一个新的组合数恒等式——一道课本复习题的推广

题求证:衅认十试跪+已与+…+嘿十1+嵘:二嘿+l.(1) (新教材高中数学第二册(下A)复习参考题十B组第3(2)题) 文〔1〕建立了如下组合数恒等式: 习二一试一1+“·试一2十”·嵘一3十~·十(n一r)·c一喘,(2) 如果把(1),(2)两式改写成: 艺;r,0)一cs·试一,十C?·c;--2+c兮·c;一3+~·十c伙一r一Ic一c州,(1’) (其中规定C名=1,下同) 48 中学教研(数学) 2005年第7期 艺犷”,=cl.嵘一,十c1.嵘一2+cl.嵘一。+…十c蕊一双一嗽, 就可以看出(2)式是(1)式的一个引申,据此我们有理由预测: 猜想艺;r.力一c:.二一,十嵘,·二一2+二2·。一。十…+二s一r一;二…     

探索 启示 改进 延伸——简析2005年数学高考浙江理科卷压轴题

2005年数学高考浙江理科卷压轴题(第(20)题)如下:设点A n(xn,0),Pn(xn,2n-1)和抛物线Cn:y=x2+anx+bn(n∈N*),其中an=-2-4n-12n-1,xn由以下方法得到:x1=1,点P(2x2,2)在抛物线C1:y=x2+a1x+b1上,点A(1x1,0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离,…,点Pn+(1xn+1,2n)在抛物线Cn:y=x2+anx+bn上,点A(nxn,0)到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离.(Ⅰ)求x2及C1的方程.(Ⅱ)证明｛xn｝是等差数列.此题主要考查多项式函数的导数、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.关注知识网络的交汇点,强调知…     

2005年浙江高考数学卷(理科)第20题别解二则

2005年浙江高考数学卷(理科)第20题:设点An(xn,0),Pn(xn,2n-1)和抛物线Cn:y=x2+anx+bx(n∈N),其中an=-2-4n-1/(2n-1),xn由以下方法得到:x1=1,点P2(x2,2)在抛物线C1:y=x2+a1x+b1上,点A1(x1,0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离…,点Pn+1(xn+1,2n)在抛物线Cn:y=x2+anx+bn上,点An(xn,0)到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离.(Ⅰ)求x2及C1的方程;     

一个组合数恒等式的三种证法

一个有关组合数的恒等式是 :C1 n+ 2C2 n+3C3n+… +nCnn =n· 2 n- 1 (n∈N ) .下面给出它的三种不同证法 ,其中第三种证法出人意料 ,简洁优美 ,有绝妙之处 .证法 1　倒序相加法 .设Sn =C1 n + 2C2 n + 3C3n +… + (n-1)Cn - 1 n +nCnn,则Sn =nC0 n+ (n -1)C1 n+ (n-2 )C2 n+… +Cn- 1 n ,两式相加 ,得2Sn =n(C0 n+C1 n+C2 n+… +Cn - 1 n +Cnn)=n· 2 n.∴Sn =n· 2 n- 1 .证法 2　逐项转化法 .mCmn =m· n !m !(n -m) !=n· (n -1) !(m-1) !(n -m) !=nCm - 1 n- 1 ,分别令m =1,2 ,3 ,… ,n并分别相加得 .C1 n+ 2C2 n + 3C3n+…     

配方法应用2例

例1要使代数式厂+犷一14x+2夕十50的值为O,则二、y的取值为.(1995年重庆等五市联赛题) 解尹+了一14二+Zy+50一o, (工一7)’十(夕十1)2=0. :.x~7,y-一1. 例2怎样的整数a、b满足不等式澎+3b,十6相似文献   

第28届IMO候选题及解答(2)

5.证明:若a.b,c是三.角形的三边,且25二a+b+e,则。I因为2(a十b+c夕黑D十C十一竺- a+C en~厂2、十~一一一-二一‘二‘耳—} a+D\3/8·n一’.厂二一~十二生一\a+l〕匕+Cn专1丫" 6.给定5个实数U。,明:总能找到5个实数V。足下列条件.U,,U:,U3,U;.121丁,V,,V:.V3,、厂‘i}街及+击〕脚 a竺粤{竺〕〔梦(a一卜b+c)听以「匀(l)得到 (1)U;一V:eN: (2)习(\厂、一\rj)“<4. o‘i相似文献   

1993中国数学奥林匹克(CMO)

