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1.
邵剑波 《中学数学教学参考》2000,(6)
有的文献证明了对任何x∈R,f(x)>0.本文获得定理 设x∈R,则f(x)=x4 x2 x 1在x=x0=-14 3-564 56144 3-564-56144=-060582958…处,取得最小值f(x0)=516[(x0 1)2 2]=067355322…此定理可用微分法证明,同时得知x0是方程f’(x)=0的惟一实根.下面用不等式(A2 B2)(1 a2)≥(A aB)2(=|aA=B)来证明.对f(x)进行”双配方”,应用该不等式,有f(x)=(x2 12x)2 34(x 23)2 23=(x2 12x)2 (32x 33)2 23≥11 a2[x2 (12 32a)x 33a]2 23.设3a=b,13<b<3,则x2 (12 b2)x b3≥14[4b3-(12 b2)2]=(3b-1)(3-b)48>0… 相似文献
2.
平均不等式是解决最值问题的常用方法之一 ,但是利用它求最值必须满足“一正、二定、三相等”3个基本条件 .有些最值问题 ,在运用平均不等式时等号不能成立 ,此时 ,可适当引入参数 ,利用待定系数法 ,解决平均不等式中等号不能成立的问题 .下面举例加以说明 .一、f(x) =axm + bxn(a ,b ,m ,n>0 )例 1 (2 0 0 0年上海市高考题 )已知函数f(x) =x2 + 2x+ax ,x∈ [1,+∞ ) ,若a=12 ,求函数 f(x)的最小值 .分析 当a=12 时 ,f(x) =x + 12x+ 2≥ 2 12 + 2 ,当且仅当x =12x,即x =22 时取等号 .但 22<1,不在函数定义… 相似文献
3.
用函数方法证明不等式 ,常常能够方便地给出证明 .用函数方法证明不等式的关键是结合不等式的结构特征构造适当的函数 ,以便于利用这一函数的有关性质证明所给的不等式 .例 1 若a >b>0 ,m >0 .求证 :ab >a +mb+m.证明 令 f(x) =a+xb +x.由a>b可设a =b+c(c >0 ) ,则f(x) =b+x +cb +x =1+cb +x.当x∈ (0 ,+∞ )时 ,f(x)为减函数 .∵ m >0 ,∴ f(m) <f(0 ) .即 ab >a+mb+m.注 用函数方法证明不等式 ,往往要利用所构造函数的单调性 .例 2 设a、b、c∈R .证明 :a2 +ac+c2 +3b(a+b+… 相似文献
4.
在 2 0 0 2年上海高考题中有这样一道试题 :已知函数 f(x) =x2 +2x·tanθ-1 ,x∈ [-1 ,3 ],其中θ∈ -π2 ,π2 .( 1 )当θ=-π6时 ,求函数 f(x)的最大值与最小值 ;( 2 )求θ的取值范围 ,使 y =f(x)在[-1 ,3 ]上是单调函数 .该题以学生熟知的二次函数知识为载体 ,考查最值和单调函数的掌握情况 .解 ( 1 )当θ=-π6时 ,f(x) =x2 -2 33 x-1=x-332 -43 ,∴x=33 时 ,f(x)的最小值为 -43 .x=-1时 ,f(x)的最大值为2 33 .( 2 )函数 f(x) =(x+tanθ) 2 -1 -tan2 θ图象的对称轴为x =-tanθ,∵y =f(x)在… 相似文献
5.
在闭区间上的二次函数的绝对值不等式的证明有一个通法 :将二次函数的系数用闭区间上的三个函数值 (一般用区间端点和中点的函数值 )来表示 ,然后借助于绝对值不等式来解决 .例 1 设a、b、c∈R ,f(x) =ax2 +bx +c(a≠ 0 ) .若 | f( 0 ) |≤ 1,|f( 1) |≤ 1,|f( - 1) |≤ 1,试证 :对任何x∈ [- 1,1] ,都有 |f(x) |≤ 54 .证明 :因f( 0 ) =c,f( 1) =a +b+c,f( - 1) =a-b +c,故解得a =f( 1) + f( - 1)2 - f( 0 ) ,b =f( 1) - f( - 1)2 ,c=f( 0 ) .∵ |x|≤ 1∴ | f(x) | =|ax2 +bx +c|=f( … 相似文献
6.
