一道课本例题的解题功能

人民教育出版社出版的高中数学第二册(上)(试验修订本·必修)第六章(不等式)第三节(不等式的证明)中有这样一个例题:已知a、b是正数,且a≠b,求证:a3 b3>a2b ab2.教科书上采用了作差变形来证明,这里不再叙述.     

怎样补充条件?

例　已知 :如图 1 ,∠ACB =∠DBC ,要使△ABC≌△DCB ,只需增加的一个条件是　　　　 (只需填写一个你认为适合的条件 ) .除了证明直角三角形全等的定理“HL”外 ,一般证明三角形全等需三个条件 ,因此 ,首先应看看要证明全等的两个三角形已具备哪些条件 :已知条件有∠ACB =∠DBC ,由图形可得BC =CB(这是一条公共边 ,是“躲”在图形中的一个非常重要的隐含条件 .其他还有公共角、对顶角、邻补角、外角等 ) .这样 ,△ABC和△DCB便有一个角和一条边对应相等 ,只需补充一个条件即可 .下面就应联想证明三角形全等的相关定理1 .联想“…     

贝努利不等式的证明及其应用

在全日制十年制岛中课本第三册第145页上有这样一个不等式: “设x>-1,且x≠0,n是不小于2的整数,证明 (1 x)~n>1 nx.”这个不等式就是有名的贝努利不等式。书上用数学归纳法给出证明,作为证法1摘录如下:     

俄罗斯数学奇才破解千年难题——“庞加莱猜想“

百万美元大奖无人认领 　　十几年来,没有哪一届国际数学家大会,能像今年在西班牙马德里召开的2006年国际数学家大会(ICM2006)这样引人注目.早在几个月前,ICM2006的网站上就贴出了这样的消息:“一个有100年历史的数学难题的证明,将在本届大会上宣布.“……     

一个重要定理的证法探讨

探讨用初等数论的知识证明一个重要定理:素数有无穷多个,给出了八种证法.这样可 沟通初等数论各部分知识之间的联系.     

初中阶段应用诱导公式不能忽视的一个条件

初中代数第四册习题四中有这样一道习题:“设A、B、C为一个三角形的三个内角,求证:sin(A B)=sinC。”人教社出版的《教参》中此题的证明是“sin(A B)=sin(180°-C)=sinC”。我们认为这样证明欠妥。初中课本证明sin(180°-α)=sinα这个公式时有条件α为锐角,对α为任意角的情形并未加以证明。这一题中,C作为三角形的一个内角,可能不是锐角,因此要分三种情形讨论:①C为锐角时,     

数学竞赛中的一类数列问题

(本讲适合高中) 数学竞赛中常出现这样一类数列问题:已知数列{a_n}的通项公式或一个非线性递推式,证明对于一切自然数n,a_n均是整数;或证明a_n是(不)能被某个整数所整除的整数. 解这类问题的一个较为适用的思路是:根据题设,先建立一个线性递推式     

从一道几何习题所想到的

利用课本习题举一反三,触类旁通,是培养自己分析问题、解决问题和发散性思维能力的一个有效途径.几何第一册214页上有这样一道题:△ABE 与矩形 ABCD 有公共边 AB,顶点 E 在矩形的边 CD 或其延长线上,求证:S_(ΔABE)=1/2S_(矩形 ABCD).问题的证明只需用三角形和矩形的面积公     

用反函数的性质解方程

反函数有这样一条性质: 若单调递增函数与其反函数图象有交点, 则交点必在直线y=x上. 证明设y=f(x)在其定义域上是增函     

数字冰雹猜想的突破

数字冰雹猜想是:对于任意一个自然数N,如果N是偶数,就把它变成N2;如果N是奇数,就把它变成3N+1.按照这个法则运算下去,最终必然得1.这个有趣的猜想引起了许多数学爱好者的兴趣,并做了大量的研究、验证,都没有找到此猜想的一般规律,至今都是数学领域里悬而未解的难题.这个难题如何解决呢?在研究过的大量数字冰雹数列中都有神奇的数字漩涡124,并由此可以推导出数字漩涡公式:n=3n+12x.由数字漩涡公式引导出的三个证明都可以各自独立地证明:当数字冰雹数列中,只有奇数n1,n2(或者奇数n2就是第1个奇数n1本身)时,只有唯一的数字漩涡124.根据证明三推导出证明四,证明四可以证明:当数字冰雹数列中有奇数n1,n2,n3,…,nv时,这样的数字冰雹数列中不存在别的数字漩涡(除数字漩涡124外).证明五可以证明每一个数字冰雹数列最后都必然得1.因此由证明一、二、三、四、五的充分论证就可以证明数字冰雹猜想是正确的.     

