导数应用 高瞻远瞩

导数是新课标下的新增内容.导数的工具性拓展了导数的学习与研究空间,除了应用导数解决函数的单调性、最值外,在求函数的值域、证明不等式、距离等方面都有广泛的应用,在高考复习时要重视.一、应用导数的定义求函数的极限【例1】已知f(x)=lnx,求极限limx→1f(x)-f(1)x-1的值.解:∵f(x)=lnx,f′(x)=1x,∴limx→1f(x)-1x-1=f′(1)=1.点评:导数定义的等价形式为f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.二、应用导数的工具性求函数的单调区间、最值及值域【例2】求函数f(x)=xcosx-sinx(x≥0)的单调递增区间.解:f′(x)=-xsi…     

∫ from x=a to ∞ (f(x)dx)收敛与(lim from x→ ∞ f(x))=0的关系

本文讨论了∫ ∞a f (x) dx收敛与 limx→ ∞f( x) =0的关系。首先举出反例说明 ,一般情况下∫ ∞a f( x) dx收敛不能推出 limx→ ∞f( x) =0 ;其次得到∫ ∞a f( x) dx收敛可以保证至少存在一列 {xn}∞n=1 ( xn→ ∞当 n→ ∞时 ) ,使得 limx→ ∞f( xn) =0成立 ;最后证明了如果 f( x)一致连续、或单调、或∫ ∞a f′( x) dx收敛 ,那么只要∫ ∞a f ( x) dx收敛 ,就有 limx→ ∞f( x) =0。     

重要极限limx→0(1+x)1/x=e的推广及应用

主要利用f(x)在x0点连续等价于“f”与“lim”可以交换次序这一性质推广了公式limx→0(1 x)1x=e,并给出了这些结论的应用。     

浅谈两个重要极限及其应用

极限 limx→ 0sin xx =1和 limx→∞ 1 1xx=e是微积分中的两个重要极限 .笔者在多年的教学过程中发现 ,学生对这两个重要极限的理解不深 ,在应用它们时经常出错 .本文结合有关例题 ,对这两个重要极限的本质特征进行讨论 ,提出了应用这两个重要极限的主要思路 .1　 limx→ 0sin xx =1这个重要极限可推广为 limf( x )→ 0sin f (x)f (x) =1,它的特征是分子中的弧度数与分母 f (x)相同 ,并且都是无穷小量 (f (x)→0 ,当 x→ x0 或 x→∞时 ) .例 1　求 limx→ ∞ xsin 1x.解 :原式 =limx→ ∞sin 1x1x=1,其中当 x→ ∞时 1x→ 0 .考虑 limx…     

对一个重要极限的注记

通过对极限limx→ 0(1+x) μ -1x =μ的讨论 ,得出其推广形式limx→ 0[1+f(x) ] μ-1g(x) =μL ,limx→ 0f(x)g(x) =L　 (其中L可为 ±∞ ) .     

∫a^＋∞f（x）dx收敛与limx→＋∞f（x）=0的关系

本文讨论了∫a^ ∞f(x)dx收敛与limx→ ∞f(x)=0的关系。首先举出反例说明，一般情况下∫a^ ∞f(x)dx收敛不能推出limx→ ∞f(x)=0；其次得到∫a^ ∞f(x)dx收敛可以保证至少存在一列{xn}n=1∞(xn→ ∞当n→ ∞时）使得limx→ ∞f(x)=成立；最后证明了如果f(x )一致连续、或单调，或∫a^ ∞f‘(x)dx收敛，那么只要∫a^ ∞f(x)dx收剑，就有limx→ ∞f(x)=0。     

“极限”的小结

一、基本概念 1.数列的极限,是当项数n无限增大时,数列的项a_n无限趋近于常数A,记作(?) a_n=A,即当n→∞时,a_n→A_o而函数的极限有两种情况:(?)f(x)=A,(?)(x)=A_o要注意x→∞包括x→ ∞和x→-∞,x→x_o包括x→x_o~ 和x→x_o(?) 2.函数f(x)在点x=x_o处连续必须具备以下三个条件,缺一不可:①f(x)在点x_o的某一邻域内有定义;②(?)(x)存在;③f(x)在点x_o处的极限等于f(x)在点x_o的函数值,     

