不同的思考方向引出不同的解法

在人教版普通高中课程标准实验教科书数学5（必修）第二章《数列》习题2.5A组中的一道题目:在等比数列{a_n}中,已知a₃=/2,S₃=9/2,求a₁与q.根据题目条件,不同的思考方向会为我们引出不同的解法,在算法上也有所体现.思考方向一:根据已知联想到和的定义式S₃=a₁+a₂+a₃,出现两个未知数a₁、a₂,利用等比数列的概念及已知量a₃与要求的量q表示未知数a₁、a₂求解.解:因为a₃=3/2,S₃=9/2,又S₃=a₁+a₂+a₃=a₃(q^-2+q^-1+1),所以q^-2+q^-1+1=3,即aq²-q-1=0,解得q=1或q=-1/2.当q=1时,a₁=3/2;当q=-1/2时,a₁=6.思考方向二:根据已知联想到和的定义式S₃=a₁+a₂+a₃,出现两个未知数a₁、a₂,利用等比数列的概念用基本量a₁与q表示未知数a₁、a₂求解.解:因为a₃=3/2,S₃=9/2,所以（?）     

特殊解法与通用解法

例1（1995年高中联赛）设等差数列|a_n|满足3a₈=5a₁₃,且a₁>0,S_n为其前n项之和,则S_n（n∈N^*）中最大的是（）（A）S₁₀（B）S₁₁（C）S₂₀（D）S₂₁分析:若能找出等差数列|a_n|中的相邻两项a_k,a_k+1,使得0介于这两项之间（或使得a_k=0）,则可确定等差数列前n项和S_n的最值.例如,当a₁>a₂>…>a_k>0>a_k+1>…时,     

似星树和双似星树的零度算法

只有一个顶点度是大于2的一棵树叫做似星树,记作S=S（n₁,n₂,…,nΔ）,S₁=S（m₁,m₂,…,m_Δ1-1）和S₂=S（n₁,n₂,…,n_Δ2-1）用一条路P_l把S₁和S₂的最大度点v,u连接起来得到的图形称为双似星树,记作G（l,S₁,S₂）.用η（G）表示图G的零度（零度是指图G的谱中零特征值的个数）.本文给出了似星树和双似星树的一个零度算法,并证明了这是一个好算法.     

伏安法测电阻创新实验

一、作差法例1某校学生在研究性学习课上进行了消除电表内阻对测量影响的实验探究,其中有一组学生利用了如图1所示的电路图来测量未知电阻R_χ.他们的主要操作过程是:（1）闭合开关S₁,将开关S₂打在a上,调节滑动变阻器R₁和R₂,使电压表读数尽量大些,读出此时两表读     

一道变压器测试题引发的争议与探讨

1.问题的提出我省2012届高三年级第二次全省统一测试中,有这样一道选择题,原题如下:如图1所示,理想变压器原线圈接电压有效值可视为恒定的正弦式交流电源,副线圈接负载电阻R₁,R₂,电路中其余电阻均不计,各电表均为理想电表,S₁,S₂闭合,各电表均有示数。下列分析正确的是:（）（A）保持S₁闭合,断开S₂,电压表V示数增大（B）保持S₁闭合,断开S₂,电流表A₁、A₂示数均减小（C）保持S₂闭合,断开S₁,电流表A₁、A₂示数均为零     

等差数列中的“等差数列”

首项为a₁,公差为d的等差数歹的通项公式是a_n=a₁+（n-1）d,前n项的和是S_n=na₁+（n（n-1））/2d.由此得（S_n）/n=a₁+（（n-1））/2d=a₁+（n-1）1/2d,若令1/2d=d’,则得（S_n）/n=（S₁）/1+（n-1）d’,这表明数列{（S_n）/n}是以（S₁/1）为首项,公差为d’=1/2d的等差数列,于是我们可以从等差数列的     

“母子三角形定理”在竞赛中的应用

本文介绍"母子三角形"定理及其在解竞赛题中的应用,供初中师生参考.1母子三角形定理如下图,已知P为AABC内的任意一点,EF//BC,KS//AC,GH//AB,记S_△PKE:S₁,S_△FHP=S₂,S_△PGS=S₃,S_△ABC=S.求证:S=(S₁^1/2+S₂^1/2+S₃^1/2)².     

2012年高考数学四川理科卷第12题的再探究

2012年四川高考理科数学卷第12题是:设f（x）=2x-cosx,{a_n}是公差为π/8的等差数列,f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π,则[f（a₃）]²-a₁a₅=A.0 B.1/16π2 C.1/8π² D.13/16π²文[1]从不同角度给出了该题三种不同的解法,一解更比一解妙.在文[1]中李真福先生提到"因为下面的‘解法1’,所以众多师生认为该道高考题有超‘纲’（即高考考试大纲）和超‘标’（即高中数学课程标准）两重嫌疑,是一道劣质题.其根据是按高考考试大纲和高中数     

08年高考试题研究 7．江苏卷理科第13题

题目满足条件AB=2,AC=2^1/2BC的△ABC的面积的最大值为_<sub><sub>.分析初看本题平淡无奇,深入探讨后发现本题内涵丰富.易想到公式S_△ABC= 1/2absinC,即解法1,但过程略显繁琐;解法2是解析法,一般学生不容易想到,而用解析法,方     

活用勾股定理 探究一题多变

<正>一、应用勾股定理探究图形面积例1如图1,在直线l上有三个正方形,面积分别为a,b,c,若a=5,c=11,则最大正方形的面积b是多少?思路点拨:根据“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△BED,则BC=ED,由勾股定理易得b=a+c=16.变式1:如图2,以Rt△ABC的三边为斜边,分别向外作等腰直角三角形BFC、等腰直角三角形AHC、等腰直角三角形AEB,面积分别为S₁,S₂,S₃,则S₁+S₂=S₃.(请同学们尝试证明)     

