一元二次方程的两个性质及其应用

设一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)有二实根x_1,x_2,易知有如下两条性质: 性质1.若a+b+c=0,则x_1=1,x_2=c/a;反之,若x_1=1,x_2=c/a,则a+b+c=0.     

高考常考的数列十大考点

考点1:等差数列、等比数列的概念与性质命题走向等差数列与等比数列的基本知识是高考的必考点.这类考题既有选择题、填空题,也有解答题;既有容易题、中等题,也有难题.重点关注等差数列与等比数列的性质.试题预测1.已知数列1,a₁,a₂,4成等差数列,     

隔项等差数列的研究

隔项等差数列与隔项等比数列的例子多次在高考中出现,探讨隔项等差数列与隔项等比数列的性质很有必要.文[1]已对隔项等比数列的性质作了较全面的研究,这里我们来讨论一下隔项等差数列的性质.     

根与系数的关系的应用

设方程 ax~2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x_1,x_2,那么 x_1+x_2=-(b/a),x_1·x_2=(c/a).这就是一元二次方程根与系数的关系.由根与系数的关系,我们知道:以两个数 x_1,x_2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x~2-(x_1+x_2)x+x_1·x_2=0.根与系数的关系使我们能够由方程来讨论根的性质;反之,则可以由根的性质来确定方程的系数.因而,根与系数的关系的应用相当广泛.我     

等差数列的一个重要性质

<正> 由等差数列的求和公式可知,等差数列有这样一个性质: 设等差数列{an}的公差为d,则数列{Sn/n}是以a1为首项,d/2为公差的等差数列. 下面是有关这一性质的应用. 例1 (1996年高考题)已知等差数列{an}的前m项和为30,前     

等差数列一个简单性质的应用

在等差数列{an}中。若m n=p q,则am an=qp aq.这是等差数列的一个简单性质,运用它可解答下面几类问题. 1.求项的值例1 在等差数列{an}中,若a3 a4 a5 a6 a7=450,求a2 a8的值. 解:由等差数列性质得     

等差数列的若干性质及其应用

本文把散见于课本及各种资料上的等差数列的性质做个归纳,然后举例说明这些性质的应用. 一、等差数列的性质设{an}是等差数列,则1.an=an+b,反之也真(其中a、b为常数); 2.Sn=an2+bn,反之也真(其中a、b为常     

抛物线弦的一组性质

抛物线y~2=2px的焦点弦为AB,则y_Ay_B=-p~2,这是抛物线焦点弦的一条常用性质.对一般的弦而言,也有类似的性质,这里,我们给出一组充要条件,揭示弦的性质. 若AB为抛物线y~2=2px的弦,其中A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2).则有: ∠AOB为直角x_1x_2 y_1y_2=0 y_1y_2 Ap~2=0; ∠AOB为锐角x_1x_2 y_1y_2>0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)>0; ∠AOB为钝角x_1x_2 y_y_2<0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)<0. 证明:cos∠AOB=|AO|~2 |BO|~2-|AB|~2/2|AO|·|BO|=2(x_1x_2 y_1y_2)/2|AO|·|BO|,故∠AOB为直角cos∠AOB=0x_1x_2 y_1y_2=0; ∠AOB为锐角cos∠AOB>0 x_1x_2 y_1y_2>0; ∠AOB为钝角cos∠AOB<0 x_1x_2 y_1y_2<0. 又A、B在抛物线上,故y_1~2=2px_1,y_2~2=2px_2,从而(y_1y_2)~2=4p~2x_1x_2,故x_1x_2 y_1y_2=1/4p~2·y_1y_2(y_1y_2 4p~2). 从而 x_1x_2 y_1y_2=0 y_1y_2 4p~2=0(显然y_1y_2≠0), x_1x_2 y_1y_2>0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)>0, x_1x_2 y_1y_2<0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)<0,得证. 应用这组充要条件,可方便地解决与抛物线弦相关的一类问题.     

凹凸函数性质的应用

定义.如果对于f(x)的定义域D中的任意x_1,x_2,有f(x_1+x_2)/2≥(≤)则把f(x)叫做D上的上凸(下凸)函数。定理.如果f(x)是D上的上凸(下凸)函数则对于x_1,x_2,…,x_n∈D,n∈N,有f(x_1+x_2+…+x_n)/n≥(≤)f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_k)/n下面我们用凹凸函数的性质证明一类不等式。     

阶差数列的几个性质及其应用

等差是等差数列最核心的本质特征.高阶等差数列(或称n阶差数列)是等差数列的普遍形式,一阶等差数列是n阶差数列当n=1时的特例.以往所见关于等差数列的讨论,大多围绕其一阶情况展开.有些常见的关于等差数列的定义也仅仅适用于一阶条件的假定,不能确切描述等差数列的高阶(二阶及以上)情况.本文研究高阶等差数列及其差分性质,以及在数列的通项公式和前项和的作用.     