构造函数法是证不等式的一种重要方法 ,本文谈谈构造函数法证不等式的几种思考途径 .途径一 利用函数的单调性构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在某一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1 已知a、b、c∈R ,且a b c =1,求证 :abc 1abc≥ 2 712 7.证明 令 f(x) =x 1x ,取 0 <x1<x2 <1,则f(x2 ) - f(x1) =(x2 -x1) 1x2 - 1x1=(x2 -x1) 1- 1x1x2 <0 ,所以 f(x)在 (0 ,1)上为减函数 .又 0 <abc≤ a b c33=12 7,∴f(abc) ≥ f 12 … 相似文献
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20 0 2年高考有一道数学题为 :已知a >0 ,函数 f(x) =ax -bx2 .(1)当b >0时 ,若对任意x∈R ,都有f(x) ≤ 1,证明 :a≤ 2b ;(2 )当b >1时 ,证明 :对任意x∈ [0 ,1],|f(x)|≤ 1的充要条件是b- 1≤a≤ 2 b ;(3)当 0 <b≤ 1时 ,讨论 :对任意x∈[0 ,1],|f(x)|≤ 1的充要条件 .绝大多数考生做此题时无所适从 ,根本不知从何下手 ,参考答案给出的方法比较抽象 ,难于理解 ,笔者有一解法 ,介绍如下 :解 (1)由已知ax -bx2 ≤ 1,∴ bx2 -ax +1≥ 0 .∵ x∈R ,b >0 ,∴ Δ =a2 - 4b≤ 0 ,∴ a≤ 2 b .… 相似文献
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文 [1]应用待定系数法和柯西不等式给出了下面函数的最小值 .定理 1 函数y=asinx+bcosx,x∈ (0 ,π2 ) ,a、b为正常数 ,则 ymin =(a23 +b23 ) 32 .本文应用二元赫尔德 (Holder)不等式给出上面定理 1的推广 .定理 2 函数y =asintx +bcostx(x∈ (0 ,π2 ) ,a、b为正常数 ,且t∈R ,(t≠ 0 ,2 ) ,在x =arctan(ab) 12 -t处取得最值 (a22 -t+b22 -t) 2 -t2 ,其中(1)当t∈ (0 ,2 )时 ,y取最大值 ;(2 )当t∈ (2 ,+∞ )时 ,y取最小值 ;(3)当t∈ (-∞ ,0 )时 ,y取最小值 .引理 … 相似文献
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今年全国高考数学最后一题〔理 (2 2 )题〕是 :设f(x)是定义在R上的偶函数 ,其图像关于直线x=1对称 ,对任意x1 ,x2 ∈ 0 ,12 ,都有f(x1 x2 ) =f(x1 )·f(x2 ) ,且f(1 ) =a>0 .(Ⅰ )求f 12 及f 14;(Ⅱ )证明f(x)是周期函数 ;(Ⅲ )记an =f 2n 12n ,求limn→∞(lnan) .这是一道涉及“函数方程”———含有未知函数的等式的试题〔见题中条件f(x1 x2 ) =f(x1 ) ×f(x2 )〕 .此类题目在近些年全国高考中尚不多见 ,但在各类竞赛中却屡见不鲜 .寻求函数方程的解或证明函数方程无解叫做解函数方程 .下面… 相似文献
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关于函数y=asintx+bcostx的最值 ,文[1 ] 应用赫尔德 (Holder)不等式给出了如下定理 :定理 函数y=asintx+bcostx ,x∈ (0 ,π2 ) ,a、b为正常数 ,且t ∈R(t≠ 0 ,2 ) ,在x =arctan(ab) 1 2 -t 处取得最值 (a22 -t +b22 -t) 2 -t2 ,其中(1)当t∈ (0 ,2 )时 ,y取得最大值 ;(2 )当t∈ (2 ,+∞ )时 ,y取得最小值 ;(3)当t∈ (-∞ ,0 )时 ,y取得最小值 .本文应用凸函数的性质给出上述定理的另一证明及其推广 .首先介绍凸函数的一个性质 (引理 ) :引理 ①设函数f(u)是定义在区间Ⅰ… 相似文献
