复数指数形式的一些应用

溉利用复数的指数形式处理有关复数式的计算和变显得较为简便。兹举例于后。例1,。为自然数、解方程: (男 ‘). (劣一沂)”=o一/劣 八.‘/劣 八.解,气万不/=一‘,、玉二刁/=e,一令氏二兀 Zk兀 ”(k=。,l,2,…,”一1)则些万-I=e‘e‘劣二二丝鲍三笠e‘e‘一l二漂红大州彝户华擎 LCOS口‘一l夕十刀Sln口山氏一2 厅﹄ C 一一Zsin6。曰吕 2(z一eoso。)一ctg共黔书(k~o,1,2,…,”一1)。求和名eos ka及艺s‘”“a·劣2.即例解:’.’艺eos ka ,艺s‘n“a二艺(eos“a :s‘nka)一习‘e·‘)·二.全竺业些二二旦召‘.一1电一1庵一l留二一(rosa ,51…     

三角式的和与积

、三角函数式的和设a、,aZ,d(夕年2无万)…,a。,为等差数列,公差为则有熟知公式习“i”a’“5 in(a 宁‘,S‘·晋“ dS‘n丁乙cosa‘=eos(a十牲二鱼d) 2 (1)5 in兰d2 ds‘n丁(2)应用公式将sina d‘“‘”万,c 05“‘ 了5 In一 2化和差立得.同样的积化和差,可证公式(d钾无二)n一1乙5 1 na,c 05“’‘_,in(a。 a,)5 in(a。2 51几d一a:)刀一125 ind, (3)C 05夕土Szn口i十i。艺间=丝州乡士夕工珍11叮夕 2 sind。一a,) n一1 25 in夕(4)n‘1乙e osaicos。, ;琳eos(a。 aJ)eos(a。一a2 sind2了一1 2eosd, (5)乙5 ina,sin“,千eos(a。 a,)eos(a,…     

sin~kα与cos~kα的降幂公式

本文推广定理1角降幂公式设k任N,k)2,〔尝〕‘;f导列有艺曰Cos口1Zk一1a(、k)eos(左十2一2,)。.()gOl午第六明27n勺﹄系数a(气、i两足a‘扩,=z,Jl.(a”)=“、从+a(梦.,、〔宁〕)一卉〔·:n’一‘二,,一弓,_磅l‘,)。。、(,卜:一21,‘了i一(2)+(夕忆,11n︸,‘(k一卜1)吃k) ~(n〕‘+切,1,cOS“·若k为偶数,“梦1二 (取)Zak二+a2咔记a‘丫+,)=a{’=1,口(飞川=。}少二一2若k为奇数,则a (玉)口k+1 2‘““‘晋,,飞+‘+a;n,知)证应用归纳法。e 05忍a(eosZa+1),定理结论成立. 对奇数,,有eos”’卜’a绝2c 05’a=专‘a‘;,cosZa+a(梦,cosa,其中…     

欧拉公式e~(θi)=cosθ isinθ在三角中的应用

欧拉公式应用很广.中学教材只提出此公式和指数式与复数三角式的l珍化.本文就其在三角中的应用作一些探讨. 一基本公式 由欧拉公式esl一coso 1511飞夕.容易推出 庆一一ee一踌一eos6一isin夕eosee头 e一8i 2一·5 ins=e岛e一氏tgo一一e一氏i(e肠 e一价) 应用举例计算三角函数式的值COS37T 57T二讨一COS二es ll十汀一7例1计算cos 『3允 e一钊十e下rl7 e-一;解:原式一 3r十e一钊十e争 e-臀,)e一罕‘(l一e粤‘ 1一e号,,i一e替犷!e带川一e‘!(等比数列求和) K1一,] 一一 X1一21、1一e。·e争。二r入一—丫二爪“e了-廿土12(e万,=一1)例2已知t…     

sin~2α cos~2α=1的运用

“,“2“斗一cOSZ“一1是一个十分重要的公式,灵活运用它解三角题,可以沟通已知与未知的内在联系,达到化繁为简、化难为易的月的.下而介绍它在四个方面的运用. 5 insa十eossa 5 insa(5 inZaeosgaeosZa)‘ 一 C/万走), 小/万走)”(2k2十3k2)‘(2电十3今)ks(2 3)4k8丝625一用s:n,a eos‘。一1转化条件用a~(sinZa eos,a)a化三角式例1(1994年高考)已知sin6 eoso~冬,。任(。,O例4(第16届哈尔滨市高中数学竞赛试题)已知二),贝。tgo的值是:将已知等式两边平方,得tgx-丫下一,求eos4x一eosZrsin23工的位.如解S‘nZ“一十2·‘no·o·夕 一“一矗…     

