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定理 等差数列的前n项的算术平均数等于这n项中的n- 2m(n >2m)项的算术平均数 ,即Snn =Sn-m -Smn- 2m ,(1)其中Sn 表示等差数列的前n项和 .证 设等差数列 {an}的公差为d ,则Snn =a1+ 12 (n - 1)d , Sn-m -Smn - 2m=(n-m)a1+ 12 (n-m) (n -m- 1)dn - 2m- [ma1+ 12 m(m - 1)d]n- 2m=a1+ 12 (n - 1)d ,所以 ,(1)式成立 .推论 正项等比数列前n项的几何平均数等于这n项中的n - 2m(n>2m)项的几何平均数 ,即n n =n-2m (n-m) m ,(2 )其中 n表示等比数列的前n项之积… 相似文献
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定理 设数列 {an}是以d为公差的等差数列 ,Sn 为 {an}的前n项和 ,记bn=Snn ,则数列 {bn}是以d2 为公差的等差数列 .简证 数列 {an}是以d为公差的等差数列 ,则 Sn =na1+n(n- 1)2 d ,∴bn =Snn =a1+(n- 1)· d2 .易知 {bn}是以a1为首项 ,d2 为公差的等差数列 .利用这一性质 ,可以方便地解决等差数列中某些与前n项和有关的问题 ,方法简练、实用 ,也易于被同学们接受 .下面举例说明 .例 1 设 {an}是等差数列 ,Sn 为数列 {an}的前n项和 .已知S5=2 8,S10 =36 ,求S17.解 记bn =Snn ,由定理知 ,数列 {bn}是等差数列 ,设其公差为d′ ,则d′=… 相似文献
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定理 设数列{an}是以d为公差的等差数列,Sn为{an}的前n项和,记bn=Sn/n,则数列{bn}是以d/2为公差的等差数列. 相似文献
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等差数列是中学数学的一个重要内容,各类考试均将其作为重要知识点加以考查。但如能在复习时对其特点作更进一步的研究,并注意加以总结,不仅可使学生能在宏观上进一步地把握它,而且可以扩大解题思路,简化解题过程。以下给出其奇数项和与偶数项和的一个性质,并举例说明其应用。 1.性质 在等差数列{a_n}中, (1)若其项数为2_n,则S_偶-S_奇=nd, 相似文献
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史彩玉 《第二课堂(小学)》2004,(4)
等差数列{an}具有如下性质:若m,n,P,q∈N*,且m+n=p+q,则a_n+a_n=a_p+a_q.利用等差数列的通项公式a_n=a_1+(m-1)d,n∈N*容易证明.直接用这一性质解题可化难为易,化繁为简. 相似文献
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证明等差数列的一个重要性质——数列{an}是等差数列的充要条件为:对于任意三个自然数q、p、r,恒有(q-r)ap+(r-p)aq+(p-q)ar=0成立,并举实例加以说明。 相似文献
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《数学大世界(高中辅导)》2002,(5)
在等差数列{an}中。若m n=p q,则am an=qp aq.这是等差数列的一个简单性质,运用它可解答下面几类问题. 1.求项的值例1 在等差数列{an}中,若a3 a4 a5 a6 a7=450,求a2 a8的值. 解:由等差数列性质得 相似文献
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彭易军 《中学数学研究(江西师大)》2006,(12):21-22
等差数列通项 a_n 的下标 n∈N~*,否则就没有实际意义,如 a_(1.5).但倘若单纯从计算的角度出发,允许这种小数下标的存在,则可得到一个奇妙的非常规的性质,它给等差数列求和带来了新的思路,并给计算带来了很大的方便.一、性质定理及推论 相似文献
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在等差数列{a_n}中有一个性质(*),即如果m n=p q,则有 a_m十a_n=a_p a_q…………(*) 此性质虽简单,但如果不理解此性质之实质而用之,却又常会导致运算错误. 例1 等差数列{a_n}中,a_6 a_9 a 12 a_15=30,则前20项之和S_20为多少? 相似文献
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<正> 由等差数列的求和公式可知,等差数列有这样一个性质: 设等差数列{an}的公差为d,则数列{Sn/n}是以a1为首项,d/2为公差的等差数列. 下面是有关这一性质的应用. 例1 (1996年高考题)已知等差数列{an}的前m项和为30,前 相似文献
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曹银国 《数理天地(高中版)》2013,(6):2-2,4
等差数列有下面的一个重要性质:已知{an}是等差数列,且项序号m、n、p、q满足m+n=p+q,则有am+an=qp+aq.特别地,令n=m,可得若2m=p+q,则有2an=qp+aq. 相似文献
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等差数列的一个有趣性质及证明白银市实验中学张汉武曹德中定理设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=-(m+n).预备定理在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;反之亦真.(证略)证法一... 相似文献
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下面两题,在一些书刊资料上都有选用。 [题一] 一个等差数列共有2n+1项,其中奇数项之和为305,偶数项之和为276,试求第n+1项。 [题二] 求证:等差数列的前2n+1项中,奇数项的和与偶数项的和之比为n+1/n。有的资料还将[题一]改为如下的选择题: 一个等差数列共2n+1项,其中奇数项之和为305,偶数项之和为276,则第n+1项为: (A)31;(B)30;(C)29;(D)28。某资料给出了如下的解答。 [解] 由,得 相似文献
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性质1若{an}成等差数列,公差为d,则{kan+b}也成等差数列,公差为kb.(其中k≠0,k,b是实常数)例1已知a2,b2,c2成等差数列,求证1b+c,1c+a,1a+b亦为等差数列.(高中代数〈必修〉下册128页题6)证明:由已知,a2,b2,c2成等差数列,由性质1,a2+ab+bc+ca,b2+ab+bc+ca,c2+ab+bc+ca成等差数列,即(a+b)(c+a),(b+c)(a+b),(c+a)(b+c)成等差数列.又有(a+b)(c+a)(a+b)(b+c)(c+a),(… 相似文献
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性质 已知数列 an 为等差数列 ,若Sm =a ,Sn =b ,其中m ≠n ,则Sm +n =(m +n) (a-b)m -n .证明 ∵数列 an 为等差数列 ,∴Sn =An2 +Bn .由题设得Am2 +Bm =a ,①An2 +Bn =b ,②①·n-②·m ,得Amn(m-n) =an-bm ,即Amn =an -bmm -n .∴Sm +n =A(m +n) 2 +B(m +n)=Am2 +Bm +An2 +Bn + 2Amn=a +b + 2an -2bmm -n=(m +n) (a-b)m -n .运用此性质 ,可速解下列问题 .例 1 等差数列的前m项和为 3 0 ,前 2m项和为 10 0 ,则它的前 3m项和为 ( )(A) 13 0 (B) 170 (C) 2 10 (D) 2 60解 ∵Sm =3 0 ,S2m =10 0 ,∴S3m =(m+ 2m) … 相似文献
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性质 设{αn}是一个正的等差数列,且公差d≠0,则√α1/α2n+1&;lt;α2/α3&;#183;α4/α5&;#183;α6/α7&;#183;…&;#183;α2n/α2n+1&;lt;√α2/α2n+2。 相似文献