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1 争论缘何而起2 0世纪 90年代 ,笔者陆续见到文 [1]、[2 ]、[3]、[4].文 [1]的标题是 :怎样由 f[g(x) ]的定义域求f(x)的定义域 ,文 [2 ]2 .3中的标题是 :已知复合函数定义域 ,求原函数 (外层函数 )定义域 .四文均认为 :在f[g(x) ],x ∈E 的前提下 ,f(x)的定义域就是 g(x) ,x∈E 的值域U .如 :例 1[1] 若函数 y=f(- 2x2 1)的定义域是(- 1,1) ,则 y=f(x)的定义域是 (- 1,1].例 2 [2 ] 若函数 y=f(1x 1)的定义域为[- 23,- 12 ],则 y =f(x)的定义域为 [2 ,3].例 3[3] 若 f(1 1x) =1x2 - 2x 1,… 相似文献
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不等式m <f(x)g(x) <n(m <n、g(x) ≠ 0 )等价于 [f(x) -mg(x) ]· [f(x) -ng(x) ]<0 .证明 1°若 g(x) >0原不等式等价于mg(x)<f(x) <ng(x) ,即 [f(x) -mg(x) ][f(x) -ng(x) ]<0 ;2°若g(x) <0原不等式等价于ng(x) <f(x)<mg(x) ,即 [f(x) -ng(x) ][f(x) -mg(x) ]<0 .综述无论 g(x) >0或 g(x) <0均有m <f(x)g(x) <n [f(x) -mg(x) ][f(x) -ng(x) ]<0 .灵活应用上述等价关系解有关问题 ,往往会化繁为简、化难为易 ,起到事半功倍之效 .现举例说明如下 :例… 相似文献
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定理 二次函数 y =ax2 bx c的值域是[0 , ∞ )的充要条件是a>0且b2 - 4ac=0 .证明 因为 y =ax2 bx c =a(x b2a) 2 4ac-b24a ,x∈R ,所以二次函数y=ax2 bx c的值域是 [0 , ∞ ) y的最小值是 0 ,无最大值 a>0且b2 - 4ac=0 .下面举例说明定理的应用 .例 1 已知 f(x) =2x2 bx cx2 1(b <0 )的值域为[1,3] ,求实数b,c的值 .解 f(x)的定义域为R .由 1≤2x2 bx cx2 1≤ 3,得x2 bx c- 1≥0且x2 -bx 3-c≥ 0 .所以 f(x)的值域为 [1,3] y1=x2 bx c- 1和 … 相似文献
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在涉及反函数的一些问题中 ,有时不求反函数 ,反而可以更准确更快捷地解题 .一、求值例 1 若f(x) =3x-4 ,则f- 1 ( 2 ) =.解 设f- 1 ( 2 ) =a ,则f(a) =2 ,即3a-4 =2 ,a=2 ,∴f- 1 ( 2 ) =2 .例 2 已知f(x) =x2 (x≥ 1) ,又f- 1 (m)= 4,则m =.分析 ∵f- 1 (m) =4,∴f( 4 ) =m ,∴m =42 =16.例 3 若f(x) =3x2 +2 (x ≥ 0 ) ,则f- 1 [f( 2 ) ] = .分析 应用结论 :若函数y=f(x) (x∈A ,y∈C)存在反函数y =f- 1 (x) ,则f[f- 1 (x) ] =x(x∈C) ,f- 1 [f(x) ] =x(x∈A) .由上易知f- 1 … 相似文献
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20 0 1年全国高考理工农医类的压轴题是一个典型的函数问题 ,对这一试题的解答没有特别之处 ,但笔者认为 ,发散探究这一试题却妙趣横生 .试题 :设f(x)是在定义R上的偶函数 ,其图像关于直线x =1对称 ,对任意x1 ,x2 ∈0 ,12 ,都有f(x1 x2 ) =f(x1 ) ·f(x2 ) ,且f(1 ) =a>0 .(1 )求f 12 及f 14;(2 )证明f(x)是周期函数 ;(3)记an =f2n 12n ,求limn→∞(lnan) .下面对该题进行发散探究 .一、题设与结论的分析1 .题设分析本题题设包括 :(1 )函数的奇偶性 ;(2 )函数的对称性 ;(3)某区间上的函数模型及确定该函… 相似文献