0/0型函数极限求解谈

问题1求下列函数的极限:(1)limx→1x3-1/x-1. 以上极限是当x趋近于某一定值x0时,分子、分母的极限均为0,这样的极限称为0/0型极限.解答如下:     

高等数学(1)综合练习

填空题1)f(x-1) =x2 -2x ,则 f(x) =。2 )函数y=1ln(x-2 ) + 4 -x的定义域是。3 )设f(x)的定义域为 (-∞ ,+∞ ) ,则函数 f(x) +f(-x) 的图形关于对称。4)极限limx→ 0x2 sin 1xsinx =。5)函数 y =x2 cosxln｜x + 1｜ 的间断点是x=。6)设f(x) =x2 -4x + 5,则 f(f′(x) ) =。7)函数 y =(x+ 1) 2 + 5的单调增加区间是 。8)极限limx→ 0∫x0 costdtx =。9)设G(x) =∫x2asintdt,则G′(x) =。10 )曲线 y =x3 -9x2 + 16的凸区间是 。11)设 y =ln(x2 + 1) ,则y″(0 ) =。12 )∫4- 416-x2 dx =。13 )已知F(x)是f(x)的一个原函数 ,那么∫f(ax +b)…     

高等数学例题解析2

3　计算应用题1)计算下列极限 :(1)limx→ 3x- 3x+1(x2 - 2x - 3)(2 )limx→∞(x +1x - 3) -x(3)limx→∞(x - 1) 10 (2x +3) 512 (x- 2 ) 15(4)limx→ 01+x - 1sin2x解　 (1)∵　 x - 3x +1(x2 - 2x- 3) =x- 3x +1(x +1) (x- 3) =1x+1(x+1)∴　limx→ 3x- 3x+1(x2 - 2x - 3) =limx→ 31x+1(x+1) =18(2 )limx→∞(x +1x - 3) -x =limx→∞(x - 3x +1) x =limx→∞(1- 3x) x(1+1x) x =limx→∞((1- 3x) -x3 ) -3limx→∞(1+1x) x =e-3e =1e4(3)题目所给极限式分子的最高次项为 :x10 · (2x) 5=32x15分母的最高次项为 12x15,由此得 :limx→∞(…     

《高等数学(1)》自测模拟试题

一、填空题1.函数f(x)=11n(x+2)+4-x2的定义域是。2.函数f(x)=1nx+11-x的定义域是。3.若函数f(x)=5exx<03x+ax≥0在点x=0处连续,则a=。4.设f(x)=exx≥0xk+1x<0在x=0处可导,则k=。5.已知f(x)在x=0处可导,则limx→0f(2x)-f(0)x=。6.若y=xx,则dydx。7.若连续函数f(x)在区间a,b内恒有f′(x)<0,则此函数在a,b上的最大值是。8.设f(x)=x2-3x+2,则f(f′(x))=。9.极限limx→0∫x0costdtx=。10.limx→0∫x0sintdtx2=。11.∫exf′exdx=。12.已知函数f(x)的一个原函数是arctan2x,则f(x)=。13.根据定积分的几何意义,∫3-39-x2dx=。14.广义积分∫+∞adxxpa…     

2004年高考（全国卷Ⅱ）数学试题与课本例习题对照

一、课本例习题的改编题(一)数字的改编1.理(1)、文(1):已知集合M={x｜x2<4},N={x｜x2-2x-3<0},则集合M∩N=()A.{x｜x<-2}B.{x｜x>3}C.{x｜-1相似文献   

重要极限lim(1+1/x)~x=e from x→∞的推广——1~∞型极限的求法

将重要极限limx→∞(1+ 1x) x =e(或limx→ 0 (1+ 1x) 1x =e)推广为极限limx→x0[1+u(x) ] v(x) =ek(其中limx→x0u(x) =0 ,limx→x0v(x) =∞ ,limx→x0u(x)v(x) =k) .可以解决一般的 1∞ 型极限的求法 ,当k为无穷大或不存在时也适用 .因此 ,为求函数的极限提供了一种简便有效的方法 ,具有很强的实用性     

重要极限的推广及应用

主要利用∫(x)在x0点连续等价于“∫“与lim“可以交换次序这一性质推广了公式limx→0(1 x)1/x=e,并给出了这些结论的应用.     

