连续自然数的积及其倒数的和式求法

连续自然数积的和式的求解是数学竞赛命题的重要内容之一,主要考查学生求解方法的掌握情况,避免大量繁琐运算,常见的类型有以下两类．第一类：1×2+2×3+…+n(n+1)；1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)；第二类：1/(1×2)+1/(2×3)+…+1/n(n+1)；1/(1×2×3)+/2×3×4+…+1/n(n+1)(n+2)怎样求以上两类和式的结果呢?应该说,它们肯定各有其求解通项公式,现就其各和式的     

自然数的一种有趣的“最大积”分解

《教学与研究》86年第十二期刊登了这样一道迎新趣题:求正整数n和x_1,x_2,…,x_n,使x_1+x_2+…+x_n=1987,且积x_1·x_2…x_n尽可能地大。本题实际上是“把一个自然数分解成几个自然数的和使各加数的积尽可能地大。”(简称自然数的“最大积”分解)的问题。本文将给出解答这类问题的一般方法。把一个自然数写成几个自然数的和只有有限种写法,因而由各加数所构成的积也只有有限种,故必存在最大的一个。这说明自     

自然数k次方的求和

自然数的求和以及自然数平方的求和 ,在普通高中教材中均有详细的证明过程 ,并给出了相应的求和公式 ,而自然数的更高次方的求和 ,在一些专业性较强的文献资料中也给出了一些求和公式 .但自然数k(k为自然数 )次方的求和 ,是否能用一个统一的公式来表示呢 ?笔者经过长时间的探索 ,得出的结论是 :自然数k次方的求和公式能够用一个统一的求和公式来表示 ,用这个公式可以求出自然数k次方的前N项和 .下面先给出求和公式 ,然后加以证明 .Sk=1k + 1 [( 1 +n) k+1-(n + 1 ) -(C2 k+1Sk- 1+C3k+1·Sk- 2 +C4 k+1Sk- 3+… +Ck- 2k+1S3+Ck - 1к+1…     

巧用平均数 分拆自然数

拜读了《小学教学设计》2005年第3期的《数字与数位》一文,受益匪浅。但其中的例3,笔者认为因其解法本身的缺陷,导致其结果有所遗漏。现从连续自然数的平均数有关知识入手,对此类问题的解题规律略作分析。1.n个连续自然数a1、a2、a3、a4、…an的和等于a1 an2×n,a12 an为数列的     

“k重数数列”通项及生成形式

引例　求数列 1 2 ,1 1 2 2 ,1 1 1 2 2 2 ,… ,1 1… 1n个 12 2… 2n个 2,…的通项公式 ,并说明它的各项与自然数的关系 .解　先看前几项 :1 2 =3× 4 ;1 1 2 2 =3 3× 3 4;1 1 1 2 2 2 =3 3 3× 3 3 4;…猜想　 1 1… 1n个 12 2… 2n个 2=3 3… 3n个 3× 3 3… 3n- 1个 34 .证明　通项 an=1 1… 1n个 1× 1 0 n 2× 1 1… 1n个 1 =1 1… 1n个 1× 99… 9n个 9 3× 1 1… 1n个 1 =(3× 1 1… 1n个 1) 2 3× 1 1… 1n个 1 =3 3… 3n个 3× 3 3… 3n个 34 .也可另求通项 an=1 1… 1n个 1× 1 0 n 2 2… 2n个 2= 19(1 0 n- 1 ) 1 0 n 29…     

"0"作为自然数后应作哪些相应补充

自然数集是日常生活中应用最为广泛的一个数集 ,它既可以用来清点数目的多少 ,也可用来编排顺序 ,也就是说点数或排序的结果都是自然数 .数学上据此形成了两种自然数理论 :基数理论和序数理论 ,而这两种理论都是在零不是自然数的前提下给出的 .现在将“0”作为自然数后 ,[《中华人民共和国国家标准》(ＧＢ310 0— 310 2— 93)规定 :自然数包括 0 ]这两种理论皆有必要作相关补充 :1　基数理论下的有关补充集合论的创始人康托尔 (Ｇ·Ｃａｎｔｏｒ)指出 :如果一个集合能够与它的一个真子集建立等价关系 ,这个集合就是无限集 .据此有以下定义 :…     

