一个不等式及其应用

定理设x_1∈R~+(i=1,2,…,n),且p、q∈N,p≥q 则(x_1~p+x_2~p+…+x_n~p)/(x_1~q+x_2~q+…+x_n~q)≥(x_1x_2…x_n)~((p-q)/n)。 (当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。证明根据幂平均——算术平均不等式:若x_1∈R~+,m≥1(i=1,2,…,n),则(x_1~m+x_2~m+…+x_n~m)/n≥((x_1+x_2+…+x_n)/n)~m(当且仅当x_1+x_2=…=x_n时等号成立)。     

巧解一类复合最值题

若x_1,x_2,…,x_n（n∈N＊）为正实数,则max{x_1,x_2,…,x_n}≥（x_1＋x_2＋…＋x_n）/n≥（x_·x_2·…·x_n）~（1/2）≥min{x_1,x_2,…,x_n},当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立.这是一个浅显的结论,     

倒数关系不等式及其应用

本文旨在探讨不等式中一类常见、重要的不等式:(x_1 x_2 …x_n)(1/x_1 1/x_2 …1/x_n)≥n~2并通过例题,说明利用这个不等式求解含有分式的不等式有关的问题的求解,不仅有章可循,而且比用其它方法求解更为简洁.命题:设x_1,x_2, …,x_n是n个正实数,(?)∈N且n≥2测(x_1 x_2_…x_n)(1/x_1 1/x_2 …1/x_n)≥n~2当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立,这个不等式就是本文所要介绍的倒数关系不等式.     

不等式(a+1/a)(b+1/b)≥25/4的再推广

目前已有人把(a+1/a)(b+1/b)≥25/4(a>0,b>0,a+b=1)推广为:设x_i>0(i=1,2,…,n)且x_1+x_2+…+x_n=k,则(x_1+1/x_1)(x_2+1/x_2)…(x_n+1/x_n)≥(n/k+k/n)~n当且仅当x_1=x_2=…=x_n=k/n时取等号。本文对该不等式进一步作了推广,得出两个新的结果。欲知情况如何,请看该文。     

贝努利不等式的应用

若n∈N,n>1,则(1 x)~n≥1 nx. 其中等号当且仅当x=0时成立. 这就是著名的贝努利不等式.高中《代数》下册第123页用数学归纳法给出了它的证明,但未介绍它的应用.本文兹举几例,供教学时参考. 例1若x_i>-1,(i 1,2,…,n),n∈N,且x_1 x_2 … x_n=0,求证 (1 x_1)~n (1 x_2)~n … (1 x_n)~n≥n. 证明:当n=1时,等号显然成立. 当n>1时,由贝努利不等式知(1 x_1)~n (1 x_2)~n … (1 x_n)~n≥(1 nx_1) (1 nx_2) … (1 nx_n)=n n(x_1 x_2 … x_n)=n.     

Jensen不等式在处理一类竞赛题不等式中的应用

<正>Jensen不等式[1]:若函数y=f(x)是(a,b)上的凸函数,则对任意x_1,x_2,…,x_n∈(a,b)都有f(x_1+x_2+…+x_n/n)≤f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n)/n.其中等号当且仅当x_1=x_2=…=x_n时成立.Jensen不等式反映了凸函数的一个基本性质,它有着极其广泛的应用.本文中我们利用此不等式     

用不等式求三角函数式极值(最值)常见错误剖析

求三角函数式的极值,最常用的不等式及其性质、定理,可归纳为以下三个方面: 1.一元二次方程在实数范围内有解,则判别式大于或等于零,即b~2-4ac≥0; 2.三角函数具有有界性,如-1≤sinx≤1,-1≤cos≤1; 3.x_1 x_2 …x_n/n≥(x_1·x_2…x_n)~(1/n)(x_1,x_2,…x_n均为正数,n为正整数,当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。 利用不等式求三角函数式的极值时常见错误剖析如下:     

用不等式求函数极值常见错误分析

利用不等式,x_1 x_2 … x_n/n≥(x_1x_1…x_n)~(1/n)(x_1,x_2…,x_n>0,仅当x_1=x_2=…=x_n时取等号)可求解函数极值问题。但学生在使用时往往不注意上式成立的条件,从而造成错解。举例如下。     

有奖解题擂台(117)

<正>题设:x_i为正实数(i=1,2,…,n),且x_1x_2…x_n=1,n∈N,n>3,m是实数,则当m≥n-2或m≤-n+1时,有sum from i=1 to n x_i^m/((1+x_1)…(1+x_(i-1)(1+x_(i+1)…(1+x_n))≥n/2m/((1+x_1)…(1+x_(i-1)(1+x_(i+1)…(1+x_n))≥n/2^(n-1).第一位正确解答者将获得奖金100元.     

