美妙的配方法

把二次根式下的被开方的式子通过凑配变形，得到一个完全平方式，从而运用√a^2=|a|来化简二次根式的方法称为配方法．它是化简二次根式的一个重要方法．本举例介绍配方法的美妙，供同学们参考．     

字母走√

√a^2的化简是二次根式中的重点与难点，也是不少同学出现错误比较多的问题．那么，怎样让√a^2中的a不犯错误走出“√”呢?     

二次根式章末小结

一 与绝对值有关的二次根式的化简 对于实数a,有√a^2=｜a｜这一性质． 1．直接给出条件化简问题 例1 化简√4a^2-12a＋9-√4a^2-20a＋25（3/2≤a≤5/2）.     

a^2＋b^2≥2ab的变式及应用

不等式a^2＋b^2≥2ab出现在普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修5）第97页,并运用它证明了基本不等式√ab≤a＋b/2．因此a^2＋b^2≥2ab是一个更基本的不二等式,它有着广泛的应用,特别是它的一些变式在不等式证明和求最值中应用广泛．本文探讨a^2＋b^2≥2ab的一些变式及应用．     

“配”中求活——不等式a^2＋b^2≥2ab的活用

不等式a^2＋b^2≥2ab（或a＋b≥2√ab，a〉0,b〉0）是—个最基本的不等式，但它的应用却十分灵活广泛，在高考及竞赛中经常出现．应用这个不等式常常需要作适当的“配”才能见效，体现了这一基本不等式应用的灵活性，本从几个方面探究“配”的技巧．[第一段]     

非负数的性质及应用

a^2、|a|、√a(a≥0)被称为初中阶段所学的三个非负数,它具备以下基本性质：(1)非负数一定有最小值,且最小值是零．(2)有限个非负数的和仍是非负数．(3)如果有限个非负数的和为零,那么必定每个非负数都同时为零．(4)非负数的多值性：     

你能正确区别（√a）^2和√a^2吗？

（√a）^2和√a^2是两个不同的式子,它们的不同点表现在： （1）运算顺序不同：（√a）^2表示的是非负数a的算术平方根的平方,而√a^2表示的是实数a的平方的算术平方根．     

解分式题的若干技巧

1．单项换元 例1 已知a＝3√4＋3√2＋3√1,求3/a＋3/a^2＋1/a^3的值。     

二次根式知识点讲解

注意 （1）二次根式定义中的“a≥0”是定义的一个重要组成部分,不可省略． （2）二次根式中,被开方数a可以是数也可以是代数式,例如√4,√a^2＋b^2都是二次根式． （3）实际上二次根式√a（a≥0）就是非负数a的算术平方根,因此√a（a≥0）是一个非负数．     

构造图形证明不等式

1 构造平面几何图形 例1 a〉0,b〉0,c〉0．求证：√a^2＋b^2＋√b^2＋c^2＋√a^2＋c^2≥√2（a＋b＋c）.     

运用匹配因子法证明一类分式不等式

一类分式不等式的证明常见于数字竞赛题及问题征解题，它的特点是不等式式子一边各项形如a^2/b(a^3/b、a^3/bc等)的形式，如果匹配因子λb(λab、λb λc等)，利用a^2 λb≥2√λa(a^3/b λab≥2√λa^2、a^3/bc λb λc≥33√λ^2a等)，就可消去分式中的分母，再根据等号成立条件求出λ．可得这一类分式不等式的简     

看似平凡,实有大用(高一、高二、高三)

“希望杯”很注意促使同学们对基础数学内容的理解和应用.请看下面众所周所的事实: 1.对于x∈R,则x2=|x|2 2.对于a、b∈R。则a2=b2=|a|=|b| 看看下面各题的求解.     

两个经典数学问题之间的关联

问题1 已知a√1-b^2＋b√1-a^2=1，求证：a^2＋b^2=1．（1992年第3届“希望杯”高一赛题） 文[1]的第214-219页，研究了这个经典问题的12种证明方法．     

谈谈√α^2化简的学习

“二次根式√α^2的化简”是“二次根式”一章的难点，一是公式√α^2=|α|的表达形式对同学们来说，较为生疏，也难以掌握；二是实际运用时，要牵涉到对字母取值范围的讨论；三是围绕√α^2的化简出现了许多新题型，既考查基础知识，更考查思维能力和创新精神．如何学好这部分内容呢?     

(√a)2与√a2的异同

1.字母a的取值范围不同 (√a)2=a中a≥0,即a是非负数.而√a2=| a|中a可取一切实数.例如:等式(√x-y)2=x-y成立的前提条件是x-y≥0,即x≥y.而等式√(x-y)2=| x-y |,不论x-y＞0,x-y=0或x-y＜0都成立,并且根据绝对值的定义有:√(x-y)2=| x-y |={ x-y(x＞y) 0 (x=y) y-x (x＜y)     

破解圆锥曲线离心率范围的常见策略

直接利用条件寻找a、c的关系求解 例1 设a〉1．则双曲线x^2/a^2-y^2/（a＋1）^2=1的离心率e的取值范围是 解析 根据题意得√2〈e=√a^2＋（a＋1）^2/a=√2＋2/a＋1/a^2〈√5,选B。     

转变解题思路，提高解题能力——以一道试题解析为例

（试题A）“已知实数a,b满足a√1-b^2 ＋b√1-a^2=1,求证：a^2＋b^2=1．”试题A被许多高三复习资料所引用,普遍认为其直接的代数方法证明是麻烦的,所附答案几乎是清一色的“三角法”证明．笔者就此探讨一下试题A的解法,反思不同的思维方法和问题解决的角度,以帮助我们提高对问题的探究能力．     

一道平面向量题的错解剖析

题目如图所示,平面四边形ABCD中AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且a·b=·c=c·d=d·a,试确定四边形ABCD的形状.错解:因为a b c d=0,所以a b=-(c d).∴(a b)2=(c d)2,即|a|2 2a·b |b|2=|c|2 2c·d |d|2.由a·b=c·d,得|a|2 |b|2=|c|2 |d|2.①同理|a|2 |d|2=|b|2 |c|2.②由①-②得|b|2=|d     

一道不等式证明题的正证、巧证、妙证

题目 已知a，b，c∈R，求证：√a^2＋b^2＋√b^2＋c^2＋√c^2＋a^2≥√2｜a＋b＋c｜.     

巧用非负性解题

非负数是我们学习中经常见到的一类数,它包括正数和0．其常见的形式有：｜a｜,a^2、√a（a≥0）．即｜a｜≥0,a^2≥0,√a≥0（a≥0）．非负数有一些重要的性质,比如,若干个非负数之和为0,则这些非负数均为0．利用这些性质可解决一些问题．现举例说明如下．