浅谈一元二次方程的整数根问题

在各级各类的初中数学竞赛中,一元二次方程的整数根问题备受命题者的青睐,本文介绍几种求一元二次方程的整数根的方法以及与此有关的问题的解法.1整系数一元二次方程整数根的求法1.1利用判别式整系数一元二次方程有整数解时,判别式是完全平方数利用这条性质可以确定整参数的值,但需验证这些值是否使方程的根为整数.     

一元二次方程有整数根问题的求解策略

已知一元二次方程有整数根 ,求方程中参数的值 ,这类问题类型较多 ,解法不一 .本文介绍几种常见方法供参考 .1　求根法当一元二次方程的判别式Δ是完全平方式或完全平方数时 ,可利用因式分解法 ,先求出方程两根 ,再求参数 .例 1　已知关于 x的一元二次方程 a2 x2 - (3a2- 8a) x +2 a2 - 1 3a +1 5 =0有整数根 ,求整数 a的值 .分析　因为Δ =(3a2 - 8a2 ) - 4 a2 (2 a2 - 1 3a+1 5) =(a2 +2 a) 2是完全平方式 ,故可用因式分解法求出方程根 .解　解方程得 x1 =2 - 3a,x2 =1 - 5a.因为方程有整数根 ,所以 x1 或 x2 是整数 .因此 ,a是 3或 5的因…     

与一元二次方程整数根相关题的解法

求一元二次方程的整数根是各类竞赛的常见题.这类问题将整数理论和一元二次方程的有关知识有机地结合在一起,解题的技巧和方法较灵活.现举例说明这类问题的解法.一、利用整数的奇偶性     

一元二次方程的整数根

内容概述一元二次方程的整数根问题,将整数理论与传统的初中数学知识相结合,涉及面宽、范围广,且需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧.例1 已知关于x的方程(a-1)x2+2x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a有___个.(2000年全国初中数学竞赛)分析:由于方程未指明是什么方程,因此要对a的取值进行讨论求解.略解:当a=1时,原方程即为x-1-0,有整数根x=1.当a≠1时,原方程为一元二次方程,分解因式得x=-1-1/a-1或x=1.     

整数与二次方程

下面的问题与代数推理有关,它没有几何图形的依托,更能培养你抽象思维能力. 问1 若m、n是奇数,关于x的方程x~2+mx+n=0有整数根吗? 分析可取m、n的两个具体奇数,然后试解方程,发现二次方程没有整数根.对于一般情况,还要进行证明.     

二次方程整数根问题解法初探

1994年福州市初二数学竞赛有这样一道试题: 当m是什么整数时,关于x的方程 x~2-(m一1)x+m+1=0的两根都是整数? 这是涉及到一元二次方程整数根的问题,这类问题在数学     

一元二次方程的整数根

一元二次方程的整数根问题难度较大,是中考特别是竞赛中的爬坡题型.本文举例说明与一元二次方程整数根有关问题的解法. 例1 已知方程x2+(α-6)x+α=0(α≠0)的两根都是整数,试求整数α的值. 思路分析:当α取值不同时,方程的系数就随之不同,方程的根的情况也就发生变化.究竟什么情况下,方程的两根都是整数呢?还是从根与系数的关系人手比较好. 解:设方程的两整数根为为x1、x2,根据根与系数关系得     

整数根定理的再改进

关于整系数多项式的整数根,有如下定理: 1.给定整系数多项式 f(x)=a_nx~2+a_(n-1)x~(n-1)+…+a_1x+a_0 (a_0≠0)如果r是f(x)的整数根、则r必是a_0的因子。由这个定理虽然可确定f(x)的可能的整数根的范围,但在某种情况下,范围是比较大的。所以有必要把这个“可能零点”的个数尽量减少。《中学数学教学》1983年第2期发表的“整数根定理的改进”一文,对定理1作了改进。使可能的整数根的范围大大缩小。该译文的定理如下:     

一元二次方程有整数根的字母求值

一元二次方程的学习中,经常遇到一类有整数根的字母求值问题．这类问题灵活多变,具有一定的难度．下面举例介绍多种求值方法,供参考．一、利用方程解的定义求例In为正整数,方程x‘一响十l）x十月n－6＝0有一个整数根,则n＝．（1993年安徽省初中数学竞赛试题）解设00为已知方程的整数根,那么no‘一响十1）OO十月0－6一队整理,有（xo’－00－①＋（0－0。）月一o00‘－00－6为整数,（0－。0）且为整数．rt、XO＝0．X02－XO－6＝O．解之,n二。。＝3或一2n为正整数,…n＝3．二、利用因式分解成例2已知k为整数,巨关于X的方程（扩…     

竞赛题中的一元二次方程整数根问题

若一元二元方程的两根为整数,则其和差积仍为整数,运用这一性质可借助因式分解、根的判别式、根与系数的关系等知识,并充分结合整数与整除的有关性质解决一些竞赛中的整数根问题.     