关于自然数的一个结论及应用

把大于3的自然数N分拆成其它一些自然二L,.二。,J」沙竺白为卜多价~‘侧去巨今。丰q石一N。或N一3(*)且 当3}N时,取a~ob= 当3牛N时,取a=1、2 则(关)是N的所有不同的分拆中能使加数的积最大,且最大值为2“·30. 分析:由于1 xk<1十k,因此在加数的积最大的分拆中,所有加数应是2,3和大于3的数,若N~Zm,将N分成的两个加数的积中,易知只有mZ最大.事实上,取N一n+(2m一n)(m>n),mZ一n(Zm一n)=mZ一Zmn+nZ~(m一n)“>O,…mZ>n(2m一n),若N~Zm+1,同样可得只有加数m与m十1的积最大. 当m或m+1大于3时,将每个加数仿上继续分解,经过有限次,N就写成了…     

自然数方幂的累进和的两个猜想的证明

盛宏礼在《自然数方幂的累进和》(载《中学数学月刊》1997年第1期)一文中定义了自然数方幂的累进和如下:设S_t(n)=1~t 2~t … n~t,SS_t(n)=∑S_t(j),t∈N,并称SS_t(n)为自然数方幂的累进和,通过证明下述定理,建立了累进和与方幂和之间的关系, 定理 SS_t(n)=(n 1)S_t(n)-S_t 1(n).(1)     

自然数方幂求和的比较法

自然数方幂求和的方法较多,为了使其方法更为初等化,本短文采用比较法作一尝试,简单介绍为下: 大家知道,若a/b=m(b≠0)则a=mb (1) 这是四则运算中一个基本公式。又自然数列求和公式1+2+3+……+n=1/2n(n+1) (2)是数列的一个最基本的求和计算公式。我们就从这两个基本公式出发,来探求自然数方幂的求和方法。把公式(2)前K(K=1,2,…)项和所组成的数列:     

自然数公理系统的科学意义

在自然数理论中,皮亚诺公理系统把“0”、“自然数”、“后继数”(记号为“′”)作为原始概念,用下述五条公理作为发展自然数理论的最根本的命题: Ⅰ.0是自然数; Ⅱ.自然数n的后继数n′是自然数; Ⅲ.如果b、c是自然数a的后继数,则b、c是相等的;     

代数式(之五)

沿着前面的思路,这个公式的证明,其实是很自然也很容易的事: 我们在等式(n+1)2=n2+2n+1中,让n依次取从1开始的n个自然数:1,2,3,4,…,n,就得到n个相应的等式: 22=12+2×1+1, 32=22+2×2+1, 42=32+2×3+1, 52=42+2×4+1, …(n+1)2=n2+2n+1将这n个等式中等号两边的式子分别相加,相加时,注意消去等号左边与等号右边第一列中相同的数,就得到     

0是自然数

最近一段时间,编辑部接到许多老师来信,问及“0是否为自然数?”、“0为什么是自然数?”等问题。本文做一个统一答复,以解决老师们在教学中的疑问。在2000年以前,我国的中小学数学教材里,都把0不放在自然数内;2000年以后修订的教材,却把0放在自然数内。也就是说,自然数集合是｛0,1,2,…,n,…｝。为什么要将0放在自然数集合内呢?自然数是人们在实际生活中为描述数量关系而产生的。比如,数物体的多少时,一个物体用1表示,两个物体用2表示。那么,没有物体就可以用0表示。这是自然数表示物体多少的功能,用现代数学语言来说,自然数就是描述一个有限…     

能被末位是3的自然数整除的整数特征

贵刊1993年第5期刊载过《能被末位是9的自然数整除的整数的特征》一文,本文特给出能被末位是3的自然数整除的整数的特征,以供读者在教学和研究中参考.定理能被自然数10n 3(n 为非负整数)整除的整数的特征是:这个数的末位数的(3n 1)倍与它的末位以前的数字所表示的数     