通一法,解一类

初中数学课本的习题,具有应用性强、针对性强、迁移性强等特点,立足课堂、课本,充分发挥课本习题的作用,是提高课堂效率的重要途径;中考命题有一个规律,注重从课本习题中寻找素材,精雕细琢产生考题.研究解题方法,发现解题规律,寻找最佳解法,可培养学生的学习兴趣.题目:（人教版数学课本八（下）第91页第8题）如图1,直线l₁//l₂,△ABC与△DBC的面积相等吗?你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?根据等底等高的三角形面积相等,我们很容易证明:S_△ABC=S_△DBC,     

一道中考试题的分析与启示

题目:如图直线y=kx+b与x轴交于D点,与y轴交于C点,连结CD,△COD的面积为S,且ks+32=0.抛物线y=x²/8与直线y=kx+b交于A（x₁,y₁）、B（x₂、y₂）两点,连接AO、BO.（1）求b的值;（2）求证:点（y₁,y₂）在反比例函数y=64/x上;（3）求证:x₁·BO+y₂·AO=0.一、试题的质量分析1.这是一道比较好的试题,它把知识的基础性与运用的灵活性很好好的融合在一起.第（1）问求字母b的值,用常规的方法设横坐标为0,求出C的坐标（0,b）;设纵坐标为0,求出D的坐标（-b/k,0）,通过面积S_△COD=DO·CO/2=-b²/2k,再代入ks+32=0中就能求出b=8.这比较基础,绝大部分学生都能把基本分拿到手.第（2）问中验证一个点在已知函数的图象上,这个     

应用张角公式求三线段的连比值

应用张角公式求三线段的连比值,不仅富有新意、相当有效,而且能够化难为易、变繁为简.现以几道初中几何题为例,介绍这种创新的解法如下,供教师参考.一、张角公式如图1,设直线ACB外一点P对于线段AC、CB的张角分别为α、β,则（sin（α+β））/（PC）=（sinα）/（PB）+（sinβ）/（PA）.证明:因为S_△PAB=S_△PAC+S_△PCB,所以1/2PA·PB·sin（α+β）=1/2PA·PC·sinα+1/2PC·PB·sinβ,两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所证等式.     

递推数列通项求解

类型1 a_n+1=pa_n+q（p≠1,q≠0）对这种类型一般是用待定系数法构造等比数列.令a_n+1+λ=p（a_n+λ）,与已知递推式比较,得λ=q/（p-1）,从而转化为{a_n+q/（p-1）}是公比为p的等比数列.     

第十五讲 代数式(之4)

（4）两个自然数公式的导出下面我们再介绍与S₁相关的另外两个公式:1²+2²+3²+…+n²=（n（n+1）（2n+1））/6 1³+2³+3³+…+n³=[n（n+1）/2]²这就是从1开始的n个自然数的平方和.从1开始的n个自然数的立方和.将它们依次记作S₂,S₃.     

“电表示数”问题一二三

1.判断示数变化例1图1所示电路中,电源电压恒定.断开S₁、S₃,闭合S₂,两电表均有示数;再断开S₂,闭合S₁、S₃,此时两电表的示数与前者相比（ ）     

巧用不动点求几类递推数列通项

已知数列{a_n}的递推关系式为a_n+1=f（a_n）,若存在实数a使得f（a）=a,则a称为数列{a_n}的不动点,在递推式a_n+1=f（a_n）中若令a_n+1=a_n=x,则方程f（x）=x的解就是数列{a_n}的不动点,方程f（x）=xc叫做递推式a_a+1=f（a_n）的特征方程.利用不动点,可将某些由递推关系所确定的数列转化为等差、等比数列.下面举例说明.1 a_n+1=pa_n+q（其中p、q为常数,p≠0,q≠0）型     

一道高考题引发的思考

数列求和问题历来是高考的热点、重点、难点。对于求形如{a_nb_n}的数列的前n项和S_n这类问题,其中{a_n}是公差为d（d≠O）的等差数列,{b_n}是公比为q（q≠1）的等比数列,常规方法自然是错位相减法。是否有其他的方法可以解决这类问题呢?现通过研究2014年高考安徽文科数学第18题,探究解决这类问题的思路。一、解法探讨例1（2014年高考安徽文科）数列{a_n}满足a₁=1,na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1）,n∈N^*。（1）证明:数列{a_n/n}是等差数列。     

再探等差与等比数列前n项和的性质

文[1]作者得到下列两个性质:①若数列{a_n}是以口a₁为首项,d为公差的等差数列,则a₁Ca_n⁰+…+a_n+1C_nⁿ=（a₁+n/2d）·2ⁿ.②若数列{a_n}是以a₁为首项,q为公比的等比数列,贝a₁C_n⁰+a₂C_n¹+…+a_n+1C_nⁿ=q（1+q）ⁿ.文[2]作者得到性质:对于任意以口l为首项,q为公比的等比数列{a_n}（a₁≠0,q≠0）,任意以b₁为首项,d为公差的等差列{b_n},总有:     

从简约走向深刻诠释等比数列

一、基本概念题,体会简约问题问题1:等比数列的通项公式问题例1已知数列{a_n}是等比数列,且a₄+a₇=9,a₅+a₈=18,a_n=64,求项数n.分析:本题考查的是等比数列的定义及通项公式的应用,等比数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1,确定a₁及q后,又写出a_n关于n的表达式,再由a_n=64可求得n.解法1:因为