再探线段旋转扫过的图形面积——兼谈一个基本图形的解构

<正>《初中数学教与学》曾刊登张国华老师《线段旋转所扫过的图形面积》一文,读后颇受启发.本文对于旋转中心O不在线段AB上,并且旋转角α为0°<α<2β与360°-2β<α<360°的情况进行再探讨,给出初中生也能理解的方法,并谈谈对一个基本图形的解构启示,以供读者参考.一、线段旋转的约定与问题解决如图1,将线段AB绕点O旋转到A'B',设     

再探线段旋转扫过的图形面积——兼谈一个基本图形的解构

《初中数学教与学》曾刊登张国华老师《线段旋转所扫过的图形面积》一文,读后颇受启发．本文对于旋转中心O不在线段AB上,并且旋转角α为0°〈α〈2β与360°-2β〈α〈360°的情况进行再探讨,给出初中生也能理解的方法,并谈谈对一个基本图形的解构启示,以供读者参考．     

曲线(线段)扫过的图形的面积问题

<正>数学教学中经常会碰到一类求线段或曲线扫过的面积的问题,本文就这类问题作一较系统的分析与讨论.本文对线段和曲线按级命名,是基于它们所扫过的图形面积的计算中的难易程度来决定的.1线段的旋转一级线段一条线段,绕着这条线段上的一个点旋转时,这条线段就是一级线段.当旋转中心就是线段的一个端点时,它所扫过的就是一个     

线段旋转所扫过的图形面积

<正>线段AB和点O在同一平面内,将线段AB绕点O旋转,在旋转过程中,线段AB所扫过的图形面积该如何计算?笔者认为可从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究.一、旋转中心O在线段AB上如图1,设AO=a,BO=b(a≥b),旋转角度为α.     

由线段旋转扫过部分的面积问题

中考题中除了有动点的旋转运动问题,有时还会出现动线段旋转的问题．由于线段是由其端点所确定的,所以只要搞清线段的两个端点的运动情况,求出它们的运动轨迹,线段内的点的运动也就清楚了,这样就能进而求出动线段旋转扫过部分的面积．下面以2009年几道中考题为例,说明分析和解决这类问题的方法．     

对《线段旋转的面积问题》一文的商榷与探讨——兼谈一个基本图形的教学

<正>《中学数学杂志》2014年第6期刊载了黄栋老师《线段旋转的面积问题》一文,以下简称文[1],讨论了线段绕点旋转所扫过的图形的面积问题,通读文章后笔者觉得作者对于"旋转中心在线段外"的情况的讨论在图形和解题策略方面似乎存在一些疏漏,值得商     

求动线段旋转扫过部分的面积

中考题中除了有动点的旋转运动问题,有时还会出现动线段旋转的问题．由于线段是由点组成的,这时只要搞清线段的二个端点的运动情况,求出它们的运动轨迹,线段内的点的运动也就清楚了,这样就能进而求出动线段旋转扫过部分的面积．下面以2009年几道中考题为例,说明分析和解决这类问题的方法．     

与45°角相关的几个结论及其应用

<正>在初中数学里,旋转是我们经常接触到的一类变换.虽然图形在变换过程中,相关图形的形状与大小不发生改变,但是旋转往往会与隐藏的图形相似或全等联系在一起,因而解答起来并不是很容易.本文试图通过呈现一类与45°定角相关的旋转问题,分析解法、总结结论和揭示规律,旨在交流分享.一、在正方形中,45°角绕顶点旋转,相关线段、面积和为定值例1(2015年十堰中考题)如图1,正方     

线段旋转与扫过的图形面积

线段AB和点O在同一平面内,将线段AB绕点O旋转,在旋转过程中,线段AB所扫过的图形面积是多少,本文从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究．     

对一道直线族包络试题的探究

<正>2014年高中数学联赛安徽初赛第7题:设动点P(t,0),Q(1,t),其中参数t∈[0,1],求线段PQ扫过的平面区域的面积.设线段PQ扫过的平面区域为G,点P在x轴上运动,点Q在直线x=1上运动,所以x轴和直线x=1是区域G的边界,解决问题的关键是获得区域G的其他边界.既然是区域边界,     

利用化归法求解双动点最值问题

<正>动点问题是初中数学的一个难点,也一直是中考的热点."双动点型线段的最小值"问题是指:目标线段的两个端点都是动点,在变化的同时相互又有内在关系,要求这类线段长度的最小值.由于在这类问题中,目标线段的两个端点都是变化的,很多学生会觉得难以把握而无从下手,甚至望题生畏.那么求解这类问题的关键是什么呢?     