观察·实验·猜想

数学是思维科学,也是实验科学.数学中的推理,不仅包含分析、综合、抽象、概括等演绎推理方式,而且包括观察、实验、归纳、猜想、调整等合情推理方式.近年的中考命题常常以此来作为考查学生数学探索能力和创新能力的好题材.下面举例说明.例1(2003年福州市)观察下列各式:1×3=12+2×1,2×4=22+2×2,3×5=32+2×3,…请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来:.解观察、比较所给已知等式:不难得到上述等式中所体现的规律是n(n+2)=n2+2n.说明:由特殊到一般的过程是人们认识事物的一般规律,而观察、发现、归纳是得出结论、发现数学规律最常用的…     

为什么把“0”作为一个自然数

现在，在小学数学讲《数的整除》一章中，已经明确地把数“0”作为一个自然数看待，但倒底怎样解释?听了很多，大部分的解释是把这看作一个“规定”，就是说可以把“0，1，2．…n，…”作为自然数，也可以把“1，2，…n，…”作为自然数。显然，这样的“解释”是不够的。在这儿谈谈我的理解。     

自然数的互素平方差分拆

1 自然数的平方差分拆 文[1]给出了任意自然数的全部平方差分拆及其组数,即求出了 n=x~2-y~2(n是已知的任意自然数)①的全部自然数解及其组数,但定理结论的叙述有些零乱,可把文[1]的定理1、2及推论3综述为 定理1 (1)当2n且n>1时,①有自然数解,且全部自然数解为x=(1/2)(a b),y=(1/2)(a-b),其中.a,b∈N,ab=n,b相似文献   

为什么要把“0”作为一个自然数?

现在已明确地把数字0作为一个自然数,为什么?如果把这看成一个规定,也就是说,可以把0,1,2,…,n,…作为自然数,也可以把1,2,…,n,…作为自然数.显然,这样的解释是不够的.     

连续自然数的和与积的一些性质

几个连续自然数所构成的数列,是一个以1为公差的等差数列,根据等差数列的通项公式可知,最小数为m(m≠0,下同)的n个连续自然数的和为Sn=nm+n(n-1)2.(1)最小数为m的n个连续自然数的积记为Tn=m(m+1)(m+2)…(m+n-1).(2)本文对几个连续自然数的和与积的一些性质做一点探讨.关于这些性质,我们或者给出证明思路,或者只给出结论,其详细的证明留给有兴趣的读者去完成.1连续自然数之和的性质性质1两个连续自然数之和是奇数.性质1显然成立.由性质1不难推出:任意四个连续自然数之和(两个奇数之和)一定是偶数.进一步有:任意4n(n∈N+)个连续自然数之和一定是偶数.     

自然数的连续分拆

[1]中介绍了自然数的连续分拆的概念(即将一个自然数分拆成若干个连续自然数的和),并给出了自然数可连续分拆的充要条件.本文再讨论如下两个方面的问题: 1.对每一个确定的自然数n,它有多少个不同的分拆方式?如何求出所有不同的分拆? 2.对于给定的自然数r,怎样判断自然数n是否可分拆成r个连续自然数的和? 为了讨论问题方便,我们先将[1]中的充要条件改述成如下的定理1,并给出一个新的简单证明.     

自然数的一种迭代性质及猜想

设n任N,T是N到N的一个变换.令 T,(n)=T(,:),T,+1(,:)=7’(7’,(,:)),k~l,2,·…称T,为T的k次迭代.现在对自然数,:=a,…a,a。,定义 ,I’(n)~a盆+a二一、十…+a百+a石.(*)则有 定理对任何自然数r,N上的变换(,)在有限次迭代以后必进入循环.设r·gr是k位整数,取,,。~max(10圣,10『),并设 儿=a,…a .a。=a,.10加+一+a,.10+口。,其中甄半0.那么,当n>n。时,。)k,m)r.这时 7’(,:)一a几+…十a万+a么.由于函数f(x)~x(10’一x『一’)(0镇x镇9)递增(’·’f‘(x)~一。。=二x·,李10‘一r .gr妻0),故a.(10”一a万’))10’一l)10盖一1.于是,,一了’(…