巧用均值不等式简解一道数学奥林匹克训练题

笔者无意中在文献[1]中看到了如下一道数学奥林匹克训练题，拜读了作者提供的解答后，受益匪浅，发现还可以利用均值不等式进行解答，且对该不等式进行推广．     

巧用均值法证明不等式举隅

均值不等式ab≤a2 b2/2由于其变形灵活,使用时技巧性强,从而成为不等式证明的一大亮点.本文撷取几例,以示其魅力.     

巧用均值不等式证明一类分式不等式

若x、y∈R+ ,则x +y≥ 2 xy　 ( ) ,这是众所周知的均值不等式。本文利用不等式 ( )给出一类难度较大的分式不等式的简捷证明 ,相信能够引起众多中学生的浓厚兴趣。例 1　已知a>1 ,b>1 ,求证　 a2b-1 +b2a -1 ≥ 8。(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明　据不等式 ( )得a2a -1 =(a -1 ) +1a -1 +2≥ 4,同理有　 b2b-1 ≥ 4,∴ a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 ≥ 2 4·4=8。例 2　设α、β、γ为锐角 ,且sin2 α +sin2 β +sin2 γ =1 ,则有　sin3αsinβ +sin3βsinγ+sin3γsinα≥ 1。( 1 994年《数学通报》第 1 0期问题栏 91 2…     

利用均值不等式证明等式问题

众所周知,均值不等式是处理不等式问题的有力工具,但是,有些等式证明问题用均值不等式反而简单,请看以下例子．     

妙用二元均值不等式证明不等式

二元均值不等式的应用十分广泛,无论历年的高考试题,还是各级各类数学竞赛试题,都有重要应用.本文意在探讨如何妙用二元均值不等式的各种变形证明一些不等式.     

用均值不等式证明无理不等式和分式不等式例析

均值不等式是我们证明不等式最有力的基本工具．本文从数学思想的角度,例谈均值不等式在证明无理不等式和分式不等式中的应用．[第一段]     

巧用均值凑数法证明一类不等式

高中教材中基本不等式a+b2 ≥ab(a>0 ,b >0 )是证明不等式时经常要用到的 ,等号成立的条件是“a=b” .若对a +b =P(定值 )当且仅当a =b=P2 (定值 )时 ,ab才取得最大值 .利用这一结论 ,我们可以证明一类不等式 :例 1　已知a、b都是正数 ,且a +b =1,求证 :　　　a+1+b+1≤ 6.证明　由a +b=1,知当a =b=12 时有a +1=b +1=32 ,于是有a +1· 32 ≤a+1+322 ,b+1· 32 ≤b+1+322 ,两式相加 ,得a +1· 32 +b +1· 32≤ a+b +2 +32 =3 ,即　　a+1+b+1≤ 6.上式的证明过程中先凑出了一个数32 ,这是根据字母a、b在题设条件和结论中地位是对等的 (即在条…     

一道数学奥林匹克竞赛不等式的证明与推广

本文旨在给出一道巴尔干数学奥林匹克竞赛不等式试题的五个证明,并对这个优美不等式作出五个推广,供读者参考．     

2013年韩国数学奥林匹克一道不等式题的精彩证明

<正>题目已知a,b,c>0且ab+bc+ca=3,证明∑cyc(a+b)3[2(a+b)(a2+b2)]13≥12①这是一道分式不等式的证明题,突破点自然聚焦在每个分式项的变形与放缩上.笔者经过思考,利用基本不等式(a+b)2≤2(a2+b2)与(a+b)2≥4ab获得几种证明.     

