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第42届IMO第2题是对所有正实数a,b,c,证明本文将其推广为对所有正实数a,b,c,及λ≥8,证明证明不等式左边可化为令bc/a2=x,ca/b2=y,ab/c2=z,则 xyz=1.从而只要证明对于满足xyz=1的一切正 相似文献
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第42届IMO第2题简证 总被引:4,自引:0,他引:4
第 42届 IMO第 2题是 :对所有正实数 a,b,c,证明 :aa2 +8bc+bb2 +8ca+cc2 +8ab≥ 1.(1)这是一个形式优美的不等式 ,文 [1]介绍了一种基于反证法的证明 .笔者经过思考 ,给出了一种很简洁的直接证法 .证明 (a43 +b43 +c43 ) 2 - (a43 ) 2=(b43 +c43 ) (a43 +a43 +b43 +c43 )≥ 2 b23 c23 · 4a23 b13 c13=8a23 bc,∴ (a43 +b43 +c43 ) 2 ≥ (a43 ) 2 +8a23 bc=a23 (a2 +8bc) ,∴ aa2 +8bc≥ a43a43 +b43 +c43.同理可证 :bb2 +8ac≥ b43a43 +b43 +c43,cc2 +8ab≥ c43a43 +b43 +c43,以上三式相加 ,即证得 (1)式成立 .第42届IMO第2题简证@姜… 相似文献
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编者按在王建立老师的指导下,湖北省仙桃中学9901班魏维等同学,对我刊发表的第42届国际数学奥林匹克试题给出了多种解法.这里摘登部分同学给出的第一、二、五题的解答. 相似文献
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第42届国数学奥林匹克试题第2题是:对所有正实数a,b,c,证明(a)/(a2+8bc)+(b)/(b2+8ca)+(c)/(c2+8ab)≥1.文[1]采用文[3][4]的方法给出其推广为:若a,b,c∈R+,λ≥8,则(a)/(a2+λbc)+(b)/(b2+λca)+(c)/(c2+λab)≥(3)/(1+λ)(1).文[2]给出了(1)式的简证,本文进一步把(1)式推广为更一般的形式: 相似文献
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一道国际奥林匹克试题的再研讨 总被引:2,自引:0,他引:2
第42届(2001)年国际数学奥林匹克试题第2题为: 对所有的正实数a,b,c,证明笔者在文[1]中已作了探讨,得到如下推广定理: 设x_i>0,i=1,2,…,n,n为自然数且n≥2,x_1x_2…x_n=p~n,p为正实数且p≥n~2-1,则 相似文献
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题:设 a、b、c 是正实数,且满足 abc=1,求证:(a-1 (1/b))(b-1 (1/c))(c-1 (1/a))≤1.这是2000年第41届国际数学奥林匹克竞赛试题的第2题.本文给出两个别证.由题设条件可知(a-1 (1/b))、(b-1 相似文献
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2011年波罗的海数学奥林匹克竞赛中有如下一道不等式试题:题目设a,b,c,d是满足a+b+c+d=4的非负实数,证明不等式: 相似文献
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定理 设ai,bi 为正数 (i=1,2 ,… ,n) ,则n ∏ni =1(ai bi) ≥n ∏ni=1ai n ∏ni=1bi,( )等号当且仅当ai=λbi (λ为常数 ,i =1,2 ,… ,n)时成立 .证 由算术———几何平均不等式 ,有n ∏ni =1aiai bi n ∏ni =1biai bi≤ 1n ∑ni =1aiai bi 1n ∑ni=1biai bi=1n ∑ni =1aiai bi biai bi=1n ·n =1, ∴ n ∏ni =1(ai bi)≥n ∏ni=1ai n ∏ni=1bi,等号当且仅当a1 a1 b1=a2a2 b2=… =anan bn,b1 a1 b1=b2… 相似文献
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试题:(IMO,1999)设a,b,c≥0,且abc=1,求证:
(a-1+b^-1)(b-1+c^-1)(c-1+a^-1)≤1.(1)证:作变换a=x/y,b=y/z,c=z/x,其中x,y,z〉0, 相似文献
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第51届国际数学奥林匹克(IMO)于2010年7月2日至14日在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳举行,本文就第4题给出几种不同的解法,供赏析. 相似文献
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题1 求最小的实数m,使不等式
m(a^3+b^3+c^3)≥6(a^2+b^2+c^2)+1 (1)
对满足a+b+c=1的任意正实数a,b,c恒成立. 相似文献
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我们首先来看第28届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题1(见文献[1]):设Pn(k)是集{1,2,…,n}的保持k个点不动的排列的数目,求证: 相似文献