运用合分比定理证三角恒等式

三角恒等式证明题中有一类题目,若采用合分根据合分比定理得:比定理去证.则可使证明过程大大简化.例1.已知:tga=协tg刀二一瓷攀哥一带等, 粼决会-/雀恶绍争-拼十I市一1拼十l拼一1证明:由已知有:二退三_二tg户,卫匕 1例丁已知: (1+。cosa)(l一。eos尹)==1一e乞(‘今O) .29.求证:、梦一尝-二 ‘1+君l一etgZ车 乙则有l一eo台夕l+eos沙COS男一COS之COS戈+COSZ证明:由(l+eeosa)(l一ecos刀)二l一‘2得。(c osa一eos刀)二。2(cos a cos夕一l),.’口斗0宕十Xs,n一万一s‘n之一X 2COS之+x eos之一戈 夕2.’ l,....~.....侣吕 eeos a eos夕一…     

两个三角等式的应用与推广

高一代数课本中,有这样的两个式子:eos(n+1)a.51,一na艺、inkx=5--l“=去〔n一同理可得:5 Ina〕士(n+1)x sin告nx 5 in告戈eos左x=e‘〕s士(,+1)x。in士nx 5 in去x “只。。·’“一晋+5 innx,e‘,5(n+1)工 2 sin劣·E‘、产、.产咬工9曰‘了.、了.、 下面就它的应用与推广,作三方面的阐述。 一、将上列两个等式当作公式直接应用,可以大大简化运算。 例2.求证sinlo“+eos290“+51::30。+eos310“+sin50。=去sin25Oe、es“。 证5 in10。+eos290“+、11,30。+ eos310。+511150“ =5 in10。+51一120“+。in30。+ 5 in40“+sin50“ 二、应用这…     

一个应用广泛的三角公式

一月d乞‘丁、,lu“个slnP s生n7一sln(a 肖 下)=45主。a 刀Sln刀 丫 2Sln下十a 2(浓)形式对称,容.Slna一刀 2易记亿;应用广泛,值得推荐。 证明:_丝色丝竺、、2一).451”左={’sioa s:力夕二 [:in,一sin(。 尸 ,)]a 岁 251刀刀十下一厄.一sln护 召 2二:s,。卫少口COS~.竺二刀 2 2。。:丝吵夕土卫‘右。证毕..:in-竺二夕理竺罗方便公式(浓)没有任何附加条件,所以应用起来灵活.Zsina 户 2COSa一夕 2 :eos旦士夕土丝 2a 刀 2)例1.在△A那中,求证,任·51刀刀 51。方 、inC二4eos仓cosA eosB eos(A BC了COs1COs了 一Z,‘甩、 n SC︸2一…     

两个三角恒等式的应用

在三角恒等式sin(二+掩6)。竺逻叫·+丫吟口一2 n Scos(x+存6)二醋一(·+号“)~~~,.~.,.‘.,.-1习h-..-1名柯中,令 一1 口。2才=拜,口=”(,:〔N,。)2)则有一a+殊兀。5 In-一—---一一二二U云。os。绝一,壳一0艺曰 运用这两个公式,值计算问题. 例1计算:(1)可方便地解决一类三角式的求 4几+cos~了一十毋舀6汀7纷︸7 O+cos瞥+。05‘号‘+。05垮些 7,‘、兀(名)COS石ee COS O通1 5﹁曰.0兀r、/.r OU 解:(1)原式==一1。Zk才eos一7一e0SO二0一1(2)注意到eos 衬=cos万,CoS加扬 3对=cos百 cos石 2对一cos一万 介=COS~二.十COS b旦丝6 1/兀…     

n倍角公式及其应用

应用De。。艺v:。公式和二项式定理,可推得n倍角公式:。inos=C盖eos”一’ooino一C勇eos”一’0·5 in“0 C之eos”一seoin“0-·…,(1) 2eosoo=C二eos”0一C,eos”一“osin’o C二eos”一‘ooin‘0-…,(2)例1.求eosls。、tg18“的值.解8=18“,etg50=etg90“=0由“’、‘2’,·     