从一道竞赛题得到的三角恒等式

武汉市1957年中学生数学竞赛第二试中,有这样一道题:设方程x~n-1=0的n个根是1,a_1,……,a_(n-1),求证: (1-a_1~2)(1-a_2~2)…(1-a_(n-1)~2)=(0,当n为偶数时当n为奇数时)其中n≥2,(试题见福建人民出版社《历届中学生数学竞赛题解》)。这题的证明并不很困难,现证明如下: 证明:当n是偶数时,方程x~n-1=0的实根有两个:1和-1。因此在a_1,a_2,……,a_(n-1)中有一个为-1;这样在1-a_1~2,1-a_2~2,……1-a_(n-1)~2中,必有一个为零。因此,当n为偶数时,(1-a_1~2)(1-a_2~2)……(1-a_(n-1)~2)=0;     

球面上两点间距离的一个证明

在一次数学课外小组活动中,同学们提出这样一个问题:经过球面上任意两点的大圆的劣弧最短(这个劣弧长叫做球面上两点间距离),但怎样证明呢? 为此本文给出以下一个证明: 如图,设过球面上任意两点A、B的大圆和小圆的劣弧分别为ACB和ADB,试证明: ACB相似文献   

一道立几题的推广和应用——八五年全国高中数学联赛二试第二题的一种解法

高中立体几何课本(甲种本)习题八中有这样一道题目: 11。一个棱锥所有的侧面与底面所成的二面角都等于a,那么 S佣二 证明:如图1设V一A:刃2…A。S底COSa-为,棱锥,只要证明 S△VAIAi+1 =旦应。A‘A‘十’ COSa(i二r,2,…,九,A。,,与A:重合)即可.也即 证明:设△ABC所在平面与平面M所成的二面角为a,C〔M. (1)若月B与平面M不平行,如图3所示.延长AB与平面M必有一个交点D.设点A在M内的投影是A’,点B在M内的投影是B’,则B尹必在DA产上.由命题1有: S△^‘De=S△^De·eosa, S心a‘ne=S△BDe一eosa,S△人,De一S△a,De一‘S△ADe…     

教学:以问题为中心

哥德尔(1906.4—1978.1),奥地利数学家、逻辑学家,对数学、逻辑学作出了巨大贡献。哥德尔证明(以下称证明)导致了递归论的问世。证明通俗的表达是:任何一个严格的数学系统中,一定有用本系统公理不能判定的命题。递归论认为,当人们试图解决一个问题时,并没有最后的答案,而是将这个问题递归到了另一个为什么上,这样递进下去,会形成一个为什么的问题链,最终必     

应用“定值法”证明一组几何命题

近年来,国内外数学竞赛和数学杂志“问题征解”栏目中常出现形如“证明…至少有一个不小于…,亦至少有一个不大于…”这样的题目.证明此类问题,方法灵活多变,技巧性很高.本文将介绍证明此类问题的两种基本方法:“积式定值法”与“和式定值法”.其基本思想是先根据问题的条件、结论和构形特点,准确地选择若干与题断相关的非负变量,并证明其“积式”或     

巧证一个高考题

2001年高考数学卷(理工农医类)第20题是这样一个题目:已知 i,m,n 是正整数,且1(1 n)~m.对于这个题目,考生失分较多,特别是第2小题,得满分者更是寥寥无几.本文将用均值不等式对第2小题给出一种巧妙的证明方法.     

若干分式不等式证明的思考

简单地说,不等式的证明过程是一个放缩的过程.由于放缩具有很大的灵活性(具体体现在放缩方向的确定、放缩程度的把握以及细节的微调等诸多方面),所以不等式的证明对证明者是一个极大的挑战.常常出现这样的情况,一个不等式问题被提出来后,因命题者当局者迷,也许会给"旁观者"留下证明的宽阔的舞台,于是,一个又一个简单的、漂亮的证明被不等式爱好者寻获.而且,就像做任何事一样,证明不等式有很多技术层面的细活,学习者不仅要了解、熟悉,而且要领悟、体会.     

一道课本习题的多种证法

高中数学(人教版)第一册(下)第47页有这样一题:求证tanα π4 tanα-π4=2tan2α.分析:这是一道三角恒等式的证明问题,解决这类问题的基本策略割化弦,从繁到简.一般思路是根据题目特点,结合有关三角公式适形.由于思维角度的不同将有多种证明方法.证法一:积化和差.左边=sinα π     

教授最常用的语言，缩短从学习到交际的过程

美国夏威夷大学 R.C.Sittler 先生在他的“听力教学”一文中举了这样一个例子:有个青年在中学和大学共学了八年英语,语法知识很熟,掌握的词汇很多,为了报考美国研究生班需要获得一个精通英语的证明。当他解释完计划后作者问他:How old are you?他脸上     

加强命题 巧证不等式——例说数学归纳法的间接应用

<正>数学归纳法的实质在于:将一个无法(或很难)穷尽验证的与正整数n有关的命题转化为证明两个普通命题:(1)证明当n取第一个值n_0(n_0∈N*)时命题成立;(2)假设n=k(k≥n_0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.有些表面看来与数学归纳法无关(或不易直接用数学归纳法证明)的命题,如能将其推广或加强,转化为一个更强的命题,而加强后的命题用数学归纳法易于证明,这样原来的命题就间接