一、设n是奇数.试证:存在2n个整数al,由,””久办,瓦,…,b.,使得对任意一个整数k,o相似文献   

一道题的错误解答的改正

本刊89一9期《高中代数系列复习训练题》一文中有这样一道题: 设数列{a,}中,a,=3,a。十,=25。+Zn+1(n任N),S。二a,+aZ+…十a,求该数列的通项公式. 该文给出的简解如下: 解:,.’a,+:=25。+Zn+z, .’.a、=25。一i+2(n一1)+1, .,.a。+:一a。二Za。+2, …a”+:+1二3(a。+1), …a。+i=3钻(3+1)一1…。。一4·3。一‘一1.气 事实上,由a:=s,a,十;=25。+Zn+1(:任N)可得 a,=9, a3“29, 而由a、二4x3’‘一工一1,则得a,=11,a、=35,·…显然,a?‘=4 x3”一1一1不是原题的正确答案. 现笔者作如下解答: 解:,.’a。+,=25二+2,:+1 (刀〔N)。 (下转第27…     

巧用组合数的性质求和

正一、利用公式C0n+C1n+C2n+C3n+…+Cn n=2n求和1.直接利用公式例1求和C1n+C3n+C5n+…解由于奇数项之和与偶数项之和相等,因此奇数项之和等于所有项之和的一半.所以C1n+C3n+C5n+…=1/2×2n=2n-1.2.由公式Cr n=Cn-r n进行转化例2求和1+2C1n+3C2n+…+(n+1)Cn n.解设S=1+2C1n+3C2n+…+(n+1)Cn n,其倒序和为S=(n+1)Cn n+nCn-1n+…+2C1n+1.考虑到Cr n=Cn-r n(0≤r≤n),将以上两式相加得2S=(n+2)C0n+(n+2)C1n+…+(n+2)Cn n=(n+2)·2n,所以S=(n+2)·2n-1     

对一道数学高考压轴题的分析与思考

2009年高考广东卷理科数学的压轴题是数列题,这道题有什么特点,它对我们的教学有什么启示?本文拟作简要分析.一、试题特点题目:已知曲线Cn:x2-2nx+y2=0(n=1,2,…),从点P(-1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn>0)的切线ln,切     

基底的思想在不等式中的运用

我们先看这样一个题目:例1已知f(x)=xZ+。x十b.(1)求f(1)一Zf(2)+f(3)的值;{1+即+3q=0,1十P十q=几从而{P二q=(2)求证:!f(1)卜 ._.__1一个小小于二 乙}f(2)I、ff(3)f中至少有 如此想来,构造}f(l)}+21f(2)}+非倡然. 以此方法,再看两题:一2,1.}f(3)1并(1)解:f(1)==1+a+b,f(2)二4+Za+b,f(3)二9+3a+6·.’.f(1)一Zf(2)+f(3)=2.(2)证明(运用反证法):假设结论不成立,则!了(l)}相似文献   

“一元一次方程”自测题

一、填空题 (第 1 3题每小题 8分 ,第 4,5题每题 6分 ,共 3 6分 )1 .运用等式的性质 ,解下列问题 :( 1 )如果两个正方形的边长分别是m ,n ,并且第一个正方形的周长是第二个正方形周长的 4倍 .那么m和n间的关系是　　　　 .( 2 )如果 5 -3a =5 +b ,那么 3a与b间的关系是　　　　 .( 3 )如果s,t两个数的乘积是 -1 ,那么s,t间的关系是　　　　 .2 .合并含有相同字母的项 :( 1 ) 3x +x+2x =　　　　 ;( 2 ) 14y +12 y +13 y =　　　　 .3 .去括号 :( 1 )m +( 1 -3m2 ) =　　　　　　 ;( 2 ) 5n -2 ( 3n2 -1 ) =　　　　　　 .4.百位数是x ,十位…     

例说思维中的“常规”与“创新”

、.、少/qJ一厅‘ + 在解题思维的训练中要鼓励学生一题多解,在抓实通法的基础上寻求问题的最优解. 22 42 例1求和凡二二二二+一二十…+ 1·3’3·5&一(‘+l)+(掀)+(:+…+(病+击)2、/23\习十又百十习+“’ +111八」矛/犷.、、、 + 1l 一一 (Zn)“(Zn一1)(Zn+1)‘ 数列求和的思维常规是围绕通项变形,然后因势利导地根据它的结构“造型”. 解法1: (2。)2 /几一1。\十l:,一一一-丁+二,一-一二,!+ 、zn一1 zn一1/ 几Zn十1%=i酉石二1灭面拜丁) =n十解法3: 几Zn+12。(。+1) 2几+1一‘嘛瑞而一‘+;}病一击}O牡(2。)“(Zn一1)(Zn+1)202(2。+1)一…     