换个角度看三角形面积的平分线

<正>文[1]通过将直线在保持平分三角形面积的前提下进行运动,直观地得出:对于△ABC来说,经过由三条"双曲线段"所围成的区域(不含边界)内每一点,平分△ABC面积的直线都有3条;经过"双曲线段"上除端点以外的每一点,平分△ABC面积的直线都有2条;经过区域以外的点和"双曲线段"的端点,平分△ABC面积的直线都只有1条.文[2]不仅对上述结论表示认同,而且对各种情况构造了实例加以验证.同时从数学     

如何求解双动点线段长的最小值问题

<正>双动点线段是指线段的两个端点都在某个图形上运动的线段.由于线段的两个端点都在运动,因此增加了解决问题的难度.这类问题的解题策略是:消点——将双动点转化为单动点,然后利用"垂线段最短"确定单动点线段长的最小值,进而得到双动点线段长的最小值.下面举例说明.     

钟面上的数学问题

我们每天都离不开时间,所以对钟表是再熟悉不过了。钟面(一个圆周)被等分为60个小格,分针走1个小格用1分。把钟面看成一个周角(360°),分针每分扫过的圆心角度数为360°÷60=6°。因为分针的速度是时针的12倍(时针旋转一周用12小时,分针旋转一周用1小时),所以在相同的时间内,分针走过的格数及扫过的角度均为时针     

例说三类常用的旋转变换

<正>旋转变换大致有三种类型:一是通过旋转将线段或角转移,形成特殊三角形;二是通过旋转集中线段、角、三角形等图形;三是通过线段中点旋转180°,构造中心对称型全等图形.本文意在通过几个例子,帮助同学们体会如何利用旋转来解决问题.一、利用旋转将线段或角转移,形成特殊三角形如果题目中一些几何元素比较分散,而又有共端点的等线段图形,就可以考虑将某个三角形旋转一定度数,形成特殊的三角形,     

运用旋转变换解题

旋转变换是指将某一图形(或图形的一部分)在同一平面内绕某定点旋转定角,得到与原图形全等的图形的数学思想方法.通过图形的旋转,使某些元素(线段或角)相对集中,以利于问题获解.实施旋转变换的前提条件是有公共端点的两等长线段.因此,凡涉及等腰三角形、等边三角形、正方形、菱形及中心对称等线段问题,解题时常可考虑旋转变换,而旋转角的大小,常需具体情况具体分析.     

配角法在三角函数中的应用

在三角函数中,我们经常会遇到如下一类型的题:例1已知sin(α 45°)=3/5,45°<α<135°求sinα.大部分学生会如下的解答思路:由两角的正弦公式有:sin(α 45°)=sinαcos45° cosαsin45°3/5.即2~(1/2)sinα 2~(1/2)cosα=3/5,①又sin~2α cos~2α=1.②联立①②解方程可求解.且45°<α<135°,所以sinα>0,cosα<0,进一步可确定sivα的取值.此种解法,需要解方程,其中的运算过程稍显繁琐.若仔细分析已知条件,可以将α化为(α 45°)-45°.45°为特殊角,其正弦值与余弦值均已知;又由α的取值范围可求α 45°的取值范围,整体运用α 45°的三角函数值,从     

定角定线 隐圆浮现

<正>"山重水复疑无路,柳暗花明又一村".在初中数学学习过程中,有一类动点问题——已知一条线段,平面内任意一个动点连结线段两个端点形成的夹角为定角,求这个动点的相关线段长度的最值问题.本文就这类动点最值问题进行举例分析,供大家参考.     

小菱形初露锋芒

在上一期,我们的新朋友——正弦(边长为1的菱形的面积),已经帮我们解决了好几个问题.但我们对它了解得并不算很多.现在我们就来进一步熟悉它吧.正弦性质1:sin0°=sin180°=0;sin90°=1.当菱形的一个角为0°或180°时,菱形就退化为线段,面积显然为0.当菱形的一个角为90°时(如图1),菱形变成正方形,sin90°就是单位正方形的面积,     

如何正确理解1°的来历

1°是角的基本度量单位,如何让学生正确理解1°的来历?可以设计这样的教学活动。一、复习:如何量线段的长度出示一条长5厘米的线段。提问:要知道这条线段有多长,怎么办?用尺子量。谁会量?请学生测量。小结:线段的起点和尺子的0刻度线重合,线段的另一个端点对着5厘米刻度线。如果把1厘米长的线段看作一条"小线段",那么大线段里包...