一元二次方程的整数根

一元二次方程的整数根问题 ,不仅涉及到二次方程的相关知识 (包括方程的各种解法、判别式定理以及韦达定理等 ) ,同时还与整数、整除等知识密切相关 ,其知识性、综合性和技巧性都很强 .因此 ,这类问题近年来备受竞赛命题者的青睐 ,成为了初中各级数学竞赛的一大热点 .一、基础知识1 .一元二次方程的有关知识 :( 1 )判别式定理 ;( 2 )求根公式 ;( 3 )根与系数的关系 (韦达定理 ) .2 .整数以及整除的有关理论 (略 ) .例 1　设关于ｘ的二次方程 (ｋ2 -6ｋ 8)·ｘ2 ( 2ｋ2 -6ｋ -4 )ｘ ｋ2 =4的两根都是整数 ,试求满足条件的所有实数ｋ的值 .…     

竞赛题中的一元二次方程整数根问题

若一元二元方程的两根为整数,则其和差积仍为整数,运用这一性质可借助因式分解、根的判别式、根与系数的关系等知识,并充分结合整数与整除的有关性质解决一些竞赛中的整数根问题.     

一元二次方程整数根问题的解法技巧

在近些年来的初中数学竞赛中,经常出现含参数的一个或几个一元二次方程有整数根的问题,这类试题或求整数根或求参数或求含参数的代数式的值,其类型繁多涉及的知识面广,解法灵活多样且技巧性极强.本文试对这类问题的常用解法技巧系统归纳如下,供读者参考.一、利用一元二次方程根     

数学综合题归纳与训练 一、代数综合题

代数综合题是以初中代数知识为主体的综合题.由于综合题涉及的知识覆盖面十分广泛,涉及的知识类别中常常是“你中有我,我中有你”,因此,不易将它们作十分明显的分类.根据题目的特点,代数综合题大体可分为四类:方程类、函数类、动点类、应用类.1方程类方程类代数综合题一般以一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、根的意义和参数的隐含条件为主线.例1已知关于x的方程kx2 (2k-1)x k-1=0①的根为整数,而关于y的方程(k-1)y2-3y m=0②有两个实数根y1、y2.(1)当k为整数时,确定k的值;(2)在(1)的条件下,若m>-2,用关于m的代数式表示y21 y22.解:…     

例谈一元二次方程整数解的解法

解含参数的一元二次方程整数解的问题,关键是要熟练掌握一元二次方程解的概念、解法、根的判别式、根与系数的关系,以及整数、完全平方数的性质,缩小未知数的取值范围,利用不等式组的解集得出整数解,并能运用分类     

一元二次方程的整数根的讨论

近年来,在初中数学竞赛中经常涉及一元二次方程的整数根问题,这类问题通常是通过讨论其判别式、利用根与系数的关系进行分析归纳,然后检验确定结果.     

一元二次方程整数根问题的求解策略

含有字母系数的一元二次方程整数根问题,一般要求待定字母值或整数根．解答这类问题,首先要认真观察方程的结构特征,数值特征,找准解题突破口,然后经过适当变形,利用整数式性质、意义夹逼出字母或根的范围,进一步在此范围内,对字母的值逐一试验,通过验证加以确定...     

一元二次方程的整数根

求一元二次方程的整数根是各类竞赛的常见题.由于这类问题将整数理论和一元二次方程的有关知识有机地结合在一起,解题的技巧和方法较灵活.现举例说明这类问题的解法.一、利用整数的奇偶性例1!若m、n是奇数,求证:方程x2+mx+n=0没有整数根.分析:只要证明x既不可能是奇数,也不可能是偶数就行了.证明:如果x是奇数,由于m、n也是奇数,则x2+mx+n必为奇数,它与x2+mx+n=0矛盾;如果x是偶数,由于m、n是奇数,故x2+mx+n必为奇数,它与x2+mx+n=0矛盾.因此,方程x2+mx+n=0没有整数根.二、利用判别式及辅助未知数的取值范围例2:!已知m是满足不等式1≤m≤50的正…     

巧用韦达定理解竞赛题

如果ax~2 bx c=0=(a≠0)的两个根是_x_1、x_2,那么x_1 x_2=-(b/a),x_1·x_2=c/a.这个定理是数学家韦达发现的.它揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系.应用这个定理来求解的数学竞赛题在历年的初中数学竞赛中,频频出现.下面我们一起探讨几个问题。一、讨论方程的根的状况例1 当m是什么整数时,关于x的方程x~2-(m-1)x m 1=0的两根都是整数?     

一元二次方程的有理根与整数根

大家知道,对于有理数系数的一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0),有有理数根的条件是△=b~2-4ac为一个有理数的平方。关于求整数根问题,一般地是在以上结论基础上利用求根公式、判别式、根与系数的关系(韦达定理)等二次方程的基本理论并结合整