加法与减法、乘法与除法不是互为逆运算

在小学数学教学中,常有教师提到“加法与减法互为逆运算”、“乘法与除法互为逆运算”。这种关系在现行小学数学教材中只明确了“减法是加法的逆运算”和“除法是乘法的逆运算”,那么,小学数学教材中为何不提“加法和乘法分别是减法和除法的逆运算”呢?要回答这个问题,必须弄清“运算”和“逆运算”的意义。“运算”和“逆运算”的概念建立在“映射”的基础上。具体地说:“运算是一种对应法则。设 M 是一个集合,对于 M 中的任意两个元素 a、b,根据某种法则,使 M 中有唯一确定的元素 c 与它们相对应,     

谈谈互为逆运算

代数运算是初等数学研究的主要内容之一，中学数学教师应该弄清楚逆运算和互为逆运算。我认为：加法的逆运算只有减法，减法的逆运算有加法和关法；乘法的逆运算只有除法，除法的逆运算有乘法和除法；乘方运算的逆运算有开方运算和对数运算，开方运算的逆运有乘方运算和对数运算。所以，“加法和减互为逆运算，乘法和除法互为逆运算，乘方和开方互为逆运算”的说法在定义上是不准确的。     

不能说它们“互为逆运算”

在谈到加法与减法、乘法与除法的关系时,不少数学教师说它们“互为逆运算”,笔者认为,只能说“减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算”,而不能说它们“互为逆运算”。在数学中,“互为”这一偏正词组的使用是比较严格的。如: 3的相反数只有-3,-3的相反数只有 3,我们就说“ 3与-3互为相反数”。同样的道理,我们还可以说“9与1/9互为倒数”;“30°的角与60°的角互为余角”;“60°的角与120°的角互为补角”等等。但是在谈到加法与减法,乘法与除法的关系时,不能说它们“互为逆运算”。我们知道,加法只有一种逆运算减法。如a b=c的逆运算为c-b=a     

对《不能说它们“互为逆运算”》一文的商榷

《教师之友》今年第5期刊登的文章《不能说它们“互为逆运算”》一文认为:虽然加法只有一种逆运算减法,但减法却有加法和减法两种逆运算,所以不能说加法与减法“互为逆运算”;同样,虽然乘法只有一种逆运算除法,但除法却有乘法和除法两种逆运算,所以不能说乘法与除法“互为逆运算”。我认为说“减法有加法和减法两种逆运算,除法有乘法和除法两种逆运算”是不对的。事实上,减法没有逆运算,除法没有逆运算。数的运算和逆运算,通常总是在给定的数集上定义的。我们知道,普通加法“ ”和减法“-”都是非负有理数集Q(下同)的一种运算,并且加法“ ”的逆运算是减法“-”;普通乘法“×”和除法“÷”都是正有理数集Q”(下同)的一种运算,并且乘法“×”的逆运算是除法“÷”。     

什么叫逆运算

小学数学课本谈到四则运算的关系时,指出“减法是加法的逆运算”、“除法是乘法的逆运算”;但课本没有说“加法是减法的逆运算”,也没有说“乘法是除法的逆运算”。现在要问:究竟什么叫做逆运算?为什么减法是加法的道运算、除法是乘法的道运算?课本为什么不说“加法是减法的逆运算”,也不说“乘法是除法的逆运算”?本文试就这些问题谈点肤浅的认识和体会,以供参考。数的运算,通常总是在给定的数集上定义的。设A是一个给定的数集,而(?)是一个给定的法则,如果根据法则(?),对于从集A中按先后顺序取出来的任何两个数a与b,都能得到集A中的一个数C,即有     

加法减法互为逆运算吗

现行统编小学数学课本第五册第二单元“加、减法的关系”一节教材中,在归纳了减法的意义后只写道:“减法是加法的逆运算。”但是在平时教学中有老师说:“减法是加法的逆运算,加法也是减法的逆运算,加、减法是互为逆运算关系。”某些出版社出版的有关备课用的参考书中也有类似的说法。加、减法是互为逆运算吗?对此,谈谈我们的一点意见。所谓“逆运算”,是指某一种运算是另一种运算反过来改变已知数量和要求数量的关系后的唯一的运算关系而言的。“互为逆运算”指的是一种运算是另一种运算的逆运算,另一种运算又是这一种运算的逆运算的关系。下面我们来分析一下加法与减法在运算上的关系。加法运算包括下面两个问题:     