六年制数学十册期末自测参考试题

1.直接写出下列各题的得数(6分)一;一十音于一忿2号一3含6几一5六卜礼卷一怎一3音一1子;十0.75一:一十;一+一址十蚤令十令一杏+夸③空白部分比阴影部分多{一{。(11)根据下表,写出三个不同的等式。甲班比乙班多”人}① 2.填空。(1一9题每题2分,10一12题娜题3分,共27分) (i)s分钟=()小时,20公亩=()公顷。 (2)第一组有a人,第二组比第一组的2倍少b人。第二组有()人。┌─────┐│平均分5组 │└─────┘,__、一7_…_气1艺,仕瓦、o·584相0·583中,最大的数是(‘3,‘,个音,目加的‘口是2;2。个台是(4)在下面的口内填数,使这个四位数既是3…     

数学问题与解答

66.如图,四边形ABCD。四边形通刀:C:D:。四边形B:B:C:D:,…。四边形万,_:刀几Do.求证:AD+DC+CB二AD一+DICI+Cl丑,+BID:+刀:C:+C:万:+一+B。_一D.+D.C.+CoB. _C。卜长{q介月乃.落厂~落万一8(湖北叶年新供题)67.证明不等式:。(~一1)<,十合+合十·…斋<一 九一1”一,了万(价少3). (湖南付杰供题) 68.若实系数方程护十哪+2乙二。的一个根在0与1之间,另一根在i与2之间,求(b一2)/(a一l)的范围. (河南刘道金供题) 69.求证:直角四面体(一个三面角的面角都为直角的四面体)的非直角的二面角之和大于枷/4而小于龙 (湖南沈文选供题) 70.…     

试试运用微积分,…(高三)

本文用微积分导出了几个数列的和,希望由此引起同学们对用微积分处理代数、平几、三角、立几、解几问题的关注. 先证明:1+x+x2+…+xn=C1n+1+C2n+1(x-1)+C3n+3(x-1)2+…Cn+1n+1(x-1)n,由二项式定理,有     

循序渐进的数学题组

学生做数学题应重“质”,而非重“量”。教师可根据教材内容,学生的学习层次,由易到难,精选不同的题目,编成题组。学生在做这些题组时,知识循序渐进,达到了事半功倍的学习效果。一、巩固性题组(为重现、熟悉基本知识、方法而设置)1.当x>0时,求证x+≥8;2.求函数y=3x2+的最小值;3.已知x>0,求证2-3x-的最大值为2-43√;4.已知0<θ<,求证:tanθ+cotθ的最小值是2;16xπ24x12x25.求证lgx+logx10≥2(x>1);6.已知x,y,z∈R+,求证++≥3。二、发展型题组(为提高应用知识、方法的能力而设置)1.已知a,b,c∈R+,求证:(1)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc;(2)a+b+c≥a…     

也谈对新教材两道习题的思考

高中数学新教材有这样两道习题 :题 1　已知 f(x) =lg1-x1+x,a、b∈ (- 1,1) ,求证 f(a) +f(b) =f(a +b1+ab) .(高一上册第 89页 )题 2　已知 ｜a｜<1,｜b｜<1,求证 :a+b1+ab <1.(高二上册第 2 2页 )文 [1]作者谈了题 1、题 2的 4点思考 :①题 1中 f(a) ,f(b) ,f(a+b1+ab)有意义是必须证明的 ;②题 1不属于“恒等式证明” ;③题 1在高一现有知识范围内可以有不同的证明方法 ;④题 2可以通过构造题 1的函数来证明 .笔者完全赞同这 4点 ,并愿意作 4点补充 :1　要积极挖掘函数值之间的关系 ,培养发现能力题 1中的函数值关系式 f(a) +f(b) =f(a+…     

2004年高考（全国卷Ⅱ）数学试题与课本例习题对照

一、课本例习题的改编题(一)数字的改编1.理(1)、文(1):已知集合M={x｜x2<4},N={x｜x2-2x-3<0},则集合M∩N=()A.{x｜x<-2}B.{x｜x>3}C.{x｜-1相似文献   

一道竞赛题的妙解(高一、高二、高三)

题若(1+x+x2)1000的展开式为a0十a(1-x)+a(2-x2)+…+a2000x2000,则a0+a3+a6+a9+…+a1998的值为( ) (A)3333. (B)3666. (C)3999. (D)32001. (2001年高中联赛) 这是一道源于教材而高于教材的好题.认真观察条件以及所求式子的特点,恰当地利用w(w+1/2±