一个三角不等式的修正

文[1]证明了以下 命题在△ABC中,对k≥1,有tan(A)/(k)+tan(B)/(2k)+tan(C)/(3k)≥6tan(π)/(6k),(1)当且仅当A＝(π)/(6),B＝(π)/(3)时,等号成立.     

一个新的三角不等式

定理　在锐角△ ABC中 ,有tan( A- π4 ) + tan( B- π4 ) + tan( C-π4 )≥ 3( 2 - 3) . ( 1 )为证定理 ,我们需要以下引理 (证明从略 ) .引理　sin( x+ y) ,cos( x±y)均为正数 ,tan x+ tan y≥ 2 tanx+ y2 .定理的证明　不妨设 A≤ B≤ C,则 π3≤C<π2 .于是A- π4 + B- π4 =π2 - C∈ ( 0 ,π6 ],A- π4 - ( B- π4 ) =A- B∈ ( - π2 ,0 ],C- π4 + π1 2 =C- π6 ∈ [π6 ,π3) ,C- π4 - π1 2 =C- π3∈ [0 ,π6 ) ,12 ( π2 - C+ C- π6 ) =π6 ,12 ( π2 - C- C+ π6 ) =π3- C∈ ( - π6 ,0 ].因此 ,由引理可得 tan…     

一个三角不等式的证明与推广

<正> 在△ABC中有这样一个不等式sin A+sin B+sin C≤(3(3~(1/3))) ①对于这个不等式有各种各样的证明方法,笔者在此提供一种证法.这种证法有利于把这个不等式推广到更一般的情形.分析△ABC中,A+B+C=π,又sinπ/3=(3~(1/3))/2,故上述不等     

一个三角不等式的应用

我们发现:在△ABC中,sinA·sinB≤sin2A+B/2 证明:sinA·sinB=1/2[cos(A-B)-cos(A+B)]≤1/2[1-cos(A+B)]=sin2A+B/2.     

一些新的三角不等式

作为文[1]的姊妹篇，本文旨在介绍一些新的三角不等式． 命题△ABC中，求证：sinAcosB/2＋sinBcosC/2＋sinCcosA/2≤百9．     

常用简单三角不等式的解法

本文阐述了常用简单三角不等式的求解方法.     

一个新的三角不等式

文[1]P219列出了如下有趣的三角不等式： 在△ABC中,三内角A、B、C所对三边长依次为a、b、c,半周长与内切圆半径分别为p、r,则有 经过类比探究,笔者最近得到了一个与（1）式非常类似的新的三角不等式：     

一个三角不等式的思考

在三角形中,有很多对称优美的不等式,形式简洁,但其蕴涵的思想比较深刻.     

一个有趣的三角不等式

经过探讨,笔者现已得到： 命题 在△ABC中,求证：cosA cos^2B/2cos^3C/3≤27/64．     

常用简单三角不等式的解法

本文阐述了常用简单三角不等式的求解方法     

两个新的三角不等式

本文提出了下述新的三角不等式 ∑csc~2A≥9/(∑cosA)~2≥∑sec~2(A/2)并给予了证明     

一个三角不等式的构造法证明

定理若α,β为锐角,则cos αsin 2αsin 2β≤(43)/(9).(*) 证明如图1,在对角线为2的长方体ABCD-A′B′C′D′中,设AB＝a,BC＝b,BB′＝c,∠C′AC′＝α,∠CAB＝β,则a2+b2+c2＝22＝4,c＝CC′＝2sin α,AC＝2cos α,a＝ACcos β＝2cos αcos β,b＝ACsin β＝2cos αsin β,∴此长方体的体积V＝abc＝2cos αsin 2αsin 2β.     

利用三角代换证明不等式

三角代换是一种重要的数学方法,特别当代数不等式的证明很棘手时,若能考虑进行三角代换,将代数不等式转化为三角不等式,进而利用三角函数的性质和众多的三角公式推证,往往起到化难为易、事半功倍之效．但怎样进行恰到好处的三角代换呢？必须对题目进行反复观察,广泛联想,确定恰当的代换途径．本文就如何根据代数式的特征选择三角代换方案,作一些探讨和总结．     

一个三角不等式的加强

在很多高中数学竞赛资料上能看到这样的一个不等式：在△ABC中,A、B、C＋是三角形中的三个内角,则有0〈sinA＋sinB＋sinC≤3/2√3,笔者经过探究后可以发现在不同形状的三角形中,这个结论可以进一步加强．     

几个三角不等式的构造性证明

三角函数这部分知识在高中数学中是非常重要的内容，也是高考命题的热点。而三角不等式较多地出现在高中数学竞赛中，是一类形式特殊、结构优美的不等式，而用构造性方法加以证明显得相得益彰。根据问题的条件和结论、性质和特征，构造出某种模型，通过模型解释和研究，实现问题的解决，是一种重要的思想方法。它对人们进一步认识数学知识的内在规律和联系，提高抽象概括能力，都大有裨益。下文用构造法证明几个常见的三角不等式，可以发现其优美之处。     

一个三角不等式的妙用

“在△ABC中,∑sin A≤3√3/2”是一个基本的三角不等式.下面用它证明一个三元不等式问题 题目 正数a、b、c满足∑a=1.证明： ∑1/bc＋a＋1/a≤27/31,其中,“∑”表示轮换对称和.[1] （2008,塞尔维亚数学奥林匹克） 证明 令a=yz,b=zx,c=xy（x、y、z＞0）.     

从一个三角不等式谈起

相信大家都很熟悉这样一道题目设A,B,C是△ABC的三个内角,求证：cosA＋cosB＋cosC≤3/2.     

一个新的三元二次型三角不等式

英国数学家沃斯顿霍姆（J.Wolstenholme）在1867年出版的一本数学书中，首先给出了下述有关三角形的三元二次型三角不等式：对任意AABC与任意实数x，y，z有     

从一个三角不等式谈起

在△ABC中有常见的不等式cosA＋cosB＋cosC≤3/2（1）,文中的符号约定：△ABC的三边长为a,b,c,半周长为s,面积为△,外接圆和内切圆的半径为R,r．