教学小资料

自然数加法有两种定义方法。第一种是以基数理论为依据,以集合为基础概念来进行定义的:设A、B是两个不含有公共元素的有限集合,它们的基数分别是a、b;如果集合A、B的并集C的基数是c,那么c就叫做a与b的和,求和的运算叫做加法。另一种是以序数理论为依据,以自然数列为基础概念进行定义:设有自然数a、b,如果在自然数列中的数a之后再接着数出b个数来,恰好对应于自然数列中的数c,那么数c就叫做a与b的和,求和的运算叫做加法。目前所通用的小学数学课本中都是采用第一种定义为理论基础描述加法概念的,即把两个数合并成一个数的运算叫做加法。     

“加减法互为逆运算关系”不能成立吗?

加减、乘除是否分别互为逆运算关系?传统算术教材肯定了它们的逆运算关系,但现行中师小学数学基础理论教材则仅指明减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算,而不再提及“互逆关系”了。八四年《江苏教育》更载文指出“‘加减、乘除互为逆运算关系’不能成立”。一些杂志摘编或转载,影响很广。事实上,这一观点是很值得商榷的。我们知道,所谓概念明确,就是正确地掌握了概念的内涵和外延,揭示概念内涵的逻辑方法是定义,不同的“逆运算”定义下有不同的外延。传统的逆运算定义是:“两种运算中,第一种运算的条件是第二种运算的结果,而第二种运算的结果是第一种运算的条件,这两种运算叫做互为逆运算。”(注1)     

是否互为逆运算

对于加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算,在现行小学数学课本和中师《小学数学基础理论和教法》等书中没有明确指出,而仅提到减法是加法的逆法算和除法是乘法的逆运算。但在教学中,常有些教师说,加法与减法、乘法与除法互为逆运算,根据1982年5月测绘出版社出版的《数学小词典》中关于逆运算的定     

用类比法解复数的三类问题

1．复数的运算,类比多项式的运算 复数代数形式的加法、减法运算法则（a＋bi）±（c＋di）=一（a±c）＋（b±d）i; 复数代数形式的乘法运算运算法则     

加法和减法互为逆运算吗?

数学讲究严谨,因此教师课堂上所说的每一句话都不能犯知识性的错误。不少教师在教学中都想当然地认为,既然"减法是加法的逆运算",那么"加法也一定是减法的逆运算",甚至认为"加法与减法互为逆运算"。但是,大多数初等数学理论书籍中都     

谈减法的两种定义

在现行数学课本中,减法有两种定义。定义1 已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法。(小学数学课本的定义)定义2 已知两个数 a、b,要求一个数 c,使 c与 b 的和等于 a,这种运算叫做减法。(中师数学课本的定义)我们认为,这两种定义的实质是相同的,只是表述的形式有所不同。因为由定义2要求的 c 必须满足“c 与 b 的和等于 a”,可以看出已知的 a,就是两个数的和,b 就是其中的一个加数,要求一个数 c,就是求另一个加数。     

关于运算意义构建的思考

<正>小学数学中的运算主要有加、减、乘、除四种。目前,我们对加、减、乘、除这四种运算的定义基本上是这样的:加法,将两个数合并成一个数的运算叫加法;减法,已知两个数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算叫减法;乘法,求几个相同加数和的简便运算;除法,已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。从这些运算定义来看,加法是所有运算的源头。减法是依据加法来定义的,是加法的逆运算;乘法也是依据加法来定义     

培养儿童的验算习惯

培养儿童的验算能力和习慣,不仅对减少作业中的錯誤,提高算术教学质量有重要意义,而且对培养儿童的細致踏实作风和高度的責任感也有积极作用。培养儿童的验算习慣,首先要教会儿童验算的方法。在四則运算中,每一級运算的两种不同运算都互为逆运算,加法与减法互为逆运算,乘法和除法互为逆运算。根据这种关系,减法可以用加法来还原,差与减数相加等于被减数;除法可以用乘法来还原,商与除数的乘积(有余数的除法再加上余数)等于破除数。加法和乘法虽也可以分别用减法和除法来验算,但为了計算上的方便,一般根据加法和乘法中的交换律,交换加     

