稀少而有趣的完美数

己知自然数a和b,如果b能够整除a,就说b是a的一个因数,也称为约数.显然,任何自然数a,总有因数1和a.我们把小于a的因数叫做a的真因数.     

稀少而有趣的完美数

已知自然数a和b，如果b能够整除a，就说b是a的一个因数，也称为约数。显然，任何自然数a，总有因数1和a。我们把小于a的因数叫做a的真因数。[第一段]     

奇妙的完全数

在遥远的古希腊有一个著名的数学学派——毕达哥拉斯学派．这一学派对数的性质异常感兴趣．他们发现:有些自然数的所有真因数(即那些可以除尽该自然数的自然数,且不包括该自然数本身)之和比它们本身要大,如12的真因数有1、2、3、4、6,其和是16．另有一些自然数,它们所有真因数之和比它们本身要小,如4的真因数有1、2,其和是3．那么,有没有     

毕达哥拉斯的小故事

有这样一些数,其中每个数恰好等于它除了本身以外的所有因数之和.比如:6的真因数:1、2、3,6=1+2+3;28的真因数:1、2、4、7、14,28=1+2+4+7+14;496的真因数:1、2、4、8、16、31、62、124、     

毕达哥拉斯的小故事

有这样一些数,其中每个数恰好等于它除了本身以外的所有因数之和．比如：     

奇妙的完全数

在遥远的古希腊有一个著名的数学学派——毕达哥拉斯学派．这一学派对数的性质异常感兴趣．他们发现，有些大于0的自然数的所有真因数（即那些可以整除该自然数的自然数，但不包括该自然数本身）之和比它们本身要大．     

古今数学难题

完全数问题古希腊人认为一个数的所有因数之和等于它自身的数叫完全数。如6的因数有1,2,3,且6=1+2+3;又如28的因数有1,2,4,7,14,且28=1+2+4+7+14;还有496等都是完全数。迄今所知道的完全数都是偶数,但尚无人能够证明任一完全数必为偶数。费尔马大定理著名法国数学家皮埃尔·费尔马(1601-1665)在一本书页边的空白处写道:“如果 n 是大于2的数,那么没有三个整数 a、b、c 能使 a~n+b~n=c~n 成立。我已经找到一个奇妙的证明,只是这页边太小了,写不下。”直到他去世以后,这一记述才被发现。     

素数与合数

若a和b是自然数,且a=bq其中q也是个自然数,则q叫做是由数a除以数b所得到的商,并记作q=a/b.也可以说a能被b整除,或b除a而无余数。能除尽a的任何一个数b都叫做a的因数.数a本身相对于它的因数来说叫做倍数.因此,b的倍数是b,2b,3b,…数2的任何倍数(也就是能被2除尽的数)叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数.每一个自然数或是偶数,或是奇数.若两数a_1,a_2都是b的倍数,则它们的和a_1+a_2也是b的倍数.这显然可从下列得到:     

有趣的亲和数

亲和数是指一对正整数，它们各自等于对方所有因数之和，例如数220和284即为一对亲和数．220=2^2&;#183;5&;#183;11，其因数之和为：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284；284=2^2&;#183;71，其因数之和为：1+2+4+71+142=220．毕达哥拉斯认为，这样一对数的关系符合“友道”，所以叫做亲和数．公元300年左右，希腊人伊安布利霍斯对数学家尼科马霍斯《算术入门》一书的注释中，记载了见诸文字的最早的一对亲和数220和284．     

亲和数

亲和数指的是:对于自然数 m 和 n,若 m 的全部因数(不包括自身)之和恰好等于 n,而 n 的全部因数(不包括自身)之和又恰好等于 m,则 m 和 n 是一对亲和数.例如,220的全部因数之和1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110=284,而284的全部因数之和1 2 4 71 142=220.所以220和284是一对亲和数1 历史最早明确地给出亲和数的是毕达哥拉斯,他只知道220和284这对亲和数.这是远古时期人们找到的唯一一对亲和数.公元9世纪,阿拉伯学者塔比·伊本·库拉(Thabit ibn Qurra,826～901)发现了一个求亲和数的公式:设 a=3·2~n-1,b=3·2~(n-1)-1,c=9·2~(n-1),其中 n 是大于1的正整数,则当 a、b 和 c 都是大于2的素数时,2~nab 和2~nc 是一对亲和数.验证:当 n=2时,a=11,b=5,c=71,都是素数.     

