再论《巧排九方》——一个传统的数字推理趣题之详解及其推广

对《巧排九方》一文中,求解n2个连续整数的n×n方阵排列问题的图解法之正确性进行了严密的证明,并对当n=4k 2时(k为≥0的整数),如何排列成n×n方阵,并使其每行数之和、每列数之和及对角线上的数之和都相等的数学问题进行了求解。     

对三阶幻方的趣味探讨

将1—9的连续9个正整数填入3×3的方格图形中（如图1），使每行、每列及对角线上的三数和都相等，通常将这个图形称为三阶幻方或魔方，我国古代又称为“九宫”图．因三阶幻方具有一些神奇的性质，从古至今，人们保持着对它的探究热情．     

世界上最古老的幻方——洛书

对于幻方,同学们或多或少有所了解。我们知道:将从1开始的若干个连续的数放在方阵中,能够刚好形成每行、每列、两条对角线上的各数相加和都相等的方阵,就叫做幻方。其中,世界上最早出现的幻方是我国古代的“洛书”。     

幻方的存在性

幻方在我国古代叫纵横图,是由一些连续的整数组成一个满足一定条件的数表。本文以构造的方法证明幻方的存在性.定义1:整数 k～n~2+k-1按某种方法排成1个n×n 矩阵.若矩阵的每行、每列、及两对角线的 n 个数之和均相等,称该矩阵为 k～n 幻方矩阵、或 k～n 幻方.特别、当k=1时称为 n 阶幻方矩阵,或是 n 阶幻方.其每行(列)的 n 数之和称为幻方的和,记为 Sn.由于任何一个 k～n 幻方总可以写成一个 n 阶幻方与(k-1)乘元素为1的方阵之和.所以在本文中只讨论 n 阶幻方.由定义可知,一个 n 阶幻方,其行与行之间、列与列之间的无互不相同,且和相等.因此     

用“斜格调位法”巧填三阶幻方

题目:把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数填在右边的方格里,使每行、每列及对角线上三数之和相等。     

对“高源猜测”的否定

幻方中的完美幻方尤称奇妙,即n~2个互异自然数排成n行n列,不仅每行、每列数字和相等,二主对角线数字和相等,而且2(n-I)条泛对角线(折对角线)数字之和也都相等。4阶和5阶的完美幻方已经找到。例如     

奇妙的双料幻方

由 n~2个不同的自然数排成 n 行 n 列的方阵,如果 n 行中的每一行的 n 个数之和、n 列中的每一列的 n 个数之和、两条对角线中的每一条对角线上的 n 个数之和(共2n 2个和)都相等(都等于所有的 n~2个数的总和的1/n),那么就说这样的方阵是 n 阶幻方,幻方中任一行(列或对角线)的 n 个数之和叫做该幻方的幻和.幻方是一个既古老又活     

构造三阶幻方的简便方法

在欧洲曾经广泛流行过一古老的数学游戏叫做幻方,给定1,2,…,n2这些数字,要求把它们排成n×n的方阵,并使得每一行,每一列,每一条对角线上的n个数字之和都相等.我们把这样的方阵叫做n阶幻方,每一行数字之和叫做幻方的和.例如816357492就是一个3阶幻方,它的和是15,其实幻方最早起     

用整体核算法剖析三阶幻方——从新编教材一例谈起(续)

(续上期) 性质5 在三阶幻方中,每个数都加上一个相同的数m,仍是一个三阶幻方,这时,每行、每列、每条对角线上3数之和等于原来的和再加上3m. 例2 试将2001～2009这9个整数填成三阶幻方.     

巧用方程妙填数

问题1:将-1～-8以及1～8这16个整数填入4×4的正方形表格中,使得每行、每列、每条对角线上四个数字之和都相等,如右图所示,恰有8个标有序号的小方格中填的数被一个顽皮的小朋友擦掉了,请你将这擦掉的8个数设法恢复出来.     

关于正整数的完备分拆的界

利用文献[1]给出的正整数的完备分拆的充要条件,给出了正整数n的完备分拆的分部量和分部数的一个界.其中正整数n的完备分拆是指n的包含不大于n的所有正整数的唯一分拆的分拆,而n的分拆是将n表示成若干个正整数的无序和,所分成的正整数称为分拆的分部量,而分成的正整数的个数称为分拆的分部数.     

具有三个相异素因数的调和数

如果一个正整数n的因数的倒数之和是一个正整数,我们称这个正整数n是一个调和数。该文证明了,如果 n是一个具有三个相异素因子的调和数,则 h=120或 672。     

含有一个奇因数的正整数的等差分拆

正整数n的分拆是指将正整数n表示成一个或多个正整数的无序和.而等差分拆是一种有限制条件的分拆.在这方面的研究有一些结果(见文献[4]-[6]),文章将文献[6]给出的一种形如N=2rdm(2r+1)的条件拓宽了一些,仍得到类似的结果.并推出了文献[5]中的一个结论.     

George Andrews’ game

This is an expository article showing how Zeck-endorf’s Theorem (every positive integer can be represented in one and only one way as the sum of non-consecutive Fibonacci numbers) can be used to construct a number-guessing game invented by Professor George Andrews. Jerold Mathews is professor (emeritus) of mathematics at Iowa State University, Ames, Iowa, USA, where he served on the faculty from 1961–1995. His interests include research in point set topology, history of mathematics and writing textbooks. He enjoys reading, photography and helping international students learn English.     

下足标为负整数的Lucas数方幂和

用发生函数的方法,得到了下足标为负整数的Lucas数方幂和及正负相间Lucas数方幂和的计算公式.     

A cube as (almost) a sum of two cubes

It is known that one cannot write an integer cube as a sum of two integer cubes (Fermat??s Last Theorem). The number 1728 (= 12³) comes close to being the sum of two cubes, but falls short by 1. An entry in Srinivasa Ramanujan??s Lost Notebook gives a remarkable identity which provides infinitely many such examples. This article discusses a proof of this identity, as also another similar identity.     

正整数的因子和的另一个公式

利用欧拉所推导的结论构造出求正整数因子和的另一个公式，如此可以简化正整数因子和的计算方法，并能利用公式判断正整数是否为素数。     

市场营销理论的衍变创新及其实质性分析

市场营销理论的每一次发展都是建立在对前一理论的逐步完善和实践检验结果的总结之上,这为更新理论的出现做好了铺垫。现依从时间的顺序,以4PS→NP(SN表示“多”的意思)→4CS→4RS为论述主线,深入阐明各市场营销理论的原理及其创新发展历史,并对它们进行实质性的分析研究。     

关于Smarandache LCM函数对偶函数的方程

摘要：对于任意的正整数n,著名的SmarandacheLCM函数的对偶函数SL（n）=max｛k：[1,2,…,k]｜K,K∈N}表示n的不同素因子的个数.利用初等数论和分析的方法研究函数方程SL（d）＋1=2^ω（n）的可解性,并获得了该方程的所有正整数解．