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1.
性质 设△ABC的中线m_a、m_b、m_c构成△A'B'C',O、O'分别是△ABC和△A'B'C'内一点,且∠OAB=∠OBC=∠OCA=α,∠O'A'B'=∠O'B’C'=∠O'C'A’=α',那么α=α'。 证明 记△ABC和△A'B'C'的面积分别为△、△'。在△ABC中,由勃罗卡角等式及正、余弦定理,得ctgα=ctgA ctgB ctgC=cosA/sinA cosB/sinB cosC/sinC=(b~2 c~2-a~2)/(2bc sinA) (c~2 a~2-b~2)/(2ca sinB) (a~2 b~2-c~2)/(2ab sinC)=(a~2 b~2 c~2)/(4△)。在△A'B'C'中,同理可得ctgα'=(m_a~2 m_b~2 m_c~2)/(4△)。据熟知的结论,有 m_a~2 m_b~2 m_c~2=3/4(a~2 b~2 c~2), △'=(3/4)△, ∴ctgα=ctgα'。 又α、α'∈(0,π/2),故α=α'。 相似文献
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在选择题中常能见到如下一类的判定三角形形状的问题。例1 在△ABC中有(a~3+b~3-c~3)/(a+b-c)=c~2且sinAsinB=3/4,则△ABC必定是( ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等边三角形 (D)等腰三角形或直角三角形。例2在△ABC中有(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,则△ABC是( ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 相似文献
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殷堰工 《苏州教育学院学报》1984,(1)
余弦定理的重要性不言而喻,这里仅给出它的一个变式及其应用。 一、余弦定理的变式 余弦定理是我们熟知的。即在△ABC中,有cosA=(b~2+c~2-a~2)/2bc(#)。对cosB、cosC有类似的式子。因为在△ABC中,sinA≠0,可对(#)式两边同除以sinA,得cosA/sinA 相似文献
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射影定理c=a cosB b cosA、正弦定理a/cosA=b/cosB=c/cosC痴和余弦定理c~2=a~2 b~2-2ab cosC是关于三角形的边角关系的三个基本定理,但通常三个定理的证明是 相似文献
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三角形内角的余弦方程及应用 总被引:1,自引:0,他引:1
设△ABC的三个内角为A,B,C,其对边分别为a,b,c;内切圆、外接圆的半径分别为r,R;半周长p=(1/2)(a b c),则cosA,cosB,cosC是方程的三个根. 证 在△ABC中,有tg(A/2)=r/(p-a),即两边平方,化简得 ∴cosA是方程的一个根,同理cosB,cosC也是方程的根。 相似文献
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三角中的一类题目,若巧用比和比例将显得较为简捷,请看下面几例: [例1] 已知(cosx)/a=(cos3x)/b(cosx≠0,) 求证:(a-b)/(3a b)=tg~2x 证:设(cosx)/a=(cos3x)/b=1/k 则a=kcosx,b=kcos3x ∴(a-b)/(3a b)=(kcosx-kcos3x)/(3kcosx kcos3x) =(2sin2x·sinx)/(4cos~3x)=(4sin~2x·cosx)/(4cos~2x)=tg~2x [例2] △ABC中,求证:cosA cosB cosC>1 证:由射影定理得, a=bcosC cdosB,b=ccosA acosC 两式相加得:a b=(a b)cosC c(cosA cosB)。∴ (a b)(1-cosC)=c(cosA cosB) 相似文献
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△ABC 中,若 a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 所对的边,△为 ABC 的面积,可得 ctgA=cosA/sinA=b~2 c~2-a~2/2bcsinA=b~2 c~2-a~2/4△,tg A/2=1-cosA/sinA=2bc-b~2-c~2 a~2/2bcsinA 相似文献
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刘才华 《中学数学研究(江西师大)》2006,(11):47-48
习题1:在△ABC 中,sinA=5/(13),cosB=3/5,求 cosC 的值(见文[1]第150页第8题).配套的教师用书提供的参考解答为:(56)/(65)和(16)/(65).注意0相似文献
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在△ABC中引入代换:a=y+z,b=z+x,c=x+y于是可得三内角的一系列代数关系式:cosA=(b~2+c~2-a~2)/2bc=(x(x+y+z)-yz)/(z+x)(x+y)=1-(2yz)/(x+y)(x+z). 相似文献
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《数学通报》2005年8月问题1569号,在锐角△ABC中,试证: (cosB cosC)2 (cosC cosA)2 (cosA cosB)2≤3 ①该刊第9期刊书了解答,并指出①可等价变形为: 相似文献
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和面积在平面几何中的地位相当,体积在立体几何中也有一番妙用。举例说明如下。一利用体积求点到平面的距离例1 长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c,求顶点B_1到截面A_1BC_1的距离。解由题设,长方体AC_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c, ∴A_1B=(a~2+c~2)~(1/2),BC_1=(b~2+c~2)~(1/2),A_1C_1=(a~2+b~2)~(1/2) 故cos∠BA_1C_1=((A_1B)~2+(A_1C_1)~2-(BC_1)~2)/(2A_1B·A_1C_1)=(a~2+c~2+a~2+b~2-b~2-c~2)/(2((a~2+c~2)~(1/2))·(a~2+b~2)~(1/2))=(a~2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))sin∠BA_1C_1=(1-(a~4)/(a~2+c~2)(a~2+b~2))~(1/2)=(a~2b~2+b~2c~2+c~2a~2)~(1/2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2)) 相似文献
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擂题(26)在锐角△ABC中,设m=cosA cosB cosC,求证:(1 m)~3≥27(cos~2A m)(cos~2B m)(cos~2C m). 相似文献
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龚辉斌 《中学数学研究(江西师大)》2007,(12):19-20
文[1]用导数的方法证明了下面的结论在△ABC中,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC<2.注意到A:B=C=π/3时,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC的值等于3~(1/2),笔者不禁产生联想:` 相似文献
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设△ABC的边和面积分别为a,b,c和△,则a~2 b~2 c~2≥3~(1/4)△. 证1 比较法.a~2 b~2 c~2-3~(1/4)△=2(b~2 c~2)-4bcosin(A 30°)≥2(b-C)~2≥0. 证2 (a~ b~2 c~2)-(3~(1/4)△)~2=(a~2 b~2 c~2)-3(a b c)(a b-C)·(b c-a)·(C d-b)=2[(a~2-b~2)~2 (b~2-c~2)`2 (c~2-a~2)~2]≥0. 相似文献