三角形中的分类讨论思想

三角形是平面几何中最简单、最基本的图形，也是同学们最熟悉的图形，中考中常碰见这一类题．这类题常常不给出几何图形，很多同学在做题时不知道分类讨论，导致结论不完整．为帮助同学们渡过这个难关．现将有关三角形中需要分类讨论的情况总结如下．供同学们学习时参考．     

全等三角形的存在性问题解题策略

解答存在性问题的策略：一般从存在的方面入手,辅以方程思想、数形结合思想和分类讨论思想等进行计算、推理,对得出的结果进行分析、验证,寻求结论成立的条件。若能找到这个条件（与题设、定理、公理相吻合）,则问题的回答是肯定的,即存在成立;若找不到这个条件或找到的条件与题设矛盾,则问题的回答是否定的,即结论不存在。这个探求结论的过程可以概括为假设--推证--定论,从而对“是否存在”做出准确判定和正确推断。     

用基础知识指导数学分类讨论

分类讨论是高考中要重点考查的数学思想。许多学生对什么时候该进行发类讨论，怎样进行分类讨论感到困惑，虽然记了很多分类讨论的方法，效果却不好。我认为要正确地学习和运用分类讨论思想，不宜用过多的“条条框框”去限制学生的思维，而应该着重从基础知识上引导学生，用准确的基础知识来指导我们何时分类，怎样分类。分类讨论是在研究问题时，若对事物的整体研究有困难，可转而研究事物的各个局部，通过对局部的研究，完成对整体的研究。所谓对整体研究有困难，就是事物的整体不满足所使用的基础知识的条件，所以就要把整体分解成几个局…     

对《轨迹方程的纯粹性完备性教学初探》一文的意见

《数学教学通讯》一九八四年第一期发表的《轨迹方程的纯粹性完备性教学初探》(以下简称《初探》),对于在现行教材的教学中较好地处理求解轨迹方程的问题,提供了不少有益的经验。但是,在使用“轨迹方程”这一概念和文中例6解答的某些部分均存在着不妥之处。兹提出不同意见供讨论。一、《初探》在论述轨迹方程的完备性问题时写道:“求出的轨迹方程所代表的曲线,并不是所有适合条件的点的集合,即除所求轨迹方程外还有适合题设条件的点存在,这时所求之方程不满足完备性(也叫不是充分的)”。还有“对题设条件的各种可能情     

九义小学数学应用题教学讲座(之三)归一应用题的教学

归一应用题是小学应用题教学的重要内容之一。九年义务教育六年制数学教材中编排的归一应用题是简单归一问题，它的结构特征是题分两半，前半部分给出由总量求出“单一量”的条件，后半部分再以这个“单一量”为标准提出解答的问题。问题有两种：一种是由前半题所得的“单一量”用乘法求新的总量。这种归一称为“直进归一”或“正归一”；另一种是用除法求出指定的总量中包含多少个“前半题求出的单一量”。这种归一称为“返回归一”或“反归一”。人民教育出版社编写的义务教材，把直进归一作为基本题，而把反归一作为它的变式，不提“直进…     

用容斥原理巧解两类组合问题

2003年高考数学试卷（江苏卷）的第15题是组合中的“不相邻”问题，此题解法虽多，但大多避免不了分类讨论．其实对“不相邻”问题和“错位”问题的解决有一个便捷方法可用，这个思路源于新教材《高中数学第二册（下A）》的第122页的阅读材料，这篇阅读材料的一个深刻背景就是集合论中的容斥原王单．     

分类讨论思想

1知识内容1.1分类讨论的概念分类讨论,就是在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究时,我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,最后综合各类结果得到整个问题的解决.这种思想方法,我们称之为"分类讨论思想".分类讨论思想的本质是"化整为零,积零为整",从而增加了题设条     

开放题教学例谈

数学开放题是指答案不唯一或具有多种不同解法的问题，按不同的分类方法可分成不同的种类。但从总体上来分，可分为条件不全的开放题和条件多余的开放题，其教学策略分别是：对于条件不全的开放题，要让学生自己收集信息补充条件。在现实生活中，在对某一问题考虑出一个可能的解决方法之前，很少会有一切必不可少的事项、数据、关系都已在手头齐全了的情况，因此，我们在教学过程中也应多设计一些信息不全的问题，让学生自己补充、收集、分析、进而解决问题。例如设计一次“小小管家”的数学实践活动，让学生计算一周家里共需开支多少钱？每…     

浅谈复数求值题的“技术处理”

有关复数的求值问题是近年来高考或竞赛中颇为常见的题型之一，学生解这类问题时，往往不善于分析题中关系式的结构特征和内在关系，动辄就设出复数的代数式或三角式进行求解，结果出现了繁琐运算，影响了解题速度．其实．不少复数求值题,通过挖掘题中潜在的特殊性和简单性，施行一些“技术处理”，就能打破常规，获得问题的最优解．一、整体代入把题中一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，可以避免由局部运算所带来的麻烦．例1如果虚数z满足z~3＝8，那么z~3 z~2 2z z的值是——（1989年广东省高考题）．分…     

浅议用分类讨论的思想解数学题

我们在解数学题时,经常运用分类讨论的思想.比如,有关绝对值的概念,当去掉绝对值符号时,便要把绝对值符号的代数式分大于零、等于零、小于零三种情况加以讨论;在解含有字母系数的方程和不等式时,如ax=b,ax>b等,也要对字母的范围进行讨论;有关整数的问题,要分奇偶数、质数与合数、余数的大小等进行分类讨论;在解几何题时,要对点、线的不同位置进行分类讨论;另外,在解某些数学题时,它的结果可能不唯一,因此需要对可能出现的情况一一加以讨论.可以说,数学的学习与研究过程中,处处有分类讨论的思想.只有掌握了分类讨论思想,在解题时,才不会出现漏解的情况.在运用分类讨论思想研究问题时,必须做到“不重”、“不漏”,而且要按照相同的标准进行讨论.     