一个三角不等式的初等证明及应用

1命题已知,则有,其中等号当且仅当时成立．说明：上面不等式的证明,按照一般思路借助sin2x＋cos2x=1或三角函数的有界性或万能公式转化等,经尝试均不能证明．但是我们通过讨论研究发现,利用待定系数法把两个不等式成立的条件结合起来可以证明．为了证明方便,下面先给出两个简单结论（证略）．结论1设,则,其中等号发且仅当：时成立．（特别地,m,时不等式实质上是算术平均数不小于调和平均数的变形）结论2中等号成立的充要条件是命题证明若①、②两个等号同时成立的条件可求得m,n或对应的x值,则的最小值即可得出．等号②成立的条…     

巧用均值不等式证明数学奥林匹克不等式题

<正>均值不等式是一个应用非常广泛的不等式,在证明不等式问题时,为了创设使用均值不等式的条件,常常需要对题中的式子作适当的变形,而变形的出发点又常常是在兼顾所给条件的基础上注意不等式的取等条件．例1 （2022年香港数学奥林匹克试题）     

巧用均值不等式求最值

文[1]用向量和导数求最值,读后受益匪浅．感觉构造向量和求方程f′（x）=0的根是难点,学生不易把握．均值不等式是高中数学必修内容,是数学中最重要的基本不等式之一,也是人们最为熟悉的不等式．在求最值方面,均值不等式的工具作用应引起师生足够重视．下面用均值不等式结合待定系数法或分母换元解文[1]中的几个例题．     

以曲代曲证明不等式——切线法证明不等式的发展

用切线法证明不等式已有过不少研究,例如文[1]、[2]．其操作过程是：设f（x）是一个函数,用待定系数法决定不等式f（x）≤αx＋β（或f（x）≥αx＋β）中的常数α和β,     

2021奥地利数学奥林匹克不等式题的探究

(2021奥地利数学奥林匹克不等式)已知a,b,c∈R⁺,a+b+c=1,求证:a/2a+1+b/3b+1+c/6c+1≤1/2(1).本文拟对不等式(1)的证明方法、变式、推广等方面作一探究.1.不等式(1)的证法分析1:不等式(1)的左端每一项的结构相同,但遗憾的是分母的系数不等,注意到每一项的特点,因此可通过证明局部不等式,再叠加.     

妙用二元均值不等式证明不等式

二元均值不等式的应用十分广泛,无论历年的高考试题,还是各级各类数学竞赛试题,都有重要应用．本文意在探讨如何妙用二元均值不等式的各种变形证明一些不等式．     

若干2014年国际数学奥林匹克不等式题的简单解答

本文旨在对2014年国际数学奥林匹克中一些不等式问题进行探究并给出其简单解答． 例1（2014年罗马尼亚数学奥林匹克）已知a,b,c是满足xyz＋xy＋yz＋zx=4的正数,求证：z＋y＋z≥3．     

数学奥林匹克中的不等式问题(下)

4 调整法 （1）对三个变元的不等式f（x，y，z）≥10，可排序后证明：     

柯西不等式在数学证明中的应用

在中学我们重点学习了几何均值不等式及其应用,本文中我们将介绍柯西不等式在解题中的一些应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。所谓柯西不等式是指：设a,b．∈R（i=1,2…,n,）,则（a1b1＋a2b2＋…anbn）^2≤（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）,     

一道2010年瑞士数学奥林匹克不等式的证明

一道2010年瑞士数学奥林匹克试题如下:已知x、y、z>0,xyz=1,求证:(x+y-1)2/z+(y+z-1)2/x+(z+x-1)2/y≥x+y+z.证因为x、y、z>0,     

用均值匹配法探索不等式的证明思路

在含有多变元的轮换对称不等式中,针对含有多变元具有轮换对称性的特点,借助不等式中等式成立的条件,选取不等式中常数项或独立项的平均值,作为参照量进行适当匹配,再利用平均值不等式即可迅速简捷地证明一类高难度轮换不等式．其优点是方法固定,思路自然,过程简单,操作容易．实践证明,这种证法非常贴近学生的原认知水平,易于为他们所领会和掌握．下面以一些竞赛试题为例说明其应用．例１　（《数学通报》１９９５（８）,问题９６９）正实数ａ、ｂ、ｃ满足ａ＋ｂ＋ｃ＝１,求证：１－３ａ２＋１－３ｂ２＋１－３ｃ２≤６．证明　…