打破常规简捷求解

函数f(x)在x = x0 处取得极限的点称之为“极限点”,函数 f(x) 在点 x = x0 处连续的点称之为“连续点”,函数f(x)在x = x0处有导数的点称之为“可导点”,可导函数y = f(x)使f′(x0) = 0 的点 x0 叫做函数f(x)的“驻点”,函数f(x)在x = x0 处取得极值(极大值或极小值) 的点称之为“极值点”,函数f(x)在x = x0 处取得最值(最大值或最小值)的点称之为“最值点”.函数中这五类点很容易混淆,理清它们之间的关系对函数的“极限”和“导数”学习很有帮助.一、函数的“极限点”与“连续点”的关系当自变量x无限地趋近常数x0(但 x不等于x0)时,若…     

关于特殊二元函数极限的讨论

由一元函数f(x)在点x0的极限存在，很容易地得出特殊二元函数F(x，y)=f(x)在点(x0，y0)的二重极限也存在。但若limx→x0f(x)=A,f(x)在x0有意义，且f(x0)≠A，则二重极限linx→x0,y→y0f(x)不存在。     

∫+∞af(x)dx收敛与limx→+∞f(x)=0的关系

本文讨论了∫+∞af(x)dx收敛与limx→+∞f(x)=0的关系.首先举出反例说明,一般情况下∫+∞af(x)dx收敛不能推出limx→+∞f(x)=0;其次得到∫+∞af(x)dx收敛可以保证至少存在一列{xn}∞n=1(xn→+∞当n→+∞时),使得limx→+∞f(xn)=0成立;最后证明了如果f(x)一致连续、或单调、或∫+∞af′(x)dx收敛,那么只要∫+∞af(x)dx收敛,就有limx→+∞f(x)=0.     

f(x)dx收敛与f(x)=0的关系

本文讨论了∫+∞af(x)dx收敛与limx→+∞f(x)=0的关系.首先举出反例说明,一般情况下∫+∞af(x)dx收敛不能推出limx→+∞f(x)=0;其次得到∫+∞af(x)dx收敛可以保证至少存在一列{xn}∞n=1(xn→+∞当n→+∞时),使得limx→+∞f(xn)=0成立;最后证明了如果f(x)一致连续、或单调、或∫+∞af′(x)dx收敛,那么只要∫+∞af(x)dx收敛,就有limx→+∞f(x)=0.     

关于高职数学函数连续性的教学

函数连续性的概念对高职学生而言,是比较难理解和掌握的。教学上如何通过教师的引导,让学生更好地把握函数连续性的本质特征以及研究方法呢？经过多年的教学实践发现,从反例入手,借助函数的图像分析,可以使学生更好地理解为什么函数在点x0满足了条件lim△x→0△y=0或limx→x0f（x）=（fx0）就能够连续,并可进一步建立函数连续性的整体概念。     

高一（上）数学期末测试题及参考答案

一、选择题 :(本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 )1.下列四个命题中 ,不正确的是 (　 )(A)若 A∩B= ,则 A∪B= (B)若 A∪ B=I,则 A∩ B= (C)若 A∪ B= ,则 A=B= (D)若 A∩B=A,则 A B2 .已知 A={ x|0≤ x≤ 4} ,B={ y|0≤ y≤ 2 } ,从 A到 B的对应法则 f分别为 :1f:x→ y=12 x;2 f:x→ y=x- 2 ;3f:x→ y=x ;4f :x→ y=|x- 2 |,其中能构成映射的个数是 (　 )(A) 1个　 (B) 2个　 (C) 3个　 (D) 4个3.已知 f(x)是奇函数 ,则下列各点中在函数y=f (x)图象上的点的是 (　 )(A) (a,f (- a) )　　 (B) (1a,- f (1a) )(C…