关于正余弦方幂数列的求和

文〔1〕讨论了如下两个公式:e0Sa一+eosa:+…+eosa了:·。s(一+尹一ld 2竺d艺 n ;‘ S、j了.一~一姐一一一,(1)d一2 n S5 1 nal+SinaZ+…+sina51·(·;+鉴“)·‘11普“:二一一一-一一--一一(2)5 Ind2其中,a,,…,a,是以d(d年0)为公差的等差数列. 现在考虑数列{cos”a*.},王。in”a、} (:为自然数,{“、}为非常数等差数列,公差为d),应用余弦降幂公式及公式(1) (2)即可推导它们的公式. 例1.求证c。。Za;+cooZ“:+…十cos’。。eog4a、=3几 8、乙卜 eos〔Za:+(刃一1)d〕sin泥d甲一一Zsind co82〔Za,+(路一1)d〕sinZnd十一eos〔Za,+(兄一l…     

一组三角恒等式的证明及应用

求证:当n为大于1的自然数时,对任意的t,总有._.1,.2介、二/,.4招、.甲slnl‘十—J十5111.万十一I十. 、”/\”Ic。51‘十2(坛一1)(1) ·‘nl‘ 2(”一1)汀〕l一。, 0 一一﹄!!曰 兀名、根据复数相等的定义,得下-,.「_2(,一1、1);Slnl才 一北l~0_~t刀J(2)2(i一1)兀 抢,.0。J 证明:当”二2时,(l)、(2)显然成立. 当”为大于2的自然数时,可作边长为1的正”边形月1月:…刁,,且使2(i一1)汀1_。—一‘二二U月一月2=eos才 ,sint, 则有 石3一(‘ 午卜,·‘n(‘ 粤), 戚一,(‘ 午) :·‘·(‘ 等), 本1一{‘ 一少亏」达} ,·‘·卜 匹i气,星〕. ,.…     

赏析自主招生考试中的复数问题

复数具有代数形式、三角形式、指数形式等多种表述方式,所蕴含的实际意义是以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系,由此,该知识点是高校自主招生考试(也是高考与数学竞赛)的一个重要内容. 1复数知识 1.1 复数的表示形式与运算 代数形式:z=a+bi(a、b∈R); 三角形式: z=r(cosθ+i sinθ)(r≥0,θ∈R); 指数形式:z=reiθ(r≥0,θ∈R). 例1 设复数 ω1=-1/2+√3/2i, ω2 =cos2π/5+isin2π/5. 令ω=ω1ω2.则复数 ω+ω2+…+ω2011=(______). (2011,复旦大学自主招生考试) 解 显然,ω1=e 2πi/3,ω2 =e2πi/5. 则ω=ω1ω2=e16πi/15. 故ω+ω2+…+ω2011=ω(1-ω2011)/1-ω 而ω2011=ω2010·ω=ω,于是, ω+ω2+…+ω2011 =ω.     

用复数三角式变形解三角函数问题

有关三角函数的问题,角式变形公式求解. 设复数三角形式 之=cogo+艺sino, :一丈二eoso一艺sino。 (1)·:一(2)·z整理,得 月可应用复数的三:2“+1 2全”⑥(l) (2)二2’‘一1乞(呀云不万’艺(z艺”+1)⑦5 ino二(1)。之十:2一12艺二(2)·z整理,得 z艺+1 2之COS左0二tgn口二e七gno二,2月1① 上述八个变形公式,把角分别用复数z的代数式来表示⑧0的三角函数,可把三角函C080=②数的问题转化为代数式的恒等变形的问题.由同角三角函数关系,得例1求sin等一s‘n磊的值·tgs22一1叔二「不乃一,③解:设z=cos工十10乞5 Ine七90=玄(z“+1)④由棣莫佛定理…     

复数在求轨迹方程中的应用

例1直接利用复数相等的条件求轨迹 Z是圆l川=r上的点,z0=o bi,求复数了(二)一: 音 而所对应的点尸的轨迹方程.解:令j(二)~二 封:,z=r(eos口 isin口), (o(6<2对)则劣 g,~r(eos口 :sin6) a b: 1r(eos口 ‘sin口)ee 一〔(· 子)一“ ·} !(一告)S‘·, “」‘·故二一(· 子)一“ ·,。一(一令)·‘·“ “·当r一‘时x=a ZeosB,,二b(o《6<2兀).所以轨迹是平行于x轴的线段.=b(a一2《二《a 2)当r笋1时,消去参数口,得尸的轨迹方程(x一a),(r 生丫、r/.(,一b)含_丫只)’-1,是为中心在Z。的椭圆. 二、利用复数运算的几何惫义求轨迹 例2.IAB!.2…     