也谈1984年高考数学第八题的解法

题:设a>2,给定数列{x_n},其中x_1=a,x_(a+1)=x_n~2/2(x_n-1),(n=1,2,…)。求证(1) x_n>2,且x_(n+1)/x_n)<1(n=1,2,…);(2) 如果a≤3,那么x_n≤2+(1/2~(n-1)(n=1,2,…)(3) 如果a>3,那么当n≥lg(a/3)/lg(4/3)时,     

一个不等式的变形公式的应用

当 n 个正变数之和为定值时,求它们之积的最大值的问题,常用著名的均值不等式(I)解.(x_1 x_2 …… x_n)/n≥(其中x_i(i=1,2,…,n)是正数,当且仅当 x_1=x_2=…=x_n 时等号成立.)(Ⅰ)但应用不等式(Ⅰ)求最大值时,有时还需要一些技巧,利用巧妙变形才能找到和的定值,     

函数f(x)=1/(t-x)迭代周期的确定

有这样一个问题:是否存在互不相等的x_1,x_2,…x_n(n≥3),满足 x_1 1/x_2=x_2 1/x_3=…=x_(n-1) 1/x_n =x_n 1/x_1=t. 本文给出一个充要条件,从而解决这个问题。 定理 对t≠2,n≥3,函数 f(x)=1/t-x 在定义域内有n个两两不同的x_1,x_2,…,x_n,使     

1997年高中联赛两试题的解法探索

1.1997年联赛二试第二题试问:当且仅当实数X_0,X_1,….x_n(n≥2)满足什么条件时,存在实数y_0,y_1,…,y_n使得Z_0~2=Z_1~2 Z_2~2 … Z_n~2 ①成立,其中z_k=x_k iy_k,i为虚数单位,k=0,1,…,n,证明你的结论.解 当且仅当实数x_0,x_1,…,x_n(n≥2)满足x_0=0条件时,存在实数y_0,y_1,…,y_n使得Z卜Z卜Z打一十ZS O成立.     

迎新趣题一则

求正整数n和x_1、x_2、x_3、…、x_n,使x_1+x_2+x_3+…+x_n=1987,且积x_1·x_2·x_3·…·x_n尽可能地大.     

从一道高考题的错证看学点数理逻辑的必要性

1986年全国高考试卷中有这么一道题: 已知 x_1>0,x_1≠1,且x_(n+1)=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1)(n=1,2,3…) 求证数列{x_n}或者对任意自然数n都满足x_nx_(n+1)。这题有不少证法,拙作《递推式》(上海科技出版社1989年版)中曾引了五种证法。高考结束后,在一份数学杂志上曾刊登了一则利用反证法的证明。兹将它摘录如下: “证”若设{x_n}对任意的自然数n既不满足x_nx_(n+1),则应满足x_n=x_(n+1)。再由题设可得 x_n=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1) 3x_n~3+x_n=x_n~3+3x_n ∴x_n=0,1,-1。     

不等式multiply from i=1 to n X_i-sum from i=1 to n X_i>2~n-2n及其简单运用

本文介绍不等式∏≥2~n-2n,并且说明它的一些简单运用。定理设整数 x_1≥2,i=1,2,…,n,那么∏≥2~n-2n.i=1 i=1证明不失一般性,令 x_1≥x_2≥…≥x_n.对 n 用数学归纳法。当 n=2时,x_1·x_2-(x_1+x_2)=x_1(x_2-1)     

一道自主招生试题的推广与加强

题目有小于1的正数x_1,x_2,…,x_n满足x_1+x_2+…+x_n=1.证明:sum from n to i=1 1/(x_i-x_i~3)>4.此题为2010年浙江大学自主招生试题.文[1]经过探究,发现可以加强为:命题1若x_1,x_2,…,x_n为小于1的正数,且x_1+x_2+…+x_n=1,则     

试论韦达定理及其应用

1559年,法国数学家韦达提出一个关于一元n次方程根与系数关系的定理:设方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+a_2x~(n-2)…+a_(n-1)x+a_n=0的n个根为x_1,x_2,…,x_n,那么x_1+x_2+…+x_n=-(a_1)/(a_0)x_1x_2+x_1x_3+…+x_1x_0+…+x_(n-1)x_n=(a_2)/(a_0)     

1997年全国高中数学联合竞赛

第一试 一、选择题(本题共36分,每小题6分) 1.已知数列{x_n}满足x_(n 1)=x_n-x_(n-2)(n≥2),x_1=a,x_2=b,记S_n=x_1 x_2 … x_n,则下列结论正确的是( )。     

介绍一个不等式

高中代数下册(必修)第12页的练习中有这样一个不等式: x/y y/x≥2(x、y∈R~ )。 在某些资料中有另一个不等式: x/(y z) y/(z x) z/(x y)≥3/2(x、y、z∈R~ )。 一般地,对于n个正数,我们有: 定理:设x_1,x_2,…,x_n均为正数,且x_1 x_2 … x_n=A,则 x_1/A-x_1 x~2/A-x_2 … x_n/A-x_n≥n/n-1(n∈N,且n≥