圆锥曲线在任一点处切线的作法

平时课堂教学中作圆锥曲线在某一点处的切线时，都是画个大概位置．所以在某一次课上，我给同学们介绍了椭圆x^/a^2＋y^2/b^2=1上任一点P处切线的作法：设椭圆两焦点为F1，F2，以其左焦点F1为圆心，以长R=2a（2a〉2c）为半径作圆，如图1，连接F1P并延长与⊙F1相交于点M，     

基于超级画板的定点问题再研究

《数学教学》2013年第3期《基于超级画板的定点问题研究》一文中讨论了如下问题：过圆上某点垂直的两动弦与圆相交得两动点，连结此两动点的弦（直径）过定点（圆心），接着把性质推广到过抛物线、椭圆、双曲线上某点垂直的两动弦的性质，进一步推广到过二次曲线上某点斜率乘积为常数两动弦的性质．推广后问题（不含抛物线）的具体陈述为：     

圆锥曲线

平面在圆锥面上所截得的曲线叫做圆锥曲线．如果截面不通过圆锥面的顶点，根据不同情况，所截得的曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线（其中的圆可看成椭圆的特殊情况）．通常把圆锥曲线作为椭圆、双曲线和抛物线三者的总称．     

圆与椭圆几何性质的类比探究

在椭圆方程b^2x^2＋a^2y^2=a^2b^2中,当a=b时,椭圆就变成了圆x^2＋y^2=b^2．因此,可以把圆看作是椭圆的一种特殊情形．椭圆的某些几何性质,利用“一般性寓于特殊性之中”,可以类比圆的几何性质而得到．事实上,圆的某些重要的性质推广到椭圆中仍然有类似的结论,这充分说明了椭圆与圆之间具有密切的内在联系．     

直线和圆锥曲线位置关系的判别定理

在平面几何中，要判别直线和圆的位置关系，通常用如下简单而重要的定理1：定理1如果一个圆的半径为R，圆心到一条直线l的距离为d，那么：（l）d=R直线l和该圆相切；（2）d＞R直线l和该圆相离；（3）d＜R直线l和该圆相交．但是，直线和椭圆、双曲线、抛物线的位置关系是否也有与定理1类似的结果呢？通过研究，我们分别有如下判别定理：定理2如果一个椭圆半短轴长为b，焦点F_1、F_2到直线l的距离分别为d_1、d_2，那么：（1）d_1d_2=b~2且F_1、F_2在l同侧直线l和椭圆相切；（2）d_1d_2＞b~2且F_1、F_2在l同侧直线l和椭圆相离；（3）d_1d_2…     

做中学——第十二册“圆锥的体积”教学片断实录与评析

（教师通过复习旧知、激情引趣、导入新课内容，师生共同制定教学目标。）师：刚才同学们说得都很好，大家都明确了本节课的学习任务，那么你们想用什么方法学到这些知识呢？生：我想像上节课一样看书自学，掌握这节课的内容。生：我看到我们桌上有学具，我们想做实验，通过实际操作看看能不能解决同学们的问题。（每组课桌上都有一组推导圆锥体积的学具）师：刚才这两名同学选择的学习方法都可以，那么同学们还有没有其它的方法呢？生：老师，我想把前面两名同学的方法结合起来，既看书还操作，可以吗？师：当然可以啦，你很聪明，想得很好…     

利用压缩变换解决竞赛与自主招生中的椭圆问题

椭圆是到2个定点F1，F2的距离之和等于定值2a（2a〉｜F1F2｜）的点的轨迹，是到定点与定直线（定点不在定直线上）的距离之比等于常数e（0〈e〈1）的点的轨迹，是到2个定点的斜率之积为常数K（K〈0，K≠-1）的点的轨迹。而在压缩变换视角下，椭圆是压扁了的圆，利用这个角度，有时可以快捷地解题并看到问题的本质。定义压缩变换τ：平面x′O′γ′上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的n/m倍（m〉0，n〉0，m≠，n），得到平面xOγ。显然在压缩变换τ下，平面x′O′γ′上的圆C′：x′^2＋γ′^2=m^2就压缩为平面xOγ上的椭圆x^2/m^2＋γ^2/n^2=1,于是我们可以利用圆的几何性质和压缩变换的性质来研究椭圆，通常研究3类问题。     

与圆有关的综合题浅析

与圆有关的综合题能够考查学生数学知识的全面掌握情况和分析问题的能力，常作为中考命题的压轴题．近年来有关国的综合题综合的内容越来越广泛，解题技巧要求越来越高，如何解此类问题，本文通过几则例题分析解题思路，仅供同学们学习时参考．一、圆和直线形相结合这类题目数量最多，解此类问题要根据国和直线形的有关性质，首先分析解题思路，然后把综合问题分解成几个问题逐步加以解决．例1已知：如图1，圆O1和圆O2相交于M、N，D是NM延长线上一点，两圆的连心线交圆O1于A、B两点，AD交圆O1于C，DN分别交AB、BC于E、G．求证：EM…     

对一个数学问题的探究

在《数学教学》2008年第12期的数学问题与解答栏目中有这样一个问题： 题目 如图1，已知椭圆方程为x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）,切椭圆于点P的直线与圆O：x^2＋y^2=a^2相交于点M，N，圆O在点M，N处的切线相交于点Q，求证：PQ⊥x轴．     

巧用圆解椭圆问题

圆是椭圆的一个极端图形,而圆的性质已为大家所熟知,如何把椭圆方程转化为圆方程呢? 笔者经过探究得到以下结论: 设椭圆方程为x2/a2 y2/b2=1,令x=(a/b)x’,则得圆方程:(x’)2 y2=b2,若令y=(b/a)y’,则得圆方程:x2 (y’)2=a2．用这个结论解题,不仅思路清晰,和谐优美, 而且解题过程简捷明快有新意,可以收到事半功     

初中语文第四册《发问的精神》教学实录

教学目的１．独立理解发问在求知、明理、创造中的重要性。２．引发学生的创造性思维,把所学的论证方法迁移到写作中去。老师：同学们,据我了解,我们这个班的同学思维很活跃,课上课下总要向老师提出问题,直至把老师问住了还不罢休（同学们得意地窃笑）,但是,同学们...     