让学生在猜想、探究、验证中自主学习——“乘法运算律”教学片断与反思

<正>教学片断:师:昨天我们在数学王国里学习了加法的运算定律,谁来说说加法运算定律的内容及其字母表达式?(学生用语言叙述加法运算定律的内容)生1:a+b=b+a。生2:(a+b)+c=a+(b+c)。师:加法运算定律中有加法交换律、结合律,请你猜一猜,哪些运算中还有像加法这样的运算定律?生3:我猜减法中可能有交换律和结合律。生4:我猜乘法中可能有交换律和结合律,减法中没有。生5:我猜除法中可能有交换律和结合律,减法中没有。     

平面向量

考点解读向量的概念、加法和减法点击考点一向量的加法、减法(1)加法运算a! b"三角形法则O#$A #A$B=#O$B!a "ba!O Ab"B平行四边形法则#O$A #O$B=#O$C OABCa!b"!a "b运算性质:①a! b"=b" a!.②(a! b") c!=a! (b" c!).③a! 0"=0" a!=a!.坐标运算,设a!=(x1,y1),b"=(x2,y2)则a! b"=(x1 x2,y1 y2).(2)减法运算a!-b"三角形法则O#$A-#O$B=#B$A ABO a!b"a!-b"例1如图若ABCD是一个等腰梯形,AB∥DC,M、N分别是DC、AB的中点,已知#A$B=a!,A#$D=b",#D$C=c!,试用a!、b"、c!表示#B$C和#M$N.解作CE∥DA交AB于E点,作CF⊥AB于点F.因…     

转化——掌握有理数运算的关键

如果我们对有理数的加、减、乘、除、乘方运算仔细加以分析 ,就会发现在有理数运算中 ,加减法是统一的 ,乘除法是统一的 ,而乘方运算则是特殊的乘法 (相同因数相乘 ) ,只要理解了底数、指数的意义 ,乘方也就不难掌握了。由此可见 ,掌握有理数的加法和乘法运算是学好有理数运算的基础 ,而学会转化则是学好有理数运算的关键。有理数的加减法互为逆运算 ,它们既对立又统一。有了相反数的概念以后 ,有理数的加减法就可以互相转化 :　　因此 ,在有理数范围内 ,加法和减法运算都可以统一为加法运算。有理数的乘除法也互为逆运算。在有了倒数的概念…     

不定积分中的启发式教学

不定积分的概念较为抽象，其中各类积分法又不易掌握，只有从基本概念出发，由浅入探引出新概念，使各类积分法之间能自然衔接，才能利于学生更好地理解、掌握这些内容。怎样才能达到这一教学目的呢？下面是我讲课时的一些具体做法：一、在引入不定积分概念时，我首先由数的运算讲起：减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，开方是乘方的逆运算等c即在数的运算法则中，呈现出一对互为相反的逆运算。那么，相应于导数或微分的运算法则，是否也有它的逆运算呢？（这一提问，能引起学生对新知识的兴趣，启发他们去思考）也就是已知某一个函…     

学减法想统一

小学阶段,我们就知道减法是加法的逆运算,这就把减法与加法统一了起来.进入初中,我们已经学习了有理数的加法,有理数的减法运算能不能也统一到加法的运算中呢?     

“二”的神奇魔力

正1.数学中的"二"。对偶关系是对二者而言的,加法与减法,乘法与除法,乘方与开方,取指数与取对数,取三角函数与取反三角函数,微分与积分,多项式乘法与因式分解,就运算而言,它们互为逆运算,就函数关系而言,它们互为逆函数,就作为变换而言,它们互为逆变换,就密码学而言,它们互为加密与解密。合情推理和演绎推理是两种基本的推理,直接证明和间接证明是证明的两类基本方法,归纳推理和类比推理统称为合情推理,综合法和分析