两位数乘法的速算

一、“首同末合十”的两位数乘积的速算 “首同末合十”是指两个两位数,它们的十位数字相同,个位数字之和为10． 设有两数分别为10a＋b,10a＋c,且b＋c=10,则有： （10a＋b）（10a＋c）=100a^2＋10a（b＋c）＋bc=100a（a＋1）＋bc．     

数列中的思想方法

1．倒序相加法例1求在区间[a,b]（b〉a,a,b∈N）上分母是3的不可约分数之和．     

神奇的完全数

早在2600多年前,古希腊的毕达哥拉斯学派就发现了完全数。什么是完全数呢?如果一个自然数恰好等于除去它本身以外的所有因数之和,那么这个自然     

从一道小学算术题谈起

一本小学五年级的《同步训练》上有这样一道题： 1/19=1/a＋1/b,a、b都是自然数,求a和b． 有位学生是这样做的： 1/19=20/380=1/380=1/20＋1/380,所以a=20,b=380. 这个学生绝顶聪慧,先将原分数分子分母都扩大20倍,然后将扩大后的分子拆写成两数的和,使两个加数都是分母的因数,再分拆除之．无疑答案是正确的．     

一个等式的应用

这是一个颇有价值的等式，利用这个等式解一些竞赛题目，简单明了，趣味横生．例1立方体的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写二数之和都相等，若18的对面写的是质数a，14的对面写的是质数b，35的对面写的是质数c，试求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．（1992年北京市中学生初二竞赛题）解∵a＋18＝b＋14—c＋35，值是．．（第九届“缙云杯”初中数学邀请赛试题）解由已知，可得例3设a、b、c是不全相等的任意实数，若x＝a2－bc，y＝b2－ca，z＝c2－ab,则x、y、z（）（A）都不小于0；（B）都不大于0；（C）至少有一个小平0；（D）…     

一个组合最值问题的来源和推广

问题1 设n为正整数,Dn为2^n3^n5^n的所有正因数所成的集合,S真包含Dn,且S中任一数都不能整除S中另一数．求｜S｜的最大值．     

不要忘了分母之和等于零的情况

我们知道等比性质：如果a/b=c/d=…=m/n，那么a b c … m/b d … n=a/b成立的条件是b d … n≠0，即分母之和不等于零，但在一些具体问题中，还必须考虑分母之和等于零的情况．否则会造成漏解甚至无法解的情形．     

奇妙而神秘的完全数

在自然数中,"6"这个数是非常普通的一个数,然而它却隐藏一个不被人们注意的特性。这就是6的因数有四人,即1,2,3,6。除了它本身以外,其它三个因数的和恰好等于6这个数本身,具有这样特点的数,人们称之为完全数。在数学中,如果一个自然数等于除它本身以外的所有正因数之和,则这个数叫做完全数。6是最小的一个完全数。有1人做过统计     

问题1．4参考答案

【问题1.4】试证明:如果a,b是正整数,那么数列a,2a,3a,…,ba中能被b整除的项的个数等于a和b的最大公约数.证明:设d是数a和b的最大公约数,则有a=dm,b=dn,其中m,n是两个互质的数(否则d不是a,b的最大公约数).这时,a,2a,3a,…,ba中所有的数用b去除,商可写为:mn,2nm,3nm,…,(dnn)m.因为m,n互质,所以,当这些商为整数时,只有其分子中m的系数:1,2,3,…,dn能被n除尽.(由dn=b知)这样的系数的个数等于d.问题1.4参考答案     

数学竞赛中的有理数问题

数学竞赛中的有理数问题,包括有理数的概念、大小比较、计算技巧等问题,例如: 一、有理数的概念例1 设a是最小的自然数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则a、b、c三数之和是()