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特例法作为高考数学中简捷、快速的解题方法 ,是根据题意选取特殊的例子 (如特殊值、特殊函数、特殊角、特殊点、特殊数列等 ) ,从而得出正确答案 .那么在什么情况下可用此法 ?下面举例说明 ,供参考 .一、“恒成立型”问题当所给的命题对于在实数集R(或某区间 )上恒成立 ,求命题中的参数等问题 ,可考虑使用取特殊值法 .例 1 (2 0 0 1年全国高考题 )设f(x)是定义在R上的偶函数 ,其图像关于直线x=1对称 ,对任意x1,x2 ∈ [0 ,12 ],都有f(x1 x2 ) =f(x1)·f(x2 ) ,且f(1 ) =a >0 ,求f(12 )及f(14) .分析 此题是x1,x2 “… 相似文献
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我们知道 ,与二次函数有关的不等式问题 ,在高考或竞赛试题中常出现 .这类问题 ,思考性强 ,难度较大 ,考生得分率偏低 .为此 ,本文就其解法作一些探讨 ,供读者参考 .一、换元思想例 1 ( 2 0 0 2年高考题 )设a为实数 ,f(x)=x2 +|x -a|+1,x∈R .求f(x)的最小值 .解 f(x) =|(x-a) +a|2 +|x-a|+1≥||x-a| -|a||2 +|x -a|+1=|x-a|2 -( 2|a|-1) |x -a| +a2 +1. ( )令 |x -a| =t(t≥ 0 ) ,设g(t) =t2 -( 2 |a|-1)t +a2 +1 =t -|a|-122 +|a|+34.当 |a|-12 ≤ 0 … 相似文献
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本文用初等方法导出函数 f(x) =ax b cx d(a >0 ,c<0 )的几个优美性质。1 f(x)不是单调函数显然 ,函数的定义域为 [-ba ,-dc]。任给x1、x2 ∈ [-ba ,-dc],且x1<x2 ,则f(x1) -f(x2 ) =(ax1 b cx1 d) -(ax2 b cx2 d)=(ax1 b 相似文献
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张皓 《四川教育学院学报》2002,18(12):33-33
含参数不等式恒成立时 ,参数的取值范围问题是中学数学的难点之一 ,也是高考数学复习的一个热点 ,由于这类问题的条件均以“恒成立”的方式给出 ,多数学生对此只能作出表面理解 ,又由于在教材中找不到解决这类问题的理论依据 ,因此在解答这类问题时觉得困难。本文介绍几种常见方法 ,对这类问题进行实质性的分析、解答 ,供参考。1、利用一次函数的性质(1)一次函数 y =f(x) =kx +b ,在x∈ [m ,n]上f(x) >0恒成立的充要条件是 :k >0f(m) >0 或 k <0f(n) >0 或 f(m) >0f(n) >0(2 )一次函数 y =f(x) =kx +b在x∈ [m… 相似文献
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数学题中被思维激活的知识称为思路点 .而如何形成解题的思路点 ,便是解题的关键 .本文通过对几道题目的分析 ,说明形成解题思路点的几条途径 .1 联想呼应题目中常有熟悉的认识结构 ,以此联想出原型 ,呼应出解题的思路点 .例 1 已知m为常数 ,x∈R ,且f(x a) =f(x) - 1f(x) 1,判断f(x)是否是周期函数 ,若是 ,则求出它的一个周期 ;若不是 ,说明理由 .分析 由f(x a) =f(x) - 1f(x) 1熟悉的结构 ,联想到ctg(x π4 ) =ctgx - 1ctgx 1的原形 ,以ctgx的周期呼应出f(x)的周期为 4a .2 激活背景题目… 相似文献