巧用性质 减少运算量

我们在解决等差数列问题时,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题的目标.如果等差数列的性质运用得好,往往能取得通过巧用性质提高解题效率又能减少运算量的效果.一、绕过等差数列通项公式巧用性质求等差数列的某一项     

抛物线内接直角三角形的一个性质及应用

<正>抛物线除了对称性等熟知的性质外,还有一些未知的性质.本文探求以抛物线上一定点为直角顶点的内接直角三角形的一个性质,并运用该性质快捷地解决有关问题.一、性质及拓展抛物线y=ax²上有一定点A(x_0,y_0),B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)是二次函数图象上的两个不同于点A的动点.若AB⊥AC,     

函数基本性质的应用

<正>函数是高中数学的基础,对函数性质的考查一直都是高考命题的热点。因此,熟练掌握函数的基本性质,并运用这些性质去解决实际问题显得尤为重要,本文将对函数的单调性和奇偶性在解题中的应用进行探索。一、函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式:设x_1,x_2∈[a,b],则(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0x_1-x_2f(x_1)-f(x_2)>0f(x)在[a,b]上是增函数;(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0     

一个下凸函数不等式的加细及应用

设函数 f(x)=x (1/x),x∈(0,1),易知函数 f(x)在(0,1)上是下凸函数,由下凸函数的性质有:当 x_1,x_2∈(0,1)时,f(x_1) f(x_2)≥f((x_1 x_2)/2) ①当且仅当 x_1=x_2时取等号.对于下凸函数 f(x)x 1/x,我们给出以     

等差数列的不等式及其拓广

等差数列与等比数列的前n项和是高中数学的重要内容.在文[1][2]中,作者证明了等差数列与等比数列的前n项和的一些统一性质.在文[3]中,作者列举了等差数列的一个有趣性质:命题【3】 设{an}为等差数列且满足公差d≥0以及a1>0,则当n≥2时成立如下不等式:2(√an+1 -√ an )< d/√an <2(√an -√an-1 ).(1)本文目的主要是推广以上的不等式并把等差数列的结论推广到一类更广泛的递推数列中去.     

用不等式求三角函数式极值(最值)常见错误剖析

求三角函数式的极值,最常用的不等式及其性质、定理,可归纳为以下三个方面: 1.一元二次方程在实数范围内有解,则判别式大于或等于零,即b~2-4ac≥0; 2.三角函数具有有界性,如-1≤sinx≤1,-1≤cos≤1; 3.x_1 x_2 …x_n/n≥(x_1·x_2…x_n)~(1/n)(x_1,x_2,…x_n均为正数,n为正整数,当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。 利用不等式求三角函数式的极值时常见错误剖析如下:     

Jensen不等式在处理一类竞赛题不等式中的应用

<正>Jensen不等式[1]:若函数y=f(x)是(a,b)上的凸函数,则对任意x_1,x_2,…,x_n∈(a,b)都有f(x_1+x_2+…+x_n/n)≤f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n)/n.其中等号当且仅当x_1=x_2=…=x_n时成立.Jensen不等式反映了凸函数的一个基本性质,它有着极其广泛的应用.本文中我们利用此不等式     

解题教学中学生观察能力的培养

数学教学中,培养和提高学生观察能力,可把数学解题和观察能力的培养有机结合起来,引导学生从各方面去仔细观察题型特点,深入观察和分析欲解(证)问题的每一个已知条件,把握问题的已知和未知、局部和整体、数和形等方面所呈现的特征,发现联系和规律,从而获得简捷、精巧、合理的解法,有效地促进了学生观察想象能力的发展.例1 若(z-y)~2-4(x-y)(y-z)=0,则x、y、z成等差数列.<份析一>观察已知条件所呈现的特点,会发现其形式完全类似于一元二次方程ax~2 bx c=0的判别式b~2-4ac=0的形式,于是可考虑将题中的条件视为关于t的二次方程(x-y)t~2 (z-x)t (y-z)=0有等(?)的情况,观察不难发现,这个关于t的一元二次方程的特征是各项系数之和等于零.因此方程有一个根x=1,从而可知方程有两个等根x_1=x_2=1,又根据韦达定理两根之积x_1x_2=y-z/x-y=1,于是易得x,y,z成等差数列的结论.     

等差数列一个性质的应用

等差数列{an}具有如下性质:若m,n,P,q∈N*,且m+n=p+q,则a_n+a_n=a_p+a_q.利用等差数列的通项公式a_n=a_1+(m-1)d,n∈N*容易证明.直接用这一性质解题可化难为易,化繁为简.     

利用等差数列的“伴随函数”解决“和问题”

<正>等差数列的性质是高考考查重点之一,面对众多的性质,我们如何灵活利用这些性质来解题呢?本文将对等差数列的一个重要性质作出推广,并用所得结论解决一类等差数列的"和问题"。公差为d的等差数列{a_n}的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d(n∈N*),若函数f(x)=dx+(a_1-d)(x∈R),则有a_n=f(n)。本