高考数学中的大众化试题赏析

纵观各种资料，对“大众化”的含义理解有所不同；而本文所指的大众化试题是指解题时所应用的数学知识要求不高，有些甚至只需要小学的数学水平就可以了．但在近年来，这种类型的试题却频频出现在各地的高考及高考模拟试卷上，如2004年上海卷的第16题，2001年全国卷第12题，2002年北京卷的第20题等；虽然这类大众化试题所涉及的知识不深，但考生对此类问题却颇感头痛，所得的分数也不多，究其原因，其中一个很重要的方面是因为考生解题时对此类问题的题意不甚了解．本文就这一问题作分类赏析，供大家参考．     

刍议寻找反例的思维方法

任何似是而非的数学命题,总是在满足题设的一部分条件的情况下结论成立,而在满足题设的另一部分条件的情况下,结论不成立.所谓寻求反例,就是找出既满足题设,又使结论不成立的情况.那么,怎样寻求反例呢？现介绍几种寻找数学题反例的思维方法.1二分法为了能有效地寻找反例,我们应当把满足题设的所有情况恰当地进行分类,然后逐类进行考查,仔细判定结论在所考查的情况下是否成立.由此找出结论不成立的情况,便能寻得反例.这是寻找反例的一般思维方法,称为＂分类考查法＂.一般地,对满足题设的所有情况进行分类时,宜采用＂二分法＂.     

物理习题中的临界问题（一）

物理题的难点之一,就是有些物理关系不好确定,其中大都是临界问题。临界问题也是高考命题的热点之一。2002年高考全国理综卷的物理题中第16题所讨论的两球相碰过程中“压缩最紧时”,第18题所讨论的“速度最大时”,第19题所讨论的“入射光线与轴线间的最大夹角”等都是临界问题。     

解题中应注意分类讨论

在研究和解决数学问题时,如果对问题所给对象不能统一进行研究,就需要根据对象的本质属性,将对象分为不同种类,逐类研究和解决,最后综合各类结果得到整个问题的解决,这一思想称为分类讨论．其本质是“化整为零,各个击破”．明确分类讨论的原因,有利于应用分类讨论的思想方法解决问题,主要分类原因有     

不给图的几何题分类讨论要仔细

由于几何是一门研究物体形状、大小和位置关系的学科，而几何图形又变化多样，往往满足条件的图形可能不止一个．可是，我们有些同学在解没有给出图形的几何题时，由于对题中所给的条件考虑不周全或受习惯思维的干扰，常常把题目中的图形画成自己平时所熟悉的图形，这样，问题的解答就可能不完整，导致漏解而失分．因此，在解这类题目时，必须仔细分析题意，认真挖掘题目中可能出现的不同情况，并用分类讨论的思想加以解决．下面列举常见的几例漏解题并加以剖析，供同学们参考．     

谈中学数学教学中分类思想的教育作用

在数学解题教学中，当问题隐含多种情况且无法用统一形式求解时，我们往往引导学生按可能和需要对问题研究的对象分门别类．得出每一类情形下相应的结论，这就是分类讨论法，可起到化整为零、化一般为特殊、化难为易的作用。实质是在原题中“增加”了条件。降低了难度。分类讨论法是分类思想在数学解题中的具体体现，与分类思想相互依存、互为表里。数学分类思想不仅在探求解题思路方面有重要作用，而且在提高学生的素质和基础知识的学习效率等方面都有重要的教育作用。     

初中生解几何多解题产生“漏解”的原因分析及教学对策

许多几何问题，在所给的条件下J结论是唯一的，或答案是唯一的，而有一些儿何问题，在所给的条件下，还要考虑种种不同情况，答案或结论不是唯一的。本文称之为几何多解题。在初中阶段，我发现学生在解这类题时，往往会犯“漏解”的错误。现对以下几个典型例子分析造成“据解”的原因，并谈谈解决这个问题的体会。l、在几何教材中，最早出现“两解”问题是在几何第一册12页“想一想”的第二问：有三个点儿B、C，过其中每两个点画直线，可以画出几条直线？由学生自取点画，一般只做出图（l），忽略了三点可在一条直线上，即图（2）的情形。…     

分类讨论 不“止”于“此”——一道图形裁剪问题的拓展延伸

<正>分类讨论是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法,也是中学阶段最基本、最重要的数学思想之一,它能有效地把大问题转化为若干个小问题,使复杂的问题简单化.分类讨论几乎融入了初中阶段的所有主干知识,是中考的核心考查目标之一.但在实际教学中可以发现,学生们在运用分类讨论解题时会出现各种的"小插曲",比如不知道如何分类,分类时不能做到不重不漏,忽略结果应满足题干和具有实际意义等.笔者在教学中,通常采用如下的方法:首先,     

含参不等式的解法探讨及优化策略

含参不等式问题f(α，x)>0，(或<0，α为参数)，一般有两类：一类是对参数α分类讨论，求变量x的范围；一类是f(α，x)>0对某个条件恒成立，求参数α的范围．在求解含参不等式问题时，不仅需要学生掌握“分类”讨论、等价转化、数形结合等重要的数学     

分类讨论思想在高中物理解题中的应用

在数学上，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。“物以类聚，人以群分”。所谓分类讨论，就是将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解；或当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略。