利用一个恒等式巧解几道竞赛题

则有介”一1二艺a。十习A、(:)2)(1)落=1七.1:对任意n个数乡,,bZ,…b。,显伟月冈」打证 本文给出一个代数恒等式,并用于解几道国内外数学竞赛题.,叮1,…,al入一 定理设数或复数,令。。为任意一组实A,=艺无=1,然有恒等式:习b‘去 ‘.1由于T‘=(i 1)(S‘ ,一l),(i=i,2,二,:),于是有但习(,一i)b‘二枯一1介习习石‘(,)2),U二=叉 云=1 介 11_下一二一述’,十i=习(S‘ ,一1) 1 Ji,Jl犯一卜﹄翻协一,曰n t=1因此 (n》七=1‘目1月二艺(S￡一1)二T。 1一(: 1),:习b‘=习fb‘ 份一J七习习叭 手=12)。 乞忿1再由T。 1七=1一‘=1=(,: 2)S,‘ :一(…     

《代数恒等式证法种种》一文补正

拙作《代数恒等式证法种种》中例13证明有误, _证明:设a三乡ina,b移osa,e二“in日,则由ae+bd=0得习Ina匀in目+eosaeos尽“0 正确的证明应为:d二eos日, 井即eos(以一日)二0…a一卜=匕获+万(k任Z) 山 兀 北““k成+玄十氏则a’+c’“5 in’以十“主n’日“““in’(k兀+百+p)+“in’日二“o‘2日干‘i几’,”万b:+d之二eo习Za+eosZp“eo。“(k“+言+6)+eos忿日 石二。inZp+eos么p“1江一么ab+ed二5 1 nacosa+sin日eoop“。in(k“+ 兀+日)co“(k北+万+日)+。in日eo。日 ”(士cos日)(不51特此更正,井向指正的读者汤3)+日in日eos日龙致谢。二一…     

用复数法解一类轨迹问题

如图:设石二r:(eoss:+isins,)z:二1:(eoss:+i·5 1 no:)在复平面XOY内所对应的向量分别。乙八 几一一户一.~气,是OP:、0P2,把向量OP:按逆时针方向旋转一个角度02(若e:按逆时针方向绕M旋转粤就得到向量补.’~一’一’r’‘”刁,.一’、2’~”一‘’‘二~ 根据复数乘法:向量M尸所对应的复数为a(eos口一isins)i=a(ieoss+sin6)又因为OP=OM十MP,所以向量O尸所对应的复数为:x+夕s=二(eos口+isino)+a(ieos口+5 in口)二a(eos夕+sins)+a(eoso+sin口)i由复数相等的定义得:<0,就把O尸,按顺时针方向旋转一个角}0:1),再把它的模变为原来的::倍,所…     

每期一题

题:已知:、:,是复数,且}‘卜1,‘正明:}r气周=‘。 !‘一:,】里一补丁不飞1万-证法一用复数的三角法证明’:}‘卜1,设z二coso+‘Sin。, 之x二了,(eoso;+15 ino,)s则了=eoso一fs ino。:.}一兰二乙一}=1。 11一名.考11(’:1‘1=1,证法四:.‘一乞=!:}“变换法(利少}」11,z=1)万之来证明){:一之,! i之一z, {1一“一‘,__}兰二兰、(,八一七之、一}二: !叉一2.21!}之Z一2.之1}i一‘“,{eos(一O:)=二}之一z:}训l+r一么一2::}}:一:、}了1+,一2一2,·leos(e一0:)(’:!:卜}:}价一i==l),12 一一 211之证法二用复数的代数法证明(2)1=1-2才=l自丁万五丁…     

一九七九年全国高等学校招生考试数学副题及解答(理科)

、计算: 解法1tgs“ etgs“一Zsee8o。·coss。十一万一二己一 5 111勺(6分) 25 in艺5。 eos25“:原式二eos80“eoss“sins“ 25 1 n 10。38eos5Osins“ 2Zsin5Oeoss“=0。解法2:原式二tgs。 。tgs“一 25 1 n10“=tgs“十etgs。- 15 insoeoss。=tgs“ etgs“ sin 25。 eos25。 sins“eoss。=tgs。 etgso一tgs。一etgs。=0。二、在实数范围内分解因式: xs一gax之 27a2x一26a8(a今0)(6分) 在长方体ABCD一A:仑;C:D;中,连结BDs ,.’ AB土AD,.’.BD3=aZ b名 又D;D一平面ABCD, .,. D ID土BD, .’.L2=aZ b“ eZ .’.L=了a, b‘ e“…