一对奇妙的数

有这样一道三角题：若A、B、C都为锐角且cosA=tgB,cosB=tgC,cosC=tgA,求sinA、sinB、sinC的值.解：∵cosA=tgB．cos2A 1=tg2B 1=sec2B,同理可得在此题中，SinA、SinB、SinC的值都为，它的倒数为这就是数学中著名的黄金数．我们记，则a=1．这是一对简单而又奇妙的数．在解析几何中，以椭圆的两焦点连线为直径作圆，试问椭圆和圆的面积谁大？答案是不能确定．有时椭圆大，有时圆大现在问题是在什么条件下它们的面积正好相等？设椭圆的方程为则椭圆的面积为ah、以两焦点连线为直径的圆面积为，要使它们的面积相等，则必有：结果表明…     

被声音“绕过”的男孩

那节课．当我把问题接连抛出时,孩子们的学习热情被激发到最高点,一只只小手举得高高的．有的甚至站了起来,嘴里还喊着：“老师．我!”环视一周．我的目光落在小杰的身上。他没有举手．满脸的木然．没有同学们的激情．看得出他的心没有在课堂上,又“神游”去了。     

呼唤“作文”课

还记得上小学第一次作文课的情景。老师一句一句地把他自己写的一篇文章抄到黑板上．整整抄满了一黑板;然后让我们读,让我们记,到第二节课的时候．老师把黑板上的文章东擦掉几旬西擦掉几句,只剩下一个“架子”：最后要我们把黑板上的作文写到自己的本子上．并补上老师擦掉的句子,看谁写得快．看谁补得好。同学们热情很高．到下课时都完成了自己的“作文”．很有成就感。     

椭圆化圆事半功倍

众所周知，椭圆和圆的关系可谓千丝万缕，圆可以看成是椭圆的特例，椭圆也可以看成圆的变形和推广；圆显得老实本份，它涉及的问题往往容易解决；而椭圆则显得比较调皮甚至捣蛋，它涉及的问题相对不太容易解决．我们若能把有关椭圆的问题转化为有关圆的问题解决，则往往能收到事半功倍的效果，下面举例说明之．     

二次曲线的几个值得重视的参数

与由椭圆的最基本因素a、b、c所衍化出的c/a、b~2/c、a~2/c等主要参数相比，椭圆的另一个参数c~2/a独具意义，应用别致，为我们解决有关椭圆的问题提供了一个新的视角．一些看上去复杂抽象，计算冗长的问题，运用它后，解答过程将显得直观简捷，清晰明了．问题1已知P是椭圆0）上动点，M(m，0）是椭圆长轴上的定点，其中m≤a，求P、M两点间最短距离．设动点Ｐ的坐标是（acosθ，bsinθ），由两点间距离公式可得：从上面的解答可以看出时，与定点M（m，0）距离最短的点是椭圆的长轴的端点．也就是，圆心是M（m，0）的内含于椭圆的最大圆与…     

对一道中考题公平性的质疑

2007年台州市的一道中考题如下： 1．善于思考的小迪发现：半径为a,圆心在原点的圆（如图1）,如果固定直径AB,把圆内的所有与y轴平行的弦都压缩到原来的a/b倍,就得到一种新的图形——椭圆（如图2）,她受祖冲之“割圆术”的启发,采用“化整为零,积零为整”“化曲为直,以直代曲”的方法。正确地求出了椭圆的面积,她求得的结果为——。     

一道联赛题的研究

题目给定椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）以及圆O：x^2＋y^2=b^2,自椭圆上异于其顶点的任意一点P,做圆O的两条切线,切点为M、N,若直线MN在x,Y轴上的截距分别为m,n．     

圆锥曲线

平面在圆锥面上所截得的曲线叫做圆锥曲线．如果截面不通过圆锥面的顶点,根据不同情况,所截得的曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线(其中的圆可看成椭圆的特殊情况)．通常把圆锥曲线作为椭圆、双曲线和抛物线三者的总称．这三种圆锥曲线还可以用下面的方法统一定义:     

看:看图学文教学的关键──《小足球赛》一文教学谈

《小足球赛》一课，图文并茂。抓住“看”，可以使图文有机地结合起来，从而达到把图学活，把文讲透的教学目的。一、讲自从看人手，由形到林。1．看（观察）。首先明确看的对象、顺序、重点。以小守门员为例，看的对象：小守门员；顺序：由上而下，由下而上；重点：动作、神态。然后按照看的顺序，抓住春的重点设计填空，要求学生边看图（观察人物时要特别强调学生注意人物面部表情和眼神）边境空。2．做（做动作）。让每个学生站到自己座位旁边照图上的样子做动作。当同学们用心模仿图上的小守门员的动作时，对小守门员的动作神态便体会得…