理的应用：韦达定理及其过定理可用来解决下列问题：（又）c知方提，不解方程，求关于它的两个极的某些代放式的值．如求上，1、。；。一。、。；‘＋。。‘、x；、。。＋，；x。‘、（1＋。－l）（1＋x。）等的值，…     

为“三垂线定理及其逆定理”正名

笔者从事中学数学教育、教学40多年，对“三垂线定理及其逆定理”（以下简称为“两个定理”）可谓“感情深厚”，但新课标与新教材却极其无情地将这两个定理取消了，又根据权威人士明确地答复．在考试中“凡直接应用三垂线定理或其逆定理者，该步不给分．”这令人大惑不解和难以接受．当然我们绝不应该感情用事。经过审慎、严谨、理性的深入思考，笔者的意见是：必须为这两个定理正名．必须恢复这两个定理应有的地位，必须充分发挥这两个定理应有的作用．     

浅谈韦达定理四种应用

韦达定理及其逆定理在数学中占有很重要的地位，其应用广泛．结合实例谈韦达定理四种应用，供参考．     

例析三垂线定理及逆定理的活用

三垂线定理是立体几何中最重要的一个定理,有人说它是立体几何的“精髓”,也有人将它比作立体几何的“骨骼”．事实上立体几何中与垂直有关的问题,三垂线定理或逆定理常常会扮演重要角色,在历年的高考中是常考不衰的内容之一．本文通过举例谈谈三垂线定理及逆定理的应用．     

微分中值定理的几个弱逆定理

通过讨论函数凹凸性定义的等价性，得到了微分中值定理的几个弱逆定理，即微分中值定理的逆定理成立的附加条件．     

再谈韦达定理及逆定理的应用

韦达定理及逆定理是研究一元二次方程的根与系数关系的两个重要结论,不仅是初中数学教材的重点知识,也是整个数学中的方程理论的重点基础知识．以下用具体题例来说明韦达定理及逆定理在初中数中的一此应用．     

一道高考压轴题的探究

评注 解法1和解法2分别从向量角度与斜率角度转化共线问题,并运用了平面几何中判定四点共圆最常用的两种方法：（1）运用直径所对圆周角的关系逆定理判断;（2）运用相交弦、切割线定理的逆定理判断．     

积分上限函数的具体化问题

高等数学中原函数的存在定理是重要的，但其逆定理并不成立．有些新编教材在习题中忽视了逆定理不成立这一事实，从而导致积分上限函数的具体化出现问题．要解决积分上限函数的具体化问题，必需要了解积分上